Vecteurs et Translation
Cette fiche d'exercices couvre les concepts fondamentaux de la géométrie vectorielle : somme de vecteurs, relation de Chasles, construction de points et propriétés de la translation.
Simplification vectorielle
1. Simplifier au maximum les expressions suivantes :
Correction :
- $A = \vec{AC} + \vec{CD} = \mathbf{\vec{AD}}$ (Relation de Chasles)
- $B = \vec{BA} + \vec{AC} + \vec{CB} = (\vec{BA} + \vec{AC}) + \vec{CB} = \vec{BC} + \vec{CB} = \vec{BB} = \mathbf{\vec{0}}$
- $C = \vec{OE} + \vec{FO} + \vec{EF} = \vec{FO} + \vec{OE} + \vec{EF} = \vec{FE} + \vec{EF} = \mathbf{\vec{0}}$
- $D = (\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{BC} + \vec{CA}) = \vec{0} + \vec{BA} = \mathbf{\vec{BA}}$
Soit $ABC$ un triangle.
- Construire le point $E$ tel que $\vec{AE} = \vec{BC}$.
- Montrer que $\vec{AB} = \vec{EC}$.
Correction :
- On trace le vecteur $\vec{AE}$ parallèle, de même sens et de même norme que $\vec{BC}$ partant de $A$.
- On a $\vec{AE} = \vec{BC}$, donc le quadrilatère $ABCE$ est un parallélogramme.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux vectoriellement, donc $\mathbf{\vec{AB} = \vec{EC}}$.
Soit $ABC$ un triangle.
- Construire le point $E$ tel que $\vec{AC} = \vec{AE} + \vec{AB}$.
- Construire les points $M$ et $N$, symétriques respectifs de $A$ et $C$ par rapport à $B$.
- Montrer que $\vec{NC} = \vec{NA} + \vec{NM}$.
Correction :
1. $\vec{AC} = \vec{AE} + \vec{AB} \iff \vec{AE} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BC}$. Donc $E$ est tel que $ABEC$ est un parallélogramme.
3. $M$ symétrique de $A$ par rapport à $B \implies B$ milieu de $[AM]$.
$N$ symétrique de $C$ par rapport à $B \implies B$ milieu de $[CN]$.
Donc $ACMN$ est un parallélogramme (diagonales se coupent en leur milieu).
D'après la règle du parallélogramme : $\mathbf{\vec{NC} = \vec{NA} + \vec{NM}}$.
Soit $ABCD$ un parallélogramme. Soient $E$ et $F$ deux points tels que :
- Construire la figure.
- Montrer que $B$ est le milieu du segment $[AF]$.
Correction :
On sait que $ABCD$ est un parallélogramme $\implies \vec{AB} = \vec{DC}$.
On a $\vec{DC} = \vec{CE}$, donc $\vec{AB} = \vec{CE}$ (1).
On a aussi $\vec{BC} = \vec{FE} \implies BCEF$ est un parallélogramme $\implies \vec{FB} = \vec{EC}$ ou $\vec{BF} = \vec{CE}$ (2).
De (1) et (2), on déduit $\vec{AB} = \vec{BF}$.
Puisque $\vec{AB} = \vec{BF}$, alors $B$ est le milieu de $[AF]$.
Multiplication par un scalaire
Soit $ABC$ un triangle. Construire les points suivants :
- 1 Point $I$ tel que $\vec{AI} = 3\vec{AB}$.
- 2 Point $J$ tel que $\vec{AJ} = \frac{4}{3}\vec{BC}$.
- 3 Point $K$ tel que $\vec{AK} = -\frac{3}{2}\vec{BC}$.
Correction :
- Point I : Tracer la droite $(AB)$. Reporter 3 fois la longueur $AB$ à partir de $A$ dans le sens de $A$ vers $B$.
- Point J : Diviser $[BC]$ en 3 parties égales. Prendre 4 fois cette unité à partir de $A$ sur une parallèle à $(BC)$.
- Point K : Diviser $[BC]$ en 2. Prendre 3 fois cette unité à partir de $A$ sur une parallèle à $(BC)$, mais dans le sens opposé à $\vec{BC}$ (car signe négatif).
Alignement de points
Soit $ABC$ un triangle.
