2AC : Vecteurs et Translations - Cours

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جدول المحتويات
    Vecteurs et Translations - Cours 2AC

    Vecteurs et Translations

    Comprendre le mouvement et la direction

    1. Qu'est-ce qu'un Vecteur ?

    Un vecteur $\vec{AB}$ représente un déplacement du point $A$ (origine) vers le point $B$ (extrémité). Il est défini par trois éléments :

    • La direction : celle de la droite $(AB)$.
    • Le sens : de $A$ vers $B$.
    • La norme (longueur) : la distance $AB$.
    A B $\vec{AB}$
    2. Égalité et Parallélogramme

    Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

    $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme.

    (Attention à l'ordre des lettres : A-B-D-C)

    📝 Exercice d'application :

    Si $\vec{AB} = \vec{DC}$, quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

    Si $\vec{AB} = \vec{DC}$, alors les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
    Le quadrilatère $\mathbf{ABCD}$ est un parallélogramme.
    3. Addition de Vecteurs

    A. Relation de Chasles

    Pour tous points $A$, $B$ et $C$ :

    $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$

    B. Règle du parallélogramme

    Si deux vecteurs partent du même point :

    $$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$ (Où $C$ est le 4ème sommet du parallélogramme $ABCD$)
    A B D C
    4. La Translation

    Glisser une figure sans la tourner, c'est effectuer une translation.

    Dire que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ signifie que :

    $$\vec{MM'} = \vec{u}$$

    📝 Exercice d'application :

    Soit $T$ la translation qui transforme $A$ en $B$. Quelle est l'image de $C$ par $T$ si $\vec{AB} = \vec{CD}$ ?

    La translation transforme $A$ en $B$, son vecteur est $\vec{AB}$.
    L'image de $C$ est le point $M$ tel que $\vec{CM} = \vec{AB}$.
    Comme on nous dit $\vec{AB} = \vec{CD}$, alors l'image de $C$ est le point $\mathbf{D}$.