Statistiques et Probabilités
Niveau : 1ère Année Bac Sciences Expérimentales (BIOF)
I. Rappels Statistiques
Dans une série statistique de effectif total \( N \), où chaque valeur \( x_i \) a un effectif \( n_i \) :
1. La Moyenne Arithmétique (\(\bar{x}\))
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N} \]
2. La Variance et l'Écart-type
La variance \( V \) mesure la dispersion des données :
\[ V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2 \]
L'écart-type est donné par : \( \sigma = \sqrt{V} \)
II. Éléments de Dénombrement
Le dénombrement est indispensable pour calculer les probabilités.
- Factorielle d'un entier \( n \) : \( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 \) (avec \( 0! = 1 \)).
- Arrangements de \( p \) parmi \( n \) : \( A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \) (L'ordre compte).
- Combinaisons de \( p \) parmi \( n \) : \( C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \) (L'ordre ne compte pas).
III. Calcul des Probabilités
Soit \( \Omega \) l'univers d'une expérience aléatoire. La probabilité d'un événement \( A \) est :
\[ P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} \]
Propriétés fondamentales :
- \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)
- \( P(\Omega) = 1 \) et \( P(\emptyset) = 0 \)
- \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \) (Événement contraire)
- \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
📝 Exercice d'application :
Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules vertes. On tire simultanément 2 boules de l'urne.
1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ?
Solution :
1. Le nombre de tirages possibles est : \( \text{card}(\Omega) = C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \).
2. Soit \( A \) l'événement "tirer 2 boules rouges" :
\( \text{card}(A) = C_3^2 = 3 \).
Donc : \( P(A) = \frac{3}{28} \).
1. Le nombre de tirages possibles est : \( \text{card}(\Omega) = C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \).
2. Soit \( A \) l'événement "tirer 2 boules rouges" :
\( \text{card}(A) = C_3^2 = 3 \).
Donc : \( P(A) = \frac{3}{28} \).
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