Droite graduée et repérage dans le plan

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جدول المحتويات
    Droite graduée et repérage dans le plan

    📐 Droite graduée et repérage dans le plan

    Cours de mathématiques - Géométrie analytique

    📏 La Droite graduée

    📖 Définition

    Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

    • Un point origine noté O, d'abscisse 0
    • Une unité de longueur
    • Un sens de parcours (généralement de gauche à droite)

    Représentation graphique

    ⚡ Propriété importante

    À chaque point de la droite graduée correspond un nombre unique appelé abscisse du point.

    💡 Exemple

    Sur la droite graduée ci-dessus :

    • Le point A a pour abscisse -3
    • Le point B a pour abscisse 1
    • Le point C a pour abscisse 4

    📝 Vocabulaire

    • Abscisse : coordonnée d'un point sur une droite graduée
    • Origine : point de référence d'abscisse 0
    • Unité : distance entre deux graduations consécutives

    📊 Le Repère orthogonal

    📖 Définition

    Un repère orthogonal du plan est constitué de :

    • Un point O appelé origine du repère
    • Deux droites graduées perpendiculaires passant par O :
      • L'axe des abscisses (horizontal) noté (Ox)
      • L'axe des ordonnées (vertical) noté (Oy)

    On note ce repère : (O ; I, J) où I et J sont les unités sur chaque axe.

    Représentation du repère

    🎯 Types de repères

    • Repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires
    • Repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires ET les unités sont égales (OI = OJ)
    • Repère quelconque : les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires

    ⚠️ À retenir

    Dans un repère orthogonal :

    • L'axe horizontal est l'axe des abscisses
    • L'axe vertical est l'axe des ordonnées
    • Les deux axes se coupent à l'origine O

    📍 Les Coordonnées d'un point

    📖 Définition

    Dans un repère (O ; I, J), tout point M du plan est repéré par un couple de nombres (x ; y) appelé coordonnées du point M :

    • x est l'abscisse de M
    • y est l'ordonnée de M

    On note : M(x ; y)

    🎮 Outil interactif : Placer un point

    💡 Exemple de lecture de coordonnées

    Pour lire les coordonnées d'un point M :

    1. Tracer une ligne verticale passant par M → elle coupe l'axe (Ox) → on lit l'abscisse x
    2. Tracer une ligne horizontale passant par M → elle coupe l'axe (Oy) → on lit l'ordonnée y
    Point Abscisse (x) Ordonnée (y) Coordonnées
    A 3 2 A(3 ; 2)
    B -2 4 B(-2 ; 4)
    C 0 -3 C(0 ; -3)
    O 0 0 O(0 ; 0)

    ⚠️ Attention

    • L'ordre des coordonnées est important : (x ; y) ≠ (y ; x)
    • On écrit toujours l'abscisse en premier, puis l'ordonnée
    • On sépare les coordonnées par un point-virgule (;)

    📐 Distance entre deux points

    📖 Formule de la distance

    Dans un repère orthonormé (O ; I, J), la distance entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est donnée par :

    AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]

    💡 Exemple d'application

    Calculer la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6)

    Solution :

    1. On identifie : xA = 1, yA = 2, xB = 4, yB = 6
    2. On calcule : xB - xA = 4 - 1 = 3
    3. On calcule : yB - yA = 6 - 2 = 4
    4. On applique la formule : AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

    🎮 Calculateur de distance

    ⚡ Cas particuliers
    • Points sur un axe horizontal (même ordonnée) : AB = |xB - xA|
    • Points sur un axe vertical (même abscisse) : AB = |yB - yA|
    • Origine O(0;0) et point A(x;y) : OA = √(x² + y²)

    🎯 Coordonnées du milieu d'un segment

    📖 Formule du milieu

    Dans un repère (O ; I, J), si I est le milieu du segment [AB] où A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors les coordonnées de I sont :

    I( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )

    Le milieu a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées

    💡 Exemple d'application

    Trouver les coordonnées du milieu I de [AB] avec A(2 ; 5) et B(8 ; 1)

    Solution :

    1. On identifie : xA = 2, yA = 5, xB = 8, yB = 1
    2. Abscisse de I : xI = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5
    3. Ordonnée de I : yI = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
    4. Donc : I(5 ; 3)

    🎮 Calculateur de milieu

    💡 Astuce mnémotechnique

    Pour retenir la formule du milieu : "Faire la moyenne des x, faire la moyenne des y"

    ⚙️ Application pratique

    La formule du milieu est très utile pour :

    • Trouver le centre d'un segment
    • Vérifier qu'un point est le milieu d'un segment
    • Résoudre des problèmes de géométrie analytique

    ✏️ Exercices d'application

    📝 Exercice 1 : Placer des points

    Dans un repère orthonormé (O ; I, J), placer les points suivants :

    • A(3 ; 2)
    • B(-2 ; 4)
    • C(0 ; -3)
    • D(-4 ; -1)
    • E(5 ; 0)
    📝 Exercice 2 : Calculer des distances

    Calculer les distances suivantes :

    1. AB avec A(1 ; 1) et B(4 ; 5)
    2. CD avec C(-2 ; 3) et D(3 ; -2)
    3. EF avec E(0 ; 0) et F(6 ; 8)
    💡 Réponses :
    1. AB = √[(4-1)² + (5-1)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
    2. CD = √[(3-(-2))² + (-2-3)²] = √(25 + 25) = √50 = 5√2 ≈ 7,07
    3. EF = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
    📝 Exercice 3 : Trouver des milieux

    Déterminer les coordonnées du milieu de chaque segment :

    1. [AB] avec A(2 ; 6) et B(8 ; 2)
    2. [CD] avec C(-3 ; 5) et D(7 ; -1)
    3. [EF] avec E(-4 ; -2) et F(4 ; 6)
    💡 Réponses :
    1. I((2+8)/2 ; (6+2)/2) = I(5 ; 4)
    2. J((-3+7)/2 ; (5-1)/2) = J(2 ; 2)
    3. K((-4+4)/2 ; (-2+6)/2) = K(0 ; 2)
    📝 Exercice 4 : Problème synthèse

    On donne les points A(1 ; 2), B(7 ; 4) et C(4 ; 6).

    1. Calculer les distances AB, AC et BC
    2. Que peut-on dire du triangle ABC ?
    3. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB]
    4. Calculer la distance CI

    📚 Pour aller plus loin

    • Vecteurs et coordonnées
    • Équations de droites
    • Cercles et leurs équations
    • Transformations géométriques dans le plan
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