Développement et Factorisation

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جدول المحتويات
    Développement et Factorisation

    Développement et Factorisation

    Calcul littéral
    Transformer et simplifier des expressions algébriques

    1 Rappels et définitions

    Expression littérale : Une expression contenant des lettres (variables) représentant des nombres.
    Exemples : \(3x + 5\), \(2x^2 - 4x + 7\), \((x+2)(x-3)\)

    Développer

    Transformer un produit en une somme ou une différence.

    \(2(x+3) = 2x + 6\)

    Factoriser

    Transformer une somme ou une différence en un produit.

    \(3x + 6 = 3(x+2)\)
    Terminologie :
    • Monôme : Produit de nombres et de lettres (\(3x^2\), \(-5xy\))
    • Binôme : Somme de deux monômes (\(x+3\), \(2a-5b\))
    • Trinôme : Somme de trois monômes (\(x^2+2x+1\))

    2 Développement : Simple distribution

    Propriété : \(k(a + b) = ka + kb\)   et   \(k(a - b) = ka - kb\)
    On dit que la multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction.
    Méthode :
    1. On multiplie \(k\) par chaque terme entre parenthèses
    2. On fait attention aux signes
    Exemples :
    \(3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\)

    \(-2(x - 5) = -2 \times x + (-2) \times (-5) = -2x + 10\)

    \(x(2x + 3) = x \times 2x + x \times 3 = 2x^2 + 3x\)
    Attention aux signes :
    Si \(k\) est négatif, tous les termes changent de signe !
    \(-(x - 3) = -x + 3\) (et non pas \(-x - 3\))

    3 Développement : Double distribution

    \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
    La règle de FOIL (pour mémoriser) :
    First (premiers), Outer (extérieurs), Inner (intérieurs), Last (derniers)
    \((a+b)(c+d) = \underbrace{ac}_{F} + \underbrace{ad}_{O} + \underbrace{bc}_{I} + \underbrace{bd}_{L}\)
    Exemple : Développer \((x + 3)(x + 2)\)
    \(= x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2\)
    \(= x^2 + 2x + 3x + 6\)
    \(= x^2 + 5x + 6\) (on réduit les termes semblables)
    Exemple avec signes : \((2x - 5)(3x - 4)\)
    \(= 2x \times 3x + 2x \times (-4) + (-5) \times 3x + (-5) \times (-4)\)
    \(= 6x^2 - 8x - 15x + 20\)
    \(= 6x^2 - 23x + 20\)

    4 Les identités remarquables

    🔹 Carré d'une somme

    \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
    « Le carré d'une somme égale la somme des carrés plus le double produit »

    🔹 Carré d'une différence

    \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
    « Le carré d'une différence égale la somme des carrés moins le double produit »

    🔹 Produit de la somme par la différence

    \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
    « Somme fois différence égale différence des carrés »
    Applications numériques :
    \(101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)
    \(99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\)
    \(103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 10000 - 9 = 9991\)

    5 Factorisation

    Méthode 1 : Facteur commun évident

    On cherche un facteur présent dans tous les termes de la somme.
    Exemple : Factoriser \(4x + 6\)
    \(4x + 6 = 2 \times 2x + 2 \times 3\)
    \(= 2(2x + 3)\)
    Exemple : Factoriser \(3x^2 - 6x\)
    \(3x^2 - 6x = 3x \times x - 3x \times 2\)
    \(= 3x(x - 2)\)

    Méthode 2 : Utiliser les identités remarquables

    On utilise les identités « à l'envers » (de la droite vers la gauche).
    \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
    \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)
    \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
    Exemple 1 : \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)
    car \(25 = 5^2\) et \(10x = 2 \times x \times 5\)
    Exemple 2 : \(9x^2 - 4 = (3x + 2)(3x - 2)\)
    car \(9x^2 = (3x)^2\) et \(4 = 2^2\) (différence de deux carrés)

    6 Réduction d'expressions

    Réduire une expression, c'est l'écrire le plus simplement possible en regroupant les termes semblables.
    Termes semblables : Termes ayant la même partie littérale (mêmes lettres avec mêmes exposants).
    On peut alors les additionner ou les soustraire.
    Exemple : Réduire \(A = 3x + 2 - 5x + 7\)
    Termes en \(x\) : \(3x - 5x = -2x\)
    Termes constants : \(2 + 7 = 9\)
    Donc \(A = -2x + 9\)
    Exemple : Réduire \(B = 2x^2 + 3x - 5 + x^2 - 4x + 2\)
    Termes en \(x^2\) : \(2x^2 + x^2 = 3x^2\)
    Termes en \(x\) : \(3x - 4x = -x\)
    Termes constants : \(-5 + 2 = -3\)
    Donc \(B = 3x^2 - x - 3\)
    Attention : On ne peut pas additionner des termes qui n'ont pas la même partie littérale !
    \(2x + 3x^2\) ne se simplifie pas (car \(x \neq x^2\))
    \(4x + 5\) ne se simplifie pas (pas de lettre dans le 5)

    7 Applications et méthodes

    Vérification d'une égalité

    Pour vérifier si deux expressions sont égales, on développe les deux membres et on compare.
    L'égalité \((x+2)^2 = x^2 + 4\) est-elle vraie ?
    Membre gauche : \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
    Membre droit : \(x^2 + 4\)
    Non égaux (il manque \(4x\))

    Calcul avec une valeur donnée

    Calculer \(A = (x+3)(x-2)\) pour \(x = 4\)
    Méthode 1 (directe) : \((4+3)(4-2) = 7 \times 2 = 14\)
    Méthode 2 (développée) : \(A = x^2 + x - 6 = 16 + 4 - 6 = 14\)
    Astuce : Il est souvent plus rapide de développer avant de calculer lorsque la valeur de \(x\) est « compliquée » (fraction, négative...).

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