Le Théorème de Pythagore
Calculer, Démontrer et Maîtriser l'Angle Droit
Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
📝 Exercice d'application :
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calculez la longueur $BC$.
D'après le théorème de Pythagore :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 3^2 + 4^2$
$BC^2 = 9 + 16 = 25$
$BC = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ cm.
Si l'on connaît l'hypoténuse et un côté, on utilise une soustraction :
$$AB^2 = BC^2 - AC^2$$
📝 Exercice d'application :
Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ tel que l'hypoténuse $FG = 13$ cm et $EF = 5$ cm. Calculez $EG$.
D'après le théorème de Pythagore :
$FG^2 = EF^2 + EG^2$
$13^2 = 5^2 + EG^2$
$169 = 25 + EG^2$
$EG^2 = 169 - 25 = 144$
$EG = \sqrt{144} = \mathbf{12}$ cm.
Énoncé : Dans un triangle, si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Méthode de rédaction :
- Repérer le plus long côté (ex: $BC$).
- Calculer séparément $BC^2$ d'une part, et $AB^2 + AC^2$ d'autre part.
- Comparer les résultats. S'ils sont égaux, conclure avec la réciproque de Pythagore.
📝 Exercice d'application :
Soit $MNP$ un triangle tel que $MN = 6$, $MP = 8$ et $NP = 10$. Ce triangle est-il rectangle ?
1. D'une part : $NP^2 = 10^2 = \mathbf{100}$
2. D'autre part : $MN^2 + MP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = \mathbf{100}$
On constate que $NP^2 = MN^2 + MP^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ est rectangle en M.