Droite graduée et repérage dans le plan

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Droite graduée et repérage dans le plan

📐 Droite graduée et repérage dans le plan

Cours de mathématiques - Géométrie analytique

📏 La Droite graduée

📖 Définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

  • Un point origine noté O, d'abscisse 0
  • Une unité de longueur
  • Un sens de parcours (généralement de gauche à droite)

Représentation graphique

⚡ Propriété importante

À chaque point de la droite graduée correspond un nombre unique appelé abscisse du point.

💡 Exemple

Sur la droite graduée ci-dessus :

  • Le point A a pour abscisse -3
  • Le point B a pour abscisse 1
  • Le point C a pour abscisse 4

📝 Vocabulaire

  • Abscisse : coordonnée d'un point sur une droite graduée
  • Origine : point de référence d'abscisse 0
  • Unité : distance entre deux graduations consécutives

📊 Le Repère orthogonal

📖 Définition

Un repère orthogonal du plan est constitué de :

  • Un point O appelé origine du repère
  • Deux droites graduées perpendiculaires passant par O :
    • L'axe des abscisses (horizontal) noté (Ox)
    • L'axe des ordonnées (vertical) noté (Oy)

On note ce repère : (O ; I, J) où I et J sont les unités sur chaque axe.

Représentation du repère

🎯 Types de repères

  • Repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires
  • Repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires ET les unités sont égales (OI = OJ)
  • Repère quelconque : les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires

⚠️ À retenir

Dans un repère orthogonal :

  • L'axe horizontal est l'axe des abscisses
  • L'axe vertical est l'axe des ordonnées
  • Les deux axes se coupent à l'origine O

📍 Les Coordonnées d'un point

📖 Définition

Dans un repère (O ; I, J), tout point M du plan est repéré par un couple de nombres (x ; y) appelé coordonnées du point M :

  • x est l'abscisse de M
  • y est l'ordonnée de M

On note : M(x ; y)

🎮 Outil interactif : Placer un point

💡 Exemple de lecture de coordonnées

Pour lire les coordonnées d'un point M :

  1. Tracer une ligne verticale passant par M → elle coupe l'axe (Ox) → on lit l'abscisse x
  2. Tracer une ligne horizontale passant par M → elle coupe l'axe (Oy) → on lit l'ordonnée y
Point Abscisse (x) Ordonnée (y) Coordonnées
A 3 2 A(3 ; 2)
B -2 4 B(-2 ; 4)
C 0 -3 C(0 ; -3)
O 0 0 O(0 ; 0)

⚠️ Attention

  • L'ordre des coordonnées est important : (x ; y) ≠ (y ; x)
  • On écrit toujours l'abscisse en premier, puis l'ordonnée
  • On sépare les coordonnées par un point-virgule (;)

📐 Distance entre deux points

📖 Formule de la distance

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), la distance entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est donnée par :

AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]

💡 Exemple d'application

Calculer la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6)

Solution :

  1. On identifie : xA = 1, yA = 2, xB = 4, yB = 6
  2. On calcule : xB - xA = 4 - 1 = 3
  3. On calcule : yB - yA = 6 - 2 = 4
  4. On applique la formule : AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

🎮 Calculateur de distance

⚡ Cas particuliers
  • Points sur un axe horizontal (même ordonnée) : AB = |xB - xA|
  • Points sur un axe vertical (même abscisse) : AB = |yB - yA|
  • Origine O(0;0) et point A(x;y) : OA = √(x² + y²)

🎯 Coordonnées du milieu d'un segment

📖 Formule du milieu

Dans un repère (O ; I, J), si I est le milieu du segment [AB] où A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors les coordonnées de I sont :

I( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )

Le milieu a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées

💡 Exemple d'application

Trouver les coordonnées du milieu I de [AB] avec A(2 ; 5) et B(8 ; 1)

Solution :

  1. On identifie : xA = 2, yA = 5, xB = 8, yB = 1
  2. Abscisse de I : xI = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5
  3. Ordonnée de I : yI = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
  4. Donc : I(5 ; 3)

🎮 Calculateur de milieu

💡 Astuce mnémotechnique

Pour retenir la formule du milieu : "Faire la moyenne des x, faire la moyenne des y"

⚙️ Application pratique

La formule du milieu est très utile pour :

  • Trouver le centre d'un segment
  • Vérifier qu'un point est le milieu d'un segment
  • Résoudre des problèmes de géométrie analytique

✏️ Exercices d'application

📝 Exercice 1 : Placer des points

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), placer les points suivants :

  • A(3 ; 2)
  • B(-2 ; 4)
  • C(0 ; -3)
  • D(-4 ; -1)
  • E(5 ; 0)
📝 Exercice 2 : Calculer des distances

Calculer les distances suivantes :

  1. AB avec A(1 ; 1) et B(4 ; 5)
  2. CD avec C(-2 ; 3) et D(3 ; -2)
  3. EF avec E(0 ; 0) et F(6 ; 8)
💡 Réponses :
  1. AB = √[(4-1)² + (5-1)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
  2. CD = √[(3-(-2))² + (-2-3)²] = √(25 + 25) = √50 = 5√2 ≈ 7,07
  3. EF = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
📝 Exercice 3 : Trouver des milieux

Déterminer les coordonnées du milieu de chaque segment :

  1. [AB] avec A(2 ; 6) et B(8 ; 2)
  2. [CD] avec C(-3 ; 5) et D(7 ; -1)
  3. [EF] avec E(-4 ; -2) et F(4 ; 6)
💡 Réponses :
  1. I((2+8)/2 ; (6+2)/2) = I(5 ; 4)
  2. J((-3+7)/2 ; (5-1)/2) = J(2 ; 2)
  3. K((-4+4)/2 ; (-2+6)/2) = K(0 ; 2)
📝 Exercice 4 : Problème synthèse

On donne les points A(1 ; 2), B(7 ; 4) et C(4 ; 6).

  1. Calculer les distances AB, AC et BC
  2. Que peut-on dire du triangle ABC ?
  3. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB]
  4. Calculer la distance CI

📚 Pour aller plus loin

  • Vecteurs et coordonnées
  • Équations de droites
  • Cercles et leurs équations
  • Transformations géométriques dans le plan
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