Triangles Isométriques
Cours complet : Définition et Cas d'égalité (3AC)
Deux triangles sont dits isométriques (ou égaux) s'ils sont superposables. Cela signifie que leurs côtés sont deux à deux de même longueur et leurs angles deux à deux de même mesure.
Si $ABC$ et $A'B'C'$ sont isométriques, alors ils ont la même surface.
Pour prouver que deux triangles sont isométriques, il suffit de vérifier l'un des trois cas suivants :
Premier Cas (CCC : Côté-Côté-Côté)
Si les trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux aux trois côtés d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont isométriques.
$$AB=A'B' ; AC=A'C' ; BC=B'C'$$
Deuxième Cas (CAC : Côté-Angle-Côté)
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques.
$$AB=A'B' ; AC=A'C' ; \widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$$
Troisième Cas (ACA : Angle-Côté-Angle)
Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont isométriques.
$$BC=B'C' ; \widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'} ; \widehat{ACB}=\widehat{A'C'B'}$$
Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$. Soit $M$ le milieu de $[BC]$.
Montrer que les triangles $ABM$ et $ACM$ sont isométriques.
Démonstration :
Considérons les triangles $ABM$ et $ACM$ :
- On sait que $AB = AC$ (car le triangle $ABC$ est isocèle en $A$).
- On a $BM = MC$ (car $M$ est le milieu de $[BC]$).
- Le côté $[AM]$ est un côté commun aux deux triangles.
Puisque les trois côtés sont respectivement égaux (Cas CCC), alors les triangles $ABM$ et $ACM$ sont isométriques.
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