Triangle et Parallèles
Le théorème des milieux et la proportionnalité (2AC)
Ce chapitre étudie les relations particulières qui existent entre les milieux des côtés d'un triangle et les droites parallèles. Ces propriétés sont fondamentales pour calculer des longueurs et démontrer que des droites sont parallèles.
1. La droite passant par les milieux
Théorème 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Fig 1: $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC] \implies (IJ) // (BC)$
Soit $ABC$ un triangle. $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$. Quelle est la position relative des droites $(MN)$ et $(BC)$ ? Justifiez.
Solution :D'après le théorème des milieux, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Donc $\mathbf{(MN) // (BC)}$.
2. Longueur du segment joignant les milieux
Théorème 2 : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
$$IJ = \frac{1}{2} BC$$
Si $BC = 8$ cm, et que $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$, calculez $IJ$.
Solution :$IJ = \frac{8}{2} = \mathbf{4 \text{ cm}}$.
3. La parallèle passant par un milieu
Théorème 3 (Réciproque) : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Dans un triangle $EFG$, $I$ est le milieu de $[EF]$. La parallèle à $(FG)$ passant par $I$ coupe $[EG]$ en $J$. Montrez que $J$ est le milieu de $[EG]$.
Solution :- $I$ est le milieu du côté $[EF]$.
- La droite $(IJ)$ est parallèle au côté $(FG)$.
D'après le troisième théorème des milieux, la droite coupe le troisième côté $[EG]$ en son milieu.
Donc $\mathbf{J \text{ est le milieu de } [EG]}$.
4. Proportionnalité des longueurs
C'est une généralisation du théorème des milieux (une introduction au théorème de Thalès).
Propriété : Dans un triangle $ABC$, si $M$ est un point de $(AB)$, $N$ un point de $(AC)$ et si $\mathbf{(MN) // (BC)}$, alors :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
On donne : $AB=6$, $AM=2$, $AC=9$ et $(MN)//(BC)$. Calculez $AN$.
Solution :$\frac{2}{6} = \frac{AN}{9} \implies 6 \times AN = 2 \times 9 \implies 6 \times AN = 18$
$AN = \frac{18}{6} = \mathbf{3}$.
✅ Résumé pour l'élève :
- Pour prouver un parallélisme $\rightarrow$ Utiliser le Théorème 1 (2 milieux).
- Pour calculer une longueur $\rightarrow$ Utiliser le Théorème 2 ($1/2$ du côté) ou la proportionnalité.
- Pour prouver un milieu $\rightarrow$ Utiliser le Théorème 3 ($1$ milieu + parallèle).