2AC: Théorème de Pythagore - Cours

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جدول المحتويات
    Théorème de Pythagore - Cours Complet 2AC

    Le Théorème de Pythagore

    Calculer, Démontrer et Maîtriser l'Angle Droit

    1. Le Théorème Direct (Calculer une longueur)

    Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

    Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

    $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

    A B C Côté de l'angle droit Côté de l'angle droit Hypoténuse

    📝 Exercice d'application :

    Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calculez la longueur $BC$.

    On sait que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    D'après le théorème de Pythagore :
    $BC^2 = AB^2 + AC^2$
    $BC^2 = 3^2 + 4^2$
    $BC^2 = 9 + 16 = 25$
    $BC = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ cm.
    2. Calculer un côté de l'angle droit

    Si l'on connaît l'hypoténuse et un côté, on utilise une soustraction :

    $$AB^2 = BC^2 - AC^2$$

    📝 Exercice d'application :

    Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ tel que l'hypoténuse $FG = 13$ cm et $EF = 5$ cm. Calculez $EG$.

    Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$.
    D'après le théorème de Pythagore :
    $FG^2 = EF^2 + EG^2$
    $13^2 = 5^2 + EG^2$
    $169 = 25 + EG^2$
    $EG^2 = 169 - 25 = 144$
    $EG = \sqrt{144} = \mathbf{12}$ cm.
    3. La Réciproque (Démontrer qu'un triangle est rectangle)

    Énoncé : Dans un triangle, si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

    Méthode de rédaction :

    1. Repérer le plus long côté (ex: $BC$).
    2. Calculer séparément $BC^2$ d'une part, et $AB^2 + AC^2$ d'autre part.
    3. Comparer les résultats. S'ils sont égaux, conclure avec la réciproque de Pythagore.

    📝 Exercice d'application :

    Soit $MNP$ un triangle tel que $MN = 6$, $MP = 8$ et $NP = 10$. Ce triangle est-il rectangle ?

    Le plus long côté est $[NP]$.
    1. D'une part : $NP^2 = 10^2 = \mathbf{100}$
    2. D'autre part : $MN^2 + MP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = \mathbf{100}$
    On constate que $NP^2 = MN^2 + MP^2$.
    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ est rectangle en M.