Bilan des Apprentissages
Géométrie : Les Angles et les Triangles
Activités géométriques - Partie 2
1 Les Angles
Définition : Toute partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine s'appelle un angle.
Exemple : L'angle \(\widehat{AOB}\) ou \(\widehat{BOA}\)
• \(O\) : Le sommet de l'angle
• \([OA)\) et \([OB)\) : Les côtés de l'angle
Exemple : L'angle \(\widehat{AOB}\) ou \(\widehat{BOA}\)
• \(O\) : Le sommet de l'angle
• \([OA)\) et \([OB)\) : Les côtés de l'angle
Classification des angles
| Type | Mesure | Description |
|---|---|---|
| Nul | \(0°\) | Demi-droites confondues |
| Aigu | \(]0°, 90°[\) | Plus petit qu'un droit |
| Droit | \(90°\) | Symbole carré |
| Obtus | \(]90°, 180°[\) | Plus grand qu'un droit |
| Plat | \(180°\) | Demi-droites opposées |
| Rentrant | \(180° < \theta < 360°\) | Saillant vers l'intérieur |
| Plein | \(360°\) | Tour complet |
Angles usuels
Complémentaires
Somme = 90°
\(\hat{A} + \hat{B} = 90°\)
Supplémentaires
Somme = 180°
\(\hat{A} + \hat{B} = 180°\)
Relations particulières
Opposés par le sommet
- Même sommet
- Côtés prolongés
- \(\widehat{AOB} = \widehat{COD}\)
Adjacents
- Même sommet
- Un côté commun
- \(\widehat{ABD} = \widehat{ABC} + \widehat{CBD}\)
2 Les Triangles
Définition : Polygone fermé à trois côtés (\(ABC\) avec sommets \(A, B, C\)).
3 Somme des angles
Propriété : La somme des trois angles d'un triangle égale 180°.
\(\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{BCA} = 180°\)
Ex : Si \(\widehat{ABC} = 20°\) et \(\widehat{ACB} = 60°\), alors \(\widehat{BAC} = 100°\).
4 Cas particuliers
Triangle Rectangle
Possède un angle droit (90°). L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Propriété : Les angles aigus sont complémentaires (\(\hat{B} + \hat{C} = 90°\)).
Triangle Isocèle
Deux côtés de même longueur. Sommet principal (sommet des côtés égaux) et base (côté opposé).
Propriété
Les angles à la base sont égaux.
Cas particulier
Isocèle rectangle → angles de 45°, 45°, 90°
Triangle Équilatéral
Trois côtés de même longueur.
Propriété : Trois angles égaux à 60°.
5 Inégalité triangulaire
Chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
\(AB < AC + CB\)
\(AC < AB + BC\)
\(BC < AB + AC\)
\(AC < AB + BC\)
\(BC < AB + AC\)
Construction possible si : plus grande longueur < somme des deux autres.
✅ 2, 3, 4 cm (\(4 < 5\)) | ❌ 3, 4, 9 cm (\(9 > 7\))
✅ 2, 3, 4 cm (\(4 < 5\)) | ❌ 3, 4, 9 cm (\(9 > 7\))
Alignement
Si \(C \in [AB]\) alors \(AB = AC + CB\).