Développement et Factorisation

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Développement et Factorisation

Développement et Factorisation

Calcul littéral
Transformer et simplifier des expressions algébriques

1 Rappels et définitions

Expression littérale : Une expression contenant des lettres (variables) représentant des nombres.
Exemples : \(3x + 5\), \(2x^2 - 4x + 7\), \((x+2)(x-3)\)

Développer

Transformer un produit en une somme ou une différence.

\(2(x+3) = 2x + 6\)

Factoriser

Transformer une somme ou une différence en un produit.

\(3x + 6 = 3(x+2)\)
Terminologie :
• Monôme : Produit de nombres et de lettres (\(3x^2\), \(-5xy\))
• Binôme : Somme de deux monômes (\(x+3\), \(2a-5b\))
• Trinôme : Somme de trois monômes (\(x^2+2x+1\))

2 Développement : Simple distribution

Propriété : \(k(a + b) = ka + kb\)   et   \(k(a - b) = ka - kb\)
On dit que la multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction.
Méthode :
  1. On multiplie \(k\) par chaque terme entre parenthèses
  2. On fait attention aux signes
Exemples :
\(3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\)

\(-2(x - 5) = -2 \times x + (-2) \times (-5) = -2x + 10\)

\(x(2x + 3) = x \times 2x + x \times 3 = 2x^2 + 3x\)
Attention aux signes :
Si \(k\) est négatif, tous les termes changent de signe !
\(-(x - 3) = -x + 3\) (et non pas \(-x - 3\))

3 Développement : Double distribution

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
La règle de FOIL (pour mémoriser) :
First (premiers), Outer (extérieurs), Inner (intérieurs), Last (derniers)
\((a+b)(c+d) = \underbrace{ac}_{F} + \underbrace{ad}_{O} + \underbrace{bc}_{I} + \underbrace{bd}_{L}\)
Exemple : Développer \((x + 3)(x + 2)\)
\(= x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2\)
\(= x^2 + 2x + 3x + 6\)
\(= x^2 + 5x + 6\) (on réduit les termes semblables)
Exemple avec signes : \((2x - 5)(3x - 4)\)
\(= 2x \times 3x + 2x \times (-4) + (-5) \times 3x + (-5) \times (-4)\)
\(= 6x^2 - 8x - 15x + 20\)
\(= 6x^2 - 23x + 20\)

4 Les identités remarquables

🔹 Carré d'une somme

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
« Le carré d'une somme égale la somme des carrés plus le double produit »

🔹 Carré d'une différence

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
« Le carré d'une différence égale la somme des carrés moins le double produit »

🔹 Produit de la somme par la différence

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
« Somme fois différence égale différence des carrés »
Applications numériques :
\(101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)
\(99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\)
\(103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 10000 - 9 = 9991\)

5 Factorisation

Méthode 1 : Facteur commun évident

On cherche un facteur présent dans tous les termes de la somme.
Exemple : Factoriser \(4x + 6\)
\(4x + 6 = 2 \times 2x + 2 \times 3\)
\(= 2(2x + 3)\)
Exemple : Factoriser \(3x^2 - 6x\)
\(3x^2 - 6x = 3x \times x - 3x \times 2\)
\(= 3x(x - 2)\)

Méthode 2 : Utiliser les identités remarquables

On utilise les identités « à l'envers » (de la droite vers la gauche).
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
Exemple 1 : \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)
car \(25 = 5^2\) et \(10x = 2 \times x \times 5\)
Exemple 2 : \(9x^2 - 4 = (3x + 2)(3x - 2)\)
car \(9x^2 = (3x)^2\) et \(4 = 2^2\) (différence de deux carrés)

6 Réduction d'expressions

Réduire une expression, c'est l'écrire le plus simplement possible en regroupant les termes semblables.
Termes semblables : Termes ayant la même partie littérale (mêmes lettres avec mêmes exposants).
On peut alors les additionner ou les soustraire.
Exemple : Réduire \(A = 3x + 2 - 5x + 7\)
Termes en \(x\) : \(3x - 5x = -2x\)
Termes constants : \(2 + 7 = 9\)
Donc \(A = -2x + 9\)
Exemple : Réduire \(B = 2x^2 + 3x - 5 + x^2 - 4x + 2\)
Termes en \(x^2\) : \(2x^2 + x^2 = 3x^2\)
Termes en \(x\) : \(3x - 4x = -x\)
Termes constants : \(-5 + 2 = -3\)
Donc \(B = 3x^2 - x - 3\)
Attention : On ne peut pas additionner des termes qui n'ont pas la même partie littérale !
\(2x + 3x^2\) ne se simplifie pas (car \(x \neq x^2\))
\(4x + 5\) ne se simplifie pas (pas de lettre dans le 5)

7 Applications et méthodes

Vérification d'une égalité

Pour vérifier si deux expressions sont égales, on développe les deux membres et on compare.
L'égalité \((x+2)^2 = x^2 + 4\) est-elle vraie ?
Membre gauche : \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
Membre droit : \(x^2 + 4\)
Non égaux (il manque \(4x\))

Calcul avec une valeur donnée

Calculer \(A = (x+3)(x-2)\) pour \(x = 4\)
Méthode 1 (directe) : \((4+3)(4-2) = 7 \times 2 = 14\)
Méthode 2 (développée) : \(A = x^2 + x - 6 = 16 + 4 - 6 = 14\)
Astuce : Il est souvent plus rapide de développer avant de calculer lorsque la valeur de \(x\) est « compliquée » (fraction, négative...).

Développement et Factorisation - Calcul littéral | Bilan des Apprentissages

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