- Construire les points $D$, $I$ et $K$.
-
Montrer que :
$\vec{KD} = \vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$ $\vec{KI} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$
- Déduire que les points $I$, $K$ et $D$ sont alignés.
Correction :
2. $\vec{KD} = \vec{KA} + \vec{AD} = -\vec{AK} + (\vec{AB} + \vec{AC}) = -(-\frac{1}{2}\vec{AC}) + \vec{AB} + \vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$.
$\vec{KI} = \vec{KA} + \vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AB}$.
3. Observons $\vec{KD}$ et $\vec{KI}$ :
$\vec{KD} = \vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$ et $3 \times \vec{KI} = 3(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = \vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$.
Donc $\vec{KD} = 3\vec{KI}$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $K, I, D$ sont alignés.
Translation
Soit $ABC$ un triangle.
- Construire le point $E$, image de $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ($t_{\vec{AB}}$).
- Construire le point $F$, image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.
- Montrer que $C$ est le milieu du segment $[EF]$.
Correction :
1. $E$ image de $C$ par $t_{\vec{AB}} \iff \vec{CE} = \vec{AB}$.
2. $F$ image de $A$ par $t_{\vec{BC}} \iff \vec{AF} = \vec{BC}$.
3. $\vec{CE} = \vec{AB}$ (1).
$\vec{AF} = \vec{BC} \implies ABCF$ est un parallélogramme $\implies \vec{FC} = \vec{AB}$ (2).
De (1) et (2) : $\vec{CE} = \vec{FC}$.
Puisque $\vec{FC} = \vec{CE}$, $C$ est le milieu de $[FE]$.
Soit $ABC$ un triangle.
- Construire le point $E$, image de $C$ par la translation qui transforme $B$ en $A$.
- Construire le point $F$, image de $E$ par la translation de vecteur $\vec{AC}$.
- Montrer que $F$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\vec{AE}$.
Correction :
1. $E = t_{\vec{BA}}(C) \iff \vec{CE} = \vec{BA}$.
2. $F = t_{\vec{AC}}(E) \iff \vec{EF} = \vec{AC}$.
3. On cherche $\vec{CF}$. Par Chasles : $\vec{CF} = \vec{CE} + \vec{EF}$.
$\vec{CF} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.
Or on cherche à montrer que $F = t_{\vec{AE}}(C) \iff \vec{CF} = \vec{AE}$.
Calculons $\vec{AE}$. $\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BC}$.
Donc $\vec{CF} = \vec{AE}$. $F$ est bien l'image de $C$ par $t_{\vec{AE}}$.
$ABCD$ est un carré et $F$ est le symétrique de $D$ par rapport à $B$.
- Construire le point $E$, image de $C$ par la translation qui transforme $D$ en $B$.
- Montrer que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
- Montrer que l'image de l'angle $\widehat{BDC}$ par cette translation est l'angle $\widehat{FBE}$, puis déterminer sa mesure.
Correction :
2. $E = t_{\vec{DB}}(C) \iff \vec{CE} = \vec{DB}$.
$ABCD$ carré $\implies \vec{AB} = \vec{DC}$.
$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{AC} + \vec{DB}$. (Propriété des diagonales : perpendiculaires et même longueur, mais vectoriellement $\vec{AC} + \vec{DB} = 2\vec{AB}$).
Plus simplement: $\vec{CE} = \vec{DB}$. $B$ milieu de $[AE]$ si $\vec{AB} = \vec{BE}$.
On a $\vec{BE} = \vec{BC} + \vec{CE} = \vec{BC} + \vec{DB} = \vec{BC} + (\vec{DA} + \vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{CB} + \vec{AB} = \vec{AB}$.
Donc $\vec{AB} = \vec{BE}$, $B$ est milieu de $[AE]$.
3. Translation vecteur $\vec{DB}$ :
$D \to B$, $C \to E$, $B \to F$ (car $F$ symétrique de $D$ par rapport à $B \implies \vec{DB} = \vec{BF}$).
Donc l'image de $\widehat{BDC}$ est $\widehat{FBE}$.
La translation conserve les angles. Dans un carré, diagonale est bissectrice, donc $\widehat{BDC} = 45^\circ$.
Donc $\widehat{FBE} = 45^\circ$.
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