المستقيمات في المستوى: التوازي والتعامد

Droites dans le plan : Parallélisme et Perpendicularité

السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 04

في هذا الدرس سنتعرّف على المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمستقيمات في المستوى: المستقيم، نصف المستقيم، القطعة، ثم ندرس علاقتي التعامد والتوازي مع خاصياتهما الأساسية.

المستقيم — نصف المستقيم — القطعة

Droite — Demi-droite — Segment

تعريف / Définition

المستقيم (La droite) : خط مستقيم يمتدّ إلى ما لا نهاية من الجهتين. يُعيَّن بنقطتين مختلفتين.
المستقيم المارّ من النقطتين \(A\) و \(B\) يُرمز له بـ:

\[ (AB) \quad \text{أو} \quad (BA) \quad \text{أو} \quad (d) \]

المستقيم \((AB)\) يمتدّ من الجهتين بلا نهاية

تعريف / Définition

نصف المستقيم (La demi-droite) : جزء من مستقيم له أصل (نقطة بداية) ويمتدّ إلى ما لا نهاية من جهة واحدة.
نصف المستقيم ذو الأصل \(A\) والمارّ من \(B\) يُرمز له بـ:

\[ [AB) \]

نصف المستقيم \([AB)\) : أصله \(A\) ويمتدّ مروراً بـ \(B\)

تعريف / Définition

القطعة (Le segment) : جزء من مستقيم محدود بنقطتين تُسمّيان طرفيه.
القطعة ذات الطرفين \(A\) و \(B\) يُرمز لها بـ:

\[ [AB] \quad \text{وطولها يُرمز له بـ} \quad AB \]

القطعة \([AB]\) محدودة بالنقطتين \(A\) و \(B\)

ترميزات / Notations

الاسم	Nom	الرمز / Notation	الامتداد / Extension
مستقيم	Droite	\((AB)\) أو \((d)\)	لا نهائي من الجهتين \(\longleftrightarrow\)
نصف مستقيم	Demi-droite	\([AB)\)	أصل + لا نهائي من جهة \(\longrightarrow\)
قطعة	Segment	\([AB]\)	محدودة من الجهتين \(\bullet\!\!—\!\!\bullet\)

مستقيمان متقاطعان

Droites sécantes

تعريف / Définition

نقول إنّ مستقيمين متقاطعان (sécantes) إذا كانت لهما نقطة مشتركة وحيدة تُسمّى نقطة التقاطع (point d'intersection).

\[ (d_1) \cap (d_2) = \{O\} \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \text{ et } (d_2) \text{ sont sécantes en } O \]

\((d_1)\) و \((d_2)\) متقاطعان في النقطة \(O\)

III

المستقيمان المتعامدان

Droites perpendiculaires

تعريف / Définition

نقول إنّ مستقيمين متعامدان (perpendiculaires) إذا كانا متقاطعين ويُشكّلان زاوية قائمة (angle droit = \(90°\)).

\[ (d_1) \perp (d_2) \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \text{ et } (d_2) \text{ forment un angle de } 90° \]

يُقرأ: \((d_1)\) عمودي على \((d_2)\).

\((d_1) \perp (d_2)\) : المربع الصغير يدلّ على الزاوية القائمة

خاصية 1 / Propriété

من نقطة \(A\) خارج مستقيم \((d)\)، يمرّ مستقيم وحيد عمودي على \((d)\).

\[ \forall\, A \notin (d),\;\; \exists!\; (\Delta) \text{ tel que } A \in (\Delta) \text{ et } (\Delta) \perp (d) \]

تعريف / Définition

المسقط العمودي (Le projeté orthogonal) للنقطة \(A\) على المستقيم \((d)\) هو نقطة تقاطع \((d)\) مع المستقيم العمودي عليه والمارّ من \(A\).

\[ H = \text{projeté orthogonal de } A \text{ sur } (d) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} H \in (d) \\ (AH) \perp (d) \end{cases} \]

\(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((d)\) ، أي \((AH)\perp(d)\)

خاصية 2 / Propriété

المسافة من نقطة \(A\) إلى مستقيم \((d)\) هي أقصر مسافة بين \(A\) و نقطة على \((d)\)، وهي تساوي \(AH\):

\[ d\big(A,\,(d)\big) = AH \]

حيث \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((d)\). أي لكل نقطة \(M \in (d)\):

\[ AH \leqslant AM \]

المستقيمان المتوازيان

Droites parallèles

تعريف / Définition

نقول إنّ مستقيمين متوازيان (parallèles) إذا لم يكن لهما أي نقطة مشتركة (لا يتقاطعان أبداً).

\[ (d_1) \parallel (d_2) \quad \Longleftrightarrow \quad (d_1) \cap (d_2) = \varnothing \]

يُقرأ: \((d_1)\) يوازي \((d_2)\).

\((d_1) \parallel (d_2)\) : المستقيمان لا يتقاطعان أبداً

خاصية 3 / Propriété

من نقطة \(A\) خارج مستقيم \((d)\)، يمرّ مستقيم وحيد موازٍ لـ \((d)\).

\[ \forall\, A \notin (d),\;\; \exists!\; (\Delta) \text{ tel que } A \in (\Delta) \text{ et } (\Delta) \parallel (d) \]

💡 ملاحظة / Remarque :
مستقيمان في المستوى لهما ثلاث حالات ممكنة فقط:

\[ \text{متقاطعان (sécantes)} \quad \Big| \quad \text{متوازيان (parallèles)} \quad \Big| \quad \text{منطبقان (confondues)} \]

إذا كانا منطبقين (confondues)، فهما نفس المستقيم: \((d_1) = (d_2)\).

