La proportionnalité

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جدول المحتويات
    La proportionnalité - 1AC

    📊 La proportionnalité

    Cours complet - 1ère année collège

    📖 Introduction à la proportionnalité

    📌 Définition

    Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

    Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

    🌟 Situations de proportionnalité dans la vie quotidienne

    🛒 Au marché

    Si 1 kg de pommes coûte 10 DH, alors :

    • 2 kg coûtent 20 DH
    • 3 kg coûtent 30 DH
    • 5 kg coûtent 50 DH

    Prix et quantité sont proportionnels (coefficient = 10)

    🚗 En voyage

    Si une voiture roule à vitesse constante de 80 km/h :

    • En 1 heure, elle parcourt 80 km
    • En 2 heures, elle parcourt 160 km
    • En 3 heures, elle parcourt 240 km

    Distance et temps sont proportionnels (coefficient = 80)

    ⚠️ Situations NON proportionnelles

    • ❌ L'âge d'une personne et sa taille
    • ❌ Le côté d'un carré et son périmètre sont proportionnels, mais pas le côté et l'aire
    • ❌ La température et le temps

    💡 Comment reconnaître une proportionnalité ?

    Il faut vérifier que le quotient entre les deux grandeurs est toujours constant.

    🔢 Tableaux de proportionnalité

    📊 Tableau de proportionnalité

    Un tableau de proportionnalité présente deux lignes de nombres où les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant ceux de la première ligne par un même coefficient.

    ✅ Exemple de tableau proportionnel

    📝 Exemple 1 : Prix des oranges

    Le prix des oranges est de 8 DH le kilogramme.

    Masse (kg) 1 2 3 5 10
    Prix (DH) 8 16 24 40 80

    Vérification :

    • 8 ÷ 1 = 8
    • 16 ÷ 2 = 8
    • 24 ÷ 3 = 8
    • 40 ÷ 5 = 8
    • 80 ÷ 10 = 8

    ✅ Le coefficient de proportionnalité est 8

    🔍 Comment compléter un tableau de proportionnalité ?

    🔧 Méthodes
    1. Par le coefficient de proportionnalité : Multiplier par le coefficient
    2. Par la règle de trois : Utiliser les produits en croix
    3. Par linéarité : Additionner ou soustraire des colonnes connues
    📝 Exemple 2 : Compléter un tableau

    Compléter le tableau de proportionnalité suivant :

    x 3 5 8 ?
    y 12 20 ? 52

    Solution :

    • Coefficient : 12 ÷ 3 = 4
    • Pour x = 8 : y = 8 × 4 = 32
    • Pour y = 52 : x = 52 ÷ 4 = 13
    x 3 5 8 13
    y 12 20 32 52

    🧮 Calculateur : Vérifier un tableau

    Entrez les valeurs pour vérifier si elles sont proportionnelles :

    📐 Coefficient de proportionnalité

    🎯 Définition

    Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs de la deuxième grandeur.

    Coefficient = Valeur de y ÷ Valeur de x

    🔎 Comment trouver le coefficient ?

    📝 Exemple 1
    Quantité 4 7 10
    Prix 28 49 70

    Calcul du coefficient :

    • 28 ÷ 4 = 7
    • 49 ÷ 7 = 7
    • 70 ÷ 10 = 7

    ✅ Le coefficient de proportionnalité est 7

    Cela signifie que le prix unitaire est 7 DH.

    💡 Propriétés du coefficient

    • Il est constant pour toutes les paires de valeurs
    • Il peut être un nombre entier ou décimal
    • Dans certains cas, il peut être inférieur à 1

    🔄 Coefficient réciproque

    📝 Exemple 2 : Conversion euros → dirhams

    1 euro = 11 dirhams

    Euros 1 5 10 20
    Dirhams 11 55 110 220

    Coefficient Euros → Dirhams : 11

    Coefficient Dirhams → Euros : 1/11 ≈ 0,09

    🧮 Calculateur de coefficient

    Trouvez le coefficient de proportionnalité :

    📈 Représentation graphique

    📊 Propriété graphique

    Dans un repère, les points représentant une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine.

    La droite passant par ces points est appelée droite de proportionnalité.

