Dans le triangle \(ABC\), on donne : \(\widehat{A}=65°\) et \(\widehat{B}=48°\). Calculer \(\widehat{C}\). \[ \widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B} = 180° - 65° - 48° = \boxed{67°} \] Vérification : \(65° + 48° + 67° = 180° \;\checkmark\)

Peut-on construire un triangle \(ABC\) avec : \(AB = 7\text{ cm}\;;\;AC = 4\text{ cm}\;;\;BC = 5\text{ cm}\) ?

Le plus grand côté : \(AB = 7\text{ cm}\).
Somme des deux autres : \(AC + BC = 4 + 5 = 9\text{ cm}\).
Vérification : \[ AB = 7 < 9 = AC + BC \quad \checkmark \] \[ \boxed{\text{Oui, le triangle } ABC \text{ est constructible.}} \]

Peut-on construire un triangle \(DEF\) avec : \(DE = 10\text{ cm}\;;\;DF = 3\text{ cm}\;;\;EF = 4\text{ cm}\) ?

Le plus grand côté : \(DE = 10\text{ cm}\).
Somme des deux autres : \(DF + EF = 3 + 4 = 7\text{ cm}\).
Vérification : \[ DE = 10 > 7 = DF + EF \quad \boldsymbol{\times} \] \[ \boxed{\text{Non, le triangle } DEF \text{ n'est pas constructible.}} \]

Peut-on construire un triangle avec les côtés : \(8\text{ cm}\;;\;3\text{ cm}\;;\;5\text{ cm}\) ?

Le plus grand côté : \(8\text{ cm}\).
Somme des deux autres : \(3 + 5 = 8\text{ cm}\).
Vérification : \[ 8 = 8 \quad \implies \quad 8 \not< 8 \] \[ \boxed{\text{Non, les trois points seraient alignés (pas de triangle).}} \]

La droite \((\Delta)\) est la médiatrice de \([AB]\). Le point \(P\) appartient à \((\Delta)\).
On donne : \(PA = 6\text{ cm}\). Quelle est la longueur de \(PB\) ?

D'après la propriété 1 de la médiatrice : \[ P \in (\Delta) \implies PA = PB \implies \boxed{PB = 6\text{ cm}} \]

On sait que \(PA = PB = 5\text{ cm}\).
D'après la réciproque (propriété 2) : \[ PA = PB \implies \boxed{P \text{ appartient à la médiatrice de } [AB]} \]

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), avec \(BC = 10\text{ cm}\).
Déterminer le rayon \(R\) du cercle circonscrit. \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = \boxed{5\text{ cm}} \]

Pour chaque cas, dire si le triangle est constructible. Justifier.

Cas	\(a\)	\(b\)	\(c\)
1	5 cm	3 cm	7 cm
2	2 cm	9 cm	4 cm
3	6 cm	6 cm	6 cm

Cas 1 : Le plus grand côté : \(c = 7\). \[ a + b = 5 + 3 = 8 > 7 \quad \checkmark \implies \boxed{\text{Constructible}} \] Cas 2 : Le plus grand côté : \(b = 9\). \[ a + c = 2 + 4 = 6 < 9 \quad \boldsymbol{\times} \implies \boxed{\text{Non constructible}} \] Cas 3 : Le plus grand côté : \(a = 6\). \[ b + c = 6 + 6 = 12 > 6 \quad \checkmark \implies \boxed{\text{Constructible (équilatéral)}} \]

Dans le triangle \(RST\), on donne : \(\widehat{R} = 52°\) et \(\widehat{S} = 73°\).
1) Calculer \(\widehat{T}\).
2) Quel est le type de ce triangle selon ses angles ?

1) Somme des angles d'un triangle : \[ \widehat{R} + \widehat{S} + \widehat{T} = 180° \implies \widehat{T} = 180° - 52° - 73° = \boxed{55°} \] 2) Toutes les angles sont inférieurs à \(90°\) : \[ 52° < 90° \;;\quad 73° < 90° \;;\quad 55° < 90° \] \[ \boxed{\text{C'est un triangle acutangle (حاد الزوايا)}} \]

\((\Delta)\) est la médiatrice du segment \([EF]\) avec \(EF = 8\text{ cm}\).
Le point \(P\) appartient à \((\Delta)\) et \(PE = 5\text{ cm}\).
1) Quelle est la longueur \(PF\) ? Justifier.
2) Soit \(M\) le milieu de \([EF]\). Calculer \(EM\).

1) \(P \in (\Delta)\) et \((\Delta)\) est la médiatrice de \([EF]\).
D'après la propriété de la médiatrice : \[ P \in \text{médiatrice de } [EF] \implies PE = PF \implies \boxed{PF = 5\text{ cm}} \] 2) \(M\) est le milieu de \([EF]\) : \[ EM = \frac{EF}{2} = \frac{8}{2} = \boxed{4\text{ cm}} \]

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(AB = AC = 7\text{ cm}\) et \(BC = 10\text{ cm}\).
1) Vérifier que ce triangle est constructible.
2) Le triangle est rectangle en \(B\). Calculer le rayon du cercle circonscrit.
(Indication : L'exercice 2 est indépendant de l'exercice 1)

1) Vérification de l'inégalité triangulaire :
Le plus grand côté : \(BC = 10\text{ cm}\). \[ AB + AC = 7 + 7 = 14 > 10 \quad \checkmark \] \[ \boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est constructible.}} \] 2) Si le triangle est rectangle en \(B\), alors le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse \([AC]\).
Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse \([AC]\) : \[ R = \frac{AC}{2} = \frac{7}{2} = \boxed{3{,}5\text{ cm}} \]

On considère un segment \([AB]\) tel que \(AB = 6\text{ cm}\).
Le point \(C\) vérifie : \(CA = CB = 5\text{ cm}\).
1) Montrer que \(C\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
2) Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

1) On a : \(CA = CB = 5\text{ cm}\), donc \(CA = CB\).
D'après la réciproque de la propriété de la médiatrice : \[ CA = CB \implies \boxed{C \in \text{médiatrice de } [AB]} \] 2) Le triangle \(ABC\) possède deux côtés égaux (\(CA = CB = 5\text{ cm}\)) : \[ \boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est isocèle en } C.} \]