الخاصيات الأساسية للتوازي والتعامد

Propriétés fondamentales

خاصية 4 / Propriété

إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان.

\[ \begin{cases} (d_1) \perp (d) \\ (d_2) \perp (d) \end{cases} \implies (d_1) \parallel (d_2) \]

\((d_1)\perp(d)\) و \((d_2)\perp(d)\) ، إذن \((d_1) \parallel (d_2)\)

✎ Exemple 1 :

On sait que \((d_1)\perp(\Delta)\) et \((d_2)\perp(\Delta)\).
D'après la propriété 4 : \[ \boxed{(d_1) \parallel (d_2)} \]

خاصية 5 / Propriété

إذا كان مستقيمان متوازيين وكان مستقيم ثالث عمودياً على أحدهما، فهو عمودي على الآخر.

\[ \begin{cases} (d_1) \parallel (d_2) \\ (d) \perp (d_1) \end{cases} \implies (d) \perp (d_2) \]

\((d_1)\parallel(d_2)\) و \((d)\perp(d_1)\) ، إذن \((d)\perp(d_2)\)

✎ Exemple 2 :

On sait que \((AB) \parallel (CD)\) et \((EF) \perp (AB)\).
D'après la propriété 5 : \[ \boxed{(EF) \perp (CD)} \]

خاصية 6 — تعدّي التوازي / Transitivité

إذا كان مستقيمان متوازيين مع نفس المستقيم الثالث، فهما متوازيان فيما بينهما.

\[ \begin{cases} (d_1) \parallel (d) \\ (d_2) \parallel (d) \end{cases} \implies (d_1) \parallel (d_2) \]

\((d_1)\parallel(d)\) و \((d_2)\parallel(d)\) ، إذن \((d_1)\parallel(d_2)\)

✎ Exemple 3 :

On sait que \((AB) \parallel (EF)\) et \((CD) \parallel (EF)\).
D'après la propriété 6 (transitivité du parallélisme) : \[ \boxed{(AB) \parallel (CD)} \]

جدول تلخيصي

Tableau récapitulatif des propriétés

#	الفرضيات / Hypothèses	⟹	الاستنتاج / Conclusion
4	\((d_1)\perp(d)\) و \((d_2)\perp(d)\)	\(\implies\)	\((d_1) \parallel (d_2)\)
5	\((d_1)\parallel(d_2)\) و \((d)\perp(d_1)\)	\(\implies\)	\((d) \perp (d_2)\)
6	\((d_1)\parallel(d)\) و \((d_2)\parallel(d)\)	\(\implies\)	\((d_1) \parallel (d_2)\)

VII

تمارين تطبيقية محلولة

Exercices d'application corrigés

📝 Exercice 1 :

Soit trois droites \((d_1)\), \((d_2)\) et \((\Delta)\) telles que : \[ (d_1) \perp (\Delta) \quad \text{et} \quad (d_2) \perp (\Delta) \] Que peut-on conclure ? Justifier.

✔ Solution :

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite \((\Delta)\).
D'après la propriété 4 : \[ (d_1)\perp(\Delta) \;\text{ et }\; (d_2)\perp(\Delta) \implies \boxed{(d_1) \parallel (d_2)} \]

📝 Exercice 2 :

Soit trois droites \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\) telles que : \[ (d_1) \parallel (d_2) \quad \text{et} \quad (d_3) \perp (d_1) \] Montrer que \((d_3) \perp (d_2)\).

✔ Solution :

On sait que :

\((d_1) \parallel (d_2)\) (hypothèse)
\((d_3) \perp (d_1)\) (hypothèse)

D'après la propriété 5 : si deux droites sont parallèles et une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre. \[ \boxed{(d_3) \perp (d_2)} \]

📝 Exercice 3 :

Soit quatre droites telles que : \[ (d_1) \parallel (d_2) \quad;\quad (d_2) \perp (d_3) \quad;\quad (d_4) \perp (d_3) \] Montrer que \((d_1) \parallel (d_4)\).

✔ Solution :

Étape 1 : On sait que \((d_2)\perp(d_3)\) et \((d_4)\perp(d_3)\).
D'après la propriété 4 : \[ (d_2)\perp(d_3) \;\text{ et }\; (d_4)\perp(d_3) \implies (d_2) \parallel (d_4) \] Étape 2 : On sait que \((d_1)\parallel(d_2)\) (hypothèse) et on vient de montrer que \((d_4)\parallel(d_2)\).
D'après la propriété 6 (transitivité) : \[ (d_1)\parallel(d_2) \;\text{ et }\; (d_4)\parallel(d_2) \implies \boxed{(d_1) \parallel (d_4)} \]

⚠️ في كل تمرين هندسي، يجب دائماً ذكر الخاصية المستعملة (Propriété utilisée) لتبرير كل استنتاج. الجواب بدون تبرير لا يُقبل.

#الأولى-إعدادي