الزوايـــا
Les Angles
السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 05
في هذا الدرس سنتعرّف على مفهوم الزاوية، أنواعها، كيفية قياسها، ثم ندرس الزوايا الخاصة: المتتامّة، المتكاملة، المتجاورة، والمتقابلة بالرأس، مع خاصياتها الأساسية.
I
تعريف الزاوية وترميزها
Définition et notation d'un angleتعريف / Définition
الزاوية (Un angle) هي جزء من المستوى محدود بـ نصفَي مستقيم (demi-droites) لهما نفس الأصل.
- الأصل المشترك يُسمّى رأس الزاوية — Le sommet
- نصفا المستقيم يُسمّيان ضلعَي الزاوية — Les côtés
\[
\text{الزاوية } \widehat{AOB} \quad \text{أو} \quad \widehat{BOA} \quad \text{أو} \quad \widehat{O}
\]
حيث \(O\) هو الرأس ، و \([OA)\) و \([OB)\) هما الضلعان.
الزاوية \(\widehat{AOB}\) : رأسها \(O\) وضلعاها \([OA)\) و \([OB)\)
ترميزات / Notations
- L'angle se note : \(\widehat{AOB}\) ou \(\widehat{BOA}\) ou \(\widehat{O}\)
- La mesure de l'angle se note : \(\text{mes}\;\widehat{AOB}\) ou \(\widehat{AOB} = \alpha\)
- L'unité de mesure est le degré : le symbole est \(°\)
II
أنواع الزوايا
Les différents types d'anglesزاوية منعدمة
Angle nul
\(\widehat{AOB} = 0°\)
زاوية حادة
Angle aigu
\(0° < \widehat{AOB} < 90°\)
زاوية قائمة
Angle droit
\(\widehat{AOB} = 90°\)
زاوية منفرجة
Angle obtus
\(90° < \widehat{AOB} < 180°\)
زاوية مستقيمة
Angle plat
\(\widehat{AOB} = 180°\)
زاوية كاملة
Angle plein
\(\widehat{AOB} = 360°\)
| النوع | Type | القياس / Mesure |
|---|---|---|
| منعدمة | Nul | \(\alpha = 0°\) |
| حادة | Aigu | \(0° < \alpha < 90°\) |
| قائمة | Droit | \(\alpha = 90°\) |
| منفرجة | Obtus | \(90° < \alpha < 180°\) |
| مستقيمة | Plat | \(\alpha = 180°\) |
| كاملة | Plein | \(\alpha = 360°\) |
III
قياس زاوية بالمنقلة
Mesurer un angle avec un rapporteurطريقة / Méthode
لقياس الزاوية \(\widehat{AOB}\) بالمنقلة (rapporteur):
- نضع مركز المنقلة على رأس الزاوية \(O\).
- نضع خطّ الصفر (la graduation 0°) على أحد ضلعَي الزاوية \([OA)\).
- نقرأ القياس حيث يمرّ الضلع الآخر \([OB)\).
✎ Exemple 1 :
En utilisant un rapporteur, on mesure :
\[
\widehat{AOB} = 55° \implies \text{C'est un angle \textbf{aigu} (زاوية حادة)}
\]
\[
\widehat{COD} = 130° \implies \text{C'est un angle \textbf{obtus} (زاوية منفرجة)}
\]
💡 ملاحظة / Remarque :
وحدة قياس الزوايا هي الدرجة (le degré)، ورمزها \(°\). يمكن أيضاً تقسيم الدرجة إلى:
وحدة قياس الزوايا هي الدرجة (le degré)، ورمزها \(°\). يمكن أيضاً تقسيم الدرجة إلى:
\[
1° = 60' \quad \text{(60 دقيقة / minutes)}
\qquad;\qquad
1' = 60'' \quad \text{(60 ثانية / secondes)}
\]
IV
الزاويتان المتتامّتان
Angles complémentairesتعريف / Définition
نقول إنّ زاويتين متتامّتان (complémentaires) إذا كان مجموع قياسيهما يساوي \(90°\):
\[
\widehat{\alpha} + \widehat{\beta} = 90°
\quad \Longleftrightarrow \quad
\widehat{\alpha} \text{ et } \widehat{\beta} \text{ sont complémentaires}
\]
\(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=90°\) : الزاويتان متتامّتان
✎ Exemple 2 :
Si \(\widehat{\alpha} = 35°\), trouver son complément \(\widehat{\beta}\) :
\[
\widehat{\beta} = 90° - \widehat{\alpha} = 90° - 35° = \boxed{55°}
\]
Vérification : \(35° + 55° = 90° \;\checkmark\)
V
الزاويتان المتكاملتان
Angles supplémentairesتعريف / Définition
نقول إنّ زاويتين متكاملتان (supplémentaires) إذا كان مجموع قياسيهما يساوي \(180°\):
\[
\widehat{\alpha} + \widehat{\beta} = 180°
\quad \Longleftrightarrow \quad
\widehat{\alpha} \text{ et } \widehat{\beta} \text{ sont supplémentaires}
\]
\(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=180°\) : الزاويتان متكاملتان
✎ Exemple 3 :
Si \(\widehat{\alpha} = 115°\), trouver son supplément \(\widehat{\beta}\) :
\[
\widehat{\beta} = 180° - \widehat{\alpha} = 180° - 115° = \boxed{65°}
\]
Vérification : \(115° + 65° = 180° \;\checkmark\)
VI
الزاويتان المتجاورتان
Angles adjacentsتعريف / Définition
نقول إنّ زاويتين متجاورتان (adjacentes) إذا تحقّقت الشروط الثلاثة:
- لهما نفس الرأس (même sommet).
- لهما ضلع مشترك (un côté commun).
- تقعان على جانبَي الضلع المشترك (de part et d'autre du côté commun).
\(\widehat{AOC}\) و \(\widehat{COB}\) متجاورتان — الضلع المشترك \([OC)\)
خاصية / Propriété
إذا كانت الزاويتان \(\widehat{AOC}\) و \(\widehat{COB}\) متجاورتين، فإنّ:
\[
\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB}
\]
✎ Exemple 4 :
Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents.On donne : \(\widehat{AOC}=40°\) et \(\widehat{COB}=25°\). Calculer \(\widehat{AOB}\). \[ \widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB} = 40° + 25° = \boxed{65°} \]
VII
الزاويتان المتقابلتان بالرأس
Angles opposés par le sommetتعريف / Définition
نقول إنّ زاويتين متقابلتان بالرأس (opposées par le sommet) إذا كان ضلعا الأولى هما امتداد ضلعَي الثانية.
أي: تتشكّلان عند تقاطع مستقيمين وتكونان في الجهتين المتقابلتين.
الزاويتان \