    Graphique interactif

    🔍 Caractéristiques
    • ✅ La droite passe par l'origine (0, 0)
    • ✅ Plus le coefficient est grand, plus la droite est pentue
    • ✅ Tous les points de la situation sont sur la même droite
    📝 Exemple

    Représentons graphiquement la situation : y = 3x

    x 0 1 2 3 4
    y 0 3 6 9 12

    Les points (0,0), (1,3), (2,6), (3,9), (4,12) sont alignés.

    ⚠️ Attention

    Si les points ne sont pas alignés avec l'origine, la situation n'est pas proportionnelle.

    🎨 Créer votre graphique

    🧮 La règle de trois

    📏 Définition

    La règle de trois (ou produit en croix) permet de calculer la quatrième proportionnelle dans un tableau de proportionnalité.

    Si a/b = c/d alors a × d = b × c

    🎯 Principe

    Schéma
    Grandeur 1 Grandeur 2
    Ligne 1 a b
    Ligne 2 c ?

    ? = (b × c) ÷ a

    📝 Exemple 1 : Prix des livres

    Énoncé : 5 livres coûtent 120 DH. Quel est le prix de 8 livres ?

    Nombre de livres 5 8
    Prix (DH) 120 ?

    Solution :

    • Prix = (120 × 8) ÷ 5
    • Prix = 960 ÷ 5
    • Prix = 192 DH
    📝 Exemple 2 : Recette de cuisine

    Énoncé : Pour faire un gâteau pour 6 personnes, il faut 4 œufs. Combien d'œufs faut-il pour 9 personnes ?

    Personnes 6 9
    Œufs 4 ?

    Solution :

    • Nombre d'œufs = (4 × 9) ÷ 6
    • Nombre d'œufs = 36 ÷ 6
    • Nombre d'œufs = 6 œufs

    🧮 Calculateur : Règle de trois

    Calculez la quatrième proportionnelle :

    ✏️ Exercices d'application

    📝 Exercice 1 : Reconnaître une situation proportionnelle

    Énoncé : Les situations suivantes sont-elles proportionnelles ?

    a) Prix des cahiers

    Nombre de cahiers 2 5 10
    Prix (DH) 16 40 80

    Solution :

    • 16 ÷ 2 = 8
    • 40 ÷ 5 = 8
    • 80 ÷ 10 = 8

    ✅ OUI, c'est proportionnel (coefficient = 8)

    b) Périmètre et aire d'un carré

    Côté (cm) 2 3 4
    Aire (cm²) 4 9 16

    Solution :

    • 4 ÷ 2 = 2
    • 9 ÷ 3 = 3
    • 16 ÷ 4 = 4

    ❌ NON, ce n'est pas proportionnel (coefficients différents)

    📝 Exercice 2 : Compléter un tableau

    Énoncé : Compléter le tableau de proportionnalité :

    x 4 7 ? 15
    y 20 ? 45 ?

    Solution :

    • Coefficient : 20 ÷ 4 = 5
    • Pour x = 7 : y = 7 × 5 = 35
    • Pour y = 45 : x = 45 ÷ 5 = 9
    • Pour x = 15 : y = 15 × 5 = 75
    x 4 7 9 15
    y 20 35 45 75
    📝 Exercice 3 : Problème de vitesse

    Énoncé : Une voiture roule à vitesse constante. En 3 heures, elle parcourt 240 km.

    a) Quelle distance parcourt-elle en 5 heures ?

    b) Combien de temps met-elle pour parcourir 400 km ?

    Solution :

    a) Distance en 5 heures

    Temps (h) 3 5
    Distance (km) 240 ?
    • Distance = (240 × 5) ÷ 3 = 1200 ÷ 3 = 400 km

    b) Temps pour 400 km

    Temps (h) 3 ?
    Distance (km) 240 400
    • Temps = (3 × 400) ÷ 240 = 1200 ÷ 240 = 5 heures
    📝 Exercice 4 : Échelle d'un plan

    Énoncé : Sur un plan à l'échelle 1/500, une distance de 3 cm représente quelle distance réelle ?

    Solution :

    Plan (cm) 1 3
    Réel (cm) 500 ?
    • Distance réelle = 500 × 3 = 1500 cm = 15 m

    💪 Exercices à faire seul

    1. Un robinet débite 45 litres en 3 minutes. Combien débite-t-il en 7 minutes ?
    2. 12 ouvriers construisent un mur en 8 jours. Combien de jours faut-il à 16 ouvriers ? (Attention : proportionnalité inverse !)
    3. Compléter :
      x 6 ? 18
      y 42 77 ?