La Trigonométrie
Calculer des angles et des longueurs (3AC)
1. Cosinus, Sinus et Tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ :
$\cos(\alpha)$
$$\frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$$
$\sin(\alpha)$
$$\frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$$
$\tan(\alpha)$
$$\frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$$
Astuce : SOH CAH TOA
2. Relations Fondamentales
Pour tout angle aigu $x$, on a les deux propriétés suivantes :
Relation 1
$$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$
Relation 2
$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
Énoncé : Sachant que $\cos(x) = 0,6$, calculer $\sin(x)$.
Rédaction :
On sait que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
$(0,6)^2 + \sin^2(x) = 1$
$0,36 + \sin^2(x) = 1$
$\sin^2(x) = 1 - 0,36 = 0,64$
$\sin(x) = \sqrt{0,64} = \mathbf{0,8}$.
Rédaction :
On sait que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
$(0,6)^2 + \sin^2(x) = 1$
$0,36 + \sin^2(x) = 1$
$\sin^2(x) = 1 - 0,36 = 0,64$
$\sin(x) = \sqrt{0,64} = \mathbf{0,8}$.
3. Angles Complémentaires
Si deux angles $\alpha$ et $\beta$ sont tels que $\alpha + \beta = 90^\circ$, alors :
- $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$
- $\cos(\alpha) = \sin(\beta)$
- $\tan(\alpha) = \frac{1}{\tan(\beta)}$
Énoncé : Simplifier $E = \sin(20^\circ) - \cos(70^\circ)$.
Rédaction :
On remarque que $20 + 70 = 90$.
Donc $\cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)$.
$E = \sin(20^\circ) - \sin(20^\circ) = \mathbf{0}$.
Rédaction :
On remarque que $20 + 70 = 90$.
Donc $\cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)$.
$E = \sin(20^\circ) - \sin(20^\circ) = \mathbf{0}$.
4. Tableau des Valeurs Usuelles
| Angle $x$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin(x)$ | $1/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{3}/2$ |
| $\cos(x)$ | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1/2$ |
| $\tan(x)$ | $\sqrt{3}/3$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
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