Triangle Rectangle et Cercle
Cercle circonscrit et Propriétés de la Médiane
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
📝 Exercice :
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 10$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?
Le diamètre du cercle circonscrit est égal à l'hypoténuse, soit $D = BC = 10$ cm.
Le rayon est la moitié du diamètre : $R = \frac{10}{2} = \mathbf{5}$ cm.
Propriété : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
$$AM = \frac{BC}{2}$$
(où $M$ est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$)
📝 Exercice :
Dans un triangle $EFG$ rectangle en $E$, on donne $EG = 8$ cm et $EF = 6$ cm. Sachant que $FG = 10$ cm, calculez la longueur de la médiane issue de $E$.
D'après la propriété de la médiane dans un triangle rectangle : $EM = \frac{FG}{2}$.
$EM = \frac{10}{2} = \mathbf{5}$ cm.
Il existe deux façons d'utiliser ce chapitre pour démontrer qu'un angle est droit ($90^\circ$) :
- Par le cercle : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle.
- Par la médiane : Si dans un triangle, la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle.
📝 Exercice :
Soit un cercle de diamètre $[AB]$. On place un point $C$ sur ce cercle. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
D'après la propriété réciproque du cercle circonscrit, si un côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.
Donc, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.