Triangles Semblables
Agrandissement, réduction et proportionnalité (3AC)
Deux triangles sont dits semblables s'ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Propriété fondamentale :
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = k$$
($k$ est le rapport de similitude)
Premier Cas (AA : Angle-Angle)
C'est le cas le plus utilisé !
Si deux triangles ont deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont semblables.
Deuxième Cas (SSS : Côté-Côté-Côté)
Si les longueurs des trois côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ils sont semblables.
Troisième Cas (CAC : Côté-Angle-Côté)
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables.
Soient deux triangles semblables $ABC$ et $DEF$ tels que le rapport de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$ est $k = 2,5$.
Si $AB = 4$ cm, quelle est la longueur de son côté homologue $DE$ ?
On sait que les triangles sont semblables et que $k = 2,5$ est le rapport d'agrandissement.
La relation de proportionnalité nous donne :
$$\frac{DE}{AB} = k \implies DE = AB \times k$$
Calcul : $DE = 4 \times 2,5 = \mathbf{10}$ cm.
Rappel sur les Aires :
Si le rapport de similitude des longueurs est $k$, alors le rapport des Aires est $k^2$.
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