Le Parallélogramme

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جدول المحتويات
    Le Parallélogramme

    Le Parallélogramme

    Quadrilatères et propriétés
    Définition, propriétés et démonstrations

    1 Définition

    Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.
    \(ABCD\) est un parallélogramme \(\Longleftrightarrow\) \((AB) \parallel (CD)\) et \((AD) \parallel (BC)\)
    Vocabulaire :
    • Les côtés opposés : \([AB]\) et \([CD]\), puis \([AD]\) et \([BC]\)
    • Les angles opposés : \(\widehat{A}\) et \(\widehat{C}\), puis \(\widehat{B}\) et \(\widehat{D}\)
    • Les diagonales : \([AC]\) et \([BD]\)
    • Le centre : point d'intersection des diagonales, noté souvent \(O\)

    2 Propriétés du parallélogramme

    Propriétés des côtés

    Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
    \(AB = CD\) et \(AD = BC\)

    Propriétés des angles

    Dans un parallélogramme :
    • Les angles opposés sont deux à deux de même mesure : \(\widehat{A} = \widehat{C}\) et \(\widehat{B} = \widehat{D}\)
    • Les angles consécutifs sont supplémentaires : \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180°\)

    Propriété des diagonales

    Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
    Si \(O\) est le centre, alors \(OA = OC\) et \(OB = OD\)

    Centre de symétrie

    Un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
    \(S_O(A) = C\) et \(S_O(B) = D\)

    3 Comment reconnaître un parallélogramme ?

    Si un quadrilatère vérifie l'une des conditions suivantes, c'est un parallélogramme :

    Condition 1

    Ses côtés opposés sont deux à deux parallèles (définition).

    Condition 2

    Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.

    Si \(AB = CD\) et \(AD = BC\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

    Condition 3

    Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

    Si \((AB) \parallel (CD)\) et \(AB = CD\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

    Condition 4

    Ses diagonales se coupent en leur milieu.

    Si \(OA = OC\) et \(OB = OD\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

    Exemple d'utilisation : Soit \(ABCD\) un quadrilatère tel que \(AB = 5\) cm, \(CD = 5\) cm, \(AB \parallel CD\). Alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

    4 Cas particuliers du parallélogramme

    Rectangle

    Parallélogramme ayant un angle droit (donc 4 angles droits).

    Propriété : Les diagonales sont de même longueur.
    \(AC = BD\)

    Losange

    Parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (donc 4 côtés égaux).

    Propriété : Les diagonales sont perpendiculaires.
    \((AC) \perp (BD)\)

    Carré

    Parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange.

    Propriétés : 4 côtés égaux, 4 angles droits, diagonales égales et perpendiculaires.
    Hérarchie : Tout carré est un losange et un rectangle. Tout losange est un parallélogramme. Tout rectangle est un parallélogramme.
    Parallélogramme \(\supset\) Rectangle, Losange \(\supset\) Carré

    5 Périmètre et Aire

    Périmètre

    \(\mathcal{P} = 2 \times (L + l) = 2L + 2l\)

    où \(L\) est la longueur et \(l\) la largeur

    Aire

    \(\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = b \times h\)
    Exemple : Un parallélogramme de base \(8\) cm et de hauteur \(5\) cm a pour aire :
    \(\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40\) cm²
    Remarque : La hauteur est la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement à la base.

    6 Méthodes de démonstration

    Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

    Stratégies :
    1. Montrer que les côtés opposés sont parallèles (utiliser les angles alternes-internes, correspondants...)
    2. Montrer que les diagonales se coupent en leur milieu (calculer les milieux ou utiliser la symétrie centrale)
    3. Montrer que deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur

    Utiliser les propriétés

    Exemple : Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Montrer que les triangles \(ABC\) et \(CDA\) sont isométriques.

    Solution :
    \(AB = CD\) (côtés opposés d'un parallélogramme)
    \(BC = DA\) (côtés opposés d'un parallélogramme)
    \(AC\) est commun aux deux triangles.
    Donc \(\triangle ABC = \triangle CDA\) (trois côtés égaux).

    7 Construction d'un parallélogramme

    Méthode 1 : Connaissant trois sommets \(A\), \(B\), \(C\)
    Le quatrième sommet \(D\) est tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
    \(D\) est l'image de \(B\) par la symétrie centrale de centre \(O\) (milieu de \([AC]\)).
    Méthode 2 : Connaissant deux côtés consécutifs \(AB\) et \(AD\)
    On construit \(C\) tel que \(\vec{BC} = \vec{AD}\) (ou \(\vec{DC} = \vec{AB}\)).
    \(\vec{AB} = \vec{DC}\) ou \(\vec{AD} = \vec{BC}\)

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