Vecteurs et Translation
Cours détaillé et Fiches d'exercices (3AC)
Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par un couple de points $(A; B)$. Il représente un déplacement caractérisé par :
C'est la droite $(AB)$.
De l'origine $A$ vers l'extrémité $B$.
C'est la distance $AB$, notée $||\vec{AB}||$.
💡 Propriété importante : Égalité
$\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
Attention à l'ordre des points : A-B-D-C !
A. Relation de Chasles
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a :
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
B. Règle du Parallélogramme
Si deux vecteurs ont la même origine $A$ :
$$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$
Où $C$ est tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Exercice d'application :
Simplifier l'expression : $\vec{MA} + \vec{BC} + \vec{AB}$
$E = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BC}$
$E = (\vec{MA} + \vec{AB}) + \vec{BC}$
$E = \vec{MB} + \vec{BC}$ (Relation de Chasles)
$\mathbf{E = \vec{MC}}$
Effectuer une translation, c'est "glisser" une figure sans la tourner.
Définition :
Dire que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ signifie que :
$$\vec{MM'} = \vec{u}$$
Propriétés de conservation :
La translation conserve :
- Les distances
- L'alignement
- Les angles
- Les aires
Exercice d'application :
Soit $T$ la translation qui transforme $A$ en $B$.
Construire l'image $C'$ du point $C$ par cette translation.
$\mathbf{\vec{CC'} = \vec{AB}}$
Cela revient géométriquement à construire le point $C'$ tel que le quadrilatère $\mathbf{AB C' C}$ soit un parallélogramme.
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