Droites dans le plan : Parallélisme et Perpendicularité

~5 دقائق قراءة الأولى-إعدادي
جدول المحتويات

    المستقيمات في المستوى: التوازي والتعامد

    Droites dans le plan : Parallélisme et Perpendicularité
    السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 04

    في هذا الدرس سنتعرّف على المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمستقيمات في المستوى: المستقيم، نصف المستقيم، القطعة، ثم ندرس علاقتي التعامد والتوازي مع خاصياتهما الأساسية.

    I

    المستقيم — نصف المستقيم — القطعة

    Droite — Demi-droite — Segment
    تعريف / Définition
    المستقيم (La droite) : خط مستقيم يمتدّ إلى ما لا نهاية من الجهتين. يُعيَّن بنقطتين مختلفتين.
    المستقيم المارّ من النقطتين \(A\) و \(B\) يُرمز له بـ:
    \[ (AB) \quad \text{أو} \quad (BA) \quad \text{أو} \quad (d) \]
    A B (AB) : La droite
    المستقيم \((AB)\) يمتدّ من الجهتين بلا نهاية
    تعريف / Définition
    نصف المستقيم (La demi-droite) : جزء من مستقيم له أصل (نقطة بداية) ويمتدّ إلى ما لا نهاية من جهة واحدة.
    نصف المستقيم ذو الأصل \(A\) والمارّ من \(B\) يُرمز له بـ:
    \[ [AB) \]
    A B [AB) : La demi-droite
    نصف المستقيم \([AB)\) : أصله \(A\) ويمتدّ مروراً بـ \(B\)
    تعريف / Définition
    القطعة (Le segment) : جزء من مستقيم محدود بنقطتين تُسمّيان طرفيه.
    القطعة ذات الطرفين \(A\) و \(B\) يُرمز لها بـ:
    \[ [AB] \quad \text{وطولها يُرمز له بـ} \quad AB \]
    A B [AB] : Le segment
    القطعة \([AB]\) محدودة بالنقطتين \(A\) و \(B\)
    ترميزات / Notations
    الاسم Nom الرمز / Notation الامتداد / Extension
    مستقيم Droite \((AB)\)  أو  \((d)\) لا نهائي من الجهتين   \(\longleftrightarrow\)
    نصف مستقيم Demi-droite \([AB)\) أصل + لا نهائي من جهة   \(\longrightarrow\)
    قطعة Segment \([AB]\) محدودة من الجهتين   \(\bullet\!\!—\!\!\bullet\)
    II

    مستقيمان متقاطعان

    Droites sécantes
    تعريف / Définition
    نقول إنّ مستقيمين متقاطعان (sécantes) إذا كانت لهما نقطة مشتركة وحيدة تُسمّى نقطة التقاطع (point d'intersection).
    \[ (d_1) \cap (d_2) = \{O\} \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \text{ et } (d_2) \text{ sont sécantes en } O \]
    O (d₁) (d₂)
    \((d_1)\) و \((d_2)\) متقاطعان في النقطة \(O\)
    III

    المستقيمان المتعامدان

    Droites perpendiculaires
    تعريف / Définition
    نقول إنّ مستقيمين متعامدان (perpendiculaires) إذا كانا متقاطعين ويُشكّلان زاوية قائمة (angle droit = \(90°\)).
    \[ (d_1) \perp (d_2) \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \text{ et } (d_2) \text{ forment un angle de } 90° \]
    يُقرأ: \((d_1)\) عمودي على \((d_2)\).
    O (d₁) (d₂)
    \((d_1) \perp (d_2)\) : المربع الصغير يدلّ على الزاوية القائمة
    خاصية 1 / Propriété
    من نقطة \(A\) خارج مستقيم \((d)\)، يمرّ مستقيم وحيد عمودي على \((d)\).
    \[ \forall\, A \notin (d),\;\; \exists!\; (\Delta) \text{ tel que } A \in (\Delta) \text{ et } (\Delta) \perp (d) \]
    تعريف / Définition
    المسقط العمودي (Le projeté orthogonal) للنقطة \(A\) على المستقيم \((d)\) هو نقطة تقاطع \((d)\) مع المستقيم العمودي عليه والمارّ من \(A\).
    \[ H = \text{projeté orthogonal de } A \text{ sur } (d) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} H \in (d) \\ (AH) \perp (d) \end{cases} \]
    A H (d)
    \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((d)\) ، أي \((AH)\perp(d)\)
    خاصية 2 / Propriété
    المسافة من نقطة \(A\) إلى مستقيم \((d)\) هي أقصر مسافة بين \(A\) و نقطة على \((d)\)، وهي تساوي \(AH\):
    \[ d\big(A,\,(d)\big) = AH \]
    حيث \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((d)\). أي لكل نقطة \(M \in (d)\):
    \[ AH \leqslant AM \]
    IV

    المستقيمان المتوازيان

    Droites parallèles
    تعريف / Définition
    نقول إنّ مستقيمين متوازيان (parallèles) إذا لم يكن لهما أي نقطة مشتركة (لا يتقاطعان أبداً).
    \[ (d_1) \parallel (d_2) \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \cap (d_2) = \varnothing \]
    يُقرأ: \((d_1)\) يوازي \((d_2)\).
    (d₁) (d₂)
    \((d_1) \parallel (d_2)\) : المستقيمان لا يتقاطعان أبداً
    خاصية 3 / Propriété
    من نقطة \(A\) خارج مستقيم \((d)\)، يمرّ مستقيم وحيد موازٍ لـ \((d)\).
    \[ \forall\, A \notin (d),\;\; \exists!\; (\Delta) \text{ tel que } A \in (\Delta) \text{ et } (\Delta) \parallel (d) \]
    💡 ملاحظة / Remarque :
    مستقيمان في المستوى لهما ثلاث حالات ممكنة فقط:
    \[ \text{متقاطعان (sécantes)} \quad \Big| \quad \text{متوازيان (parallèles)} \quad \Big| \quad \text{منطبقان (confondues)} \]
    إذا كانا منطبقين (confondues)، فهما نفس المستقيم: \((d_1) = (d_2)\).
    V

    الخاصيات الأساسية للتوازي والتعامد

    Propriétés fondamentales
    خاصية 4 / Propriété
    إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان.
    \[ \begin{cases} (d_1) \perp (d) \\ (d_2) \perp (d) \end{cases} \implies (d_1) \parallel (d_2) \]
    (d₁) (d₂) (d)
    \((d_1)\perp(d)\) و \((d_2)\perp(d)\) ، إذن \((d_1) \parallel (d_2)\)
    ✎ Exemple 1 :
    On sait que \((d_1)\perp(\Delta)\) et \((d_2)\perp(\Delta)\).
    D'après la propriété 4 : \[ \boxed{(d_1) \parallel (d_2)} \]
    خاصية 5 / Propriété
    إذا كان مستقيمان متوازيين وكان مستقيم ثالث عمودياً على أحدهما، فهو عمودي على الآخر.
    \[ \begin{cases} (d_1) \parallel (d_2) \\ (d) \perp (d_1) \end{cases} \implies (d) \perp (d_2) \]
    (d₁) (d₂) (d)
    \((d_1)\parallel(d_2)\) و \((d)\perp(d_1)\) ، إذن \((d)\perp(d_2)\)
    ✎ Exemple 2 :
    On sait que \((AB) \parallel (CD)\) et \((EF) \perp (AB)\).
    D'après la propriété 5 : \[ \boxed{(EF) \perp (CD)} \]
    خاصية 6 — تعدّي التوازي / Transitivité
    إذا كان مستقيمان متوازيين مع نفس المستقيم الثالث، فهما متوازيان فيما بينهما.
    \[ \begin{cases} (d_1) \parallel (d) \\ (d_2) \parallel (d) \end{cases} \implies (d_1) \parallel (d_2) \]
    (d₁) (d) (d₂)
    \((d_1)\parallel(d)\) و \((d_2)\parallel(d)\) ، إذن \((d_1)\parallel(d_2)\)
    ✎ Exemple 3 :
    On sait que \((AB) \parallel (EF)\) et \((CD) \parallel (EF)\).
    D'après la propriété 6 (transitivité du parallélisme) : \[ \boxed{(AB) \parallel (CD)} \]
    VI

    جدول تلخيصي

    Tableau récapitulatif des propriétés
    # الفرضيات / Hypothèses ⟹ الاستنتاج / Conclusion
    4 \((d_1)\perp(d)\)  و  \((d_2)\perp(d)\) \(\implies\) \((d_1) \parallel (d_2)\)
    5 \((d_1)\parallel(d_2)\)  و  \((d)\perp(d_1)\) \(\implies\) \((d) \perp (d_2)\)
    6 \((d_1)\parallel(d)\)  و  \((d_2)\parallel(d)\) \(\implies\) \((d_1) \parallel (d_2)\)
    VII

    تمارين تطبيقية محلولة

    Exercices d'application corrigés
    📝 Exercice 1 :
    Soit trois droites \((d_1)\), \((d_2)\) et \((\Delta)\) telles que : \[ (d_1) \perp (\Delta) \quad \text{et} \quad (d_2) \perp (\Delta) \] Que peut-on conclure ? Justifier.
    ✔ Solution :
    Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite \((\Delta)\).
    D'après la propriété 4 : \[ (d_1)\perp(\Delta) \;\text{ et }\; (d_2)\perp(\Delta) \implies \boxed{(d_1) \parallel (d_2)} \]
    📝 Exercice 2 :
    Soit trois droites \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\) telles que : \[ (d_1) \parallel (d_2) \quad \text{et} \quad (d_3) \perp (d_1) \] Montrer que \((d_3) \perp (d_2)\).
    ✔ Solution :
    On sait que :
    • \((d_1) \parallel (d_2)\)  (hypothèse)
    • \((d_3) \perp (d_1)\)  (hypothèse)
    D'après la propriété 5 : si deux droites sont parallèles et une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre. \[ \boxed{(d_3) \perp (d_2)} \]
    📝 Exercice 3 :
    Soit quatre droites telles que : \[ (d_1) \parallel (d_2) \quad;\quad (d_2) \perp (d_3) \quad;\quad (d_4) \perp (d_3) \] Montrer que \((d_1) \parallel (d_4)\).
    ✔ Solution :
    Étape 1 : On sait que \((d_2)\perp(d_3)\) et \((d_4)\perp(d_3)\).
    D'après la propriété 4 : \[ (d_2)\perp(d_3) \;\text{ et }\; (d_4)\perp(d_3) \implies (d_2) \parallel (d_4) \] Étape 2 : On sait que \((d_1)\parallel(d_2)\) (hypothèse) et on vient de montrer que \((d_4)\parallel(d_2)\).
    D'après la propriété 6 (transitivité) : \[ (d_1)\parallel(d_2) \;\text{ et }\; (d_4)\parallel(d_2) \implies \boxed{(d_1) \parallel (d_4)} \]
    ⚠️ في كل تمرين هندسي، يجب دائماً ذكر الخاصية المستعملة (Propriété utilisée) لتبرير كل استنتاج. الجواب بدون تبرير لا يُقبل.