Le Théorème de Pythagore
Calculer, Démontrer et Appliquer (Cours Développé 3AC)
Avant tout calcul, il faut identifier l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit et c'est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.
On utilise l'addition lorsque l'on cherche la longueur du côté le plus long (l'hypoténuse).
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Rédaction : On sait que $ABC$ est rectangle en $A$.
D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Donc $BC = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ cm.
Si l'on connaît déjà l'hypoténuse, on doit soustraire pour trouver l'autre côté.
$$AB^2 = BC^2 - AC^2$$
Rédaction : On sait que $ABC$ est rectangle en $A$.
D'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Donc $AB = \sqrt{144} = \mathbf{12}$ cm.
Elle sert à prouver qu'un triangle est rectangle. On compare le carré du côté le plus long avec la somme des carrés des deux autres.
Condition de réussite :
Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.
Rédaction :
Le côté le plus long est $[FG]$.
D'une part : $FG^2 = 5^2 = \mathbf{25}$
D'autre part : $EF^2 + EG^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = \mathbf{25}$
Puisque $FG^2 = EF^2 + EG^2$, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $E$.