2AC : Triangle Rectangle et Cercle - Cours

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جدول المحتويات
    Triangle Rectangle et Cercle - Cours 2AC

    Triangle Rectangle et Cercle

    Cercle circonscrit et Propriétés de la Médiane

    1. Le Cercle Circonscrit

    Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.

    Conséquence : Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
    M A B C

    📝 Exercice :

    Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 10$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc son hypoténuse est $[BC]$.
    Le diamètre du cercle circonscrit est égal à l'hypoténuse, soit $D = BC = 10$ cm.
    Le rayon est la moitié du diamètre : $R = \frac{10}{2} = \mathbf{5}$ cm.
    2. Longueur de la Médiane

    Propriété : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

    $$AM = \frac{BC}{2}$$

    (où $M$ est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$)

    M A B C

    📝 Exercice :

    Dans un triangle $EFG$ rectangle en $E$, on donne $EG = 8$ cm et $EF = 6$ cm. Sachant que $FG = 10$ cm, calculez la longueur de la médiane issue de $E$.

    Soit $[EM]$ la médiane issue de l'angle droit $E$.
    D'après la propriété de la médiane dans un triangle rectangle : $EM = \frac{FG}{2}$.
    $EM = \frac{10}{2} = \mathbf{5}$ cm.
    3. Comment prouver qu'un triangle est rectangle ?

    Il existe deux façons d'utiliser ce chapitre pour démontrer qu'un angle est droit ($90^\circ$) :

    • Par le cercle : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle.
    • Par la médiane : Si dans un triangle, la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle.

    📝 Exercice :

    Soit un cercle de diamètre $[AB]$. On place un point $C$ sur ce cercle. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

    Le point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.
    D'après la propriété réciproque du cercle circonscrit, si un côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.
    Donc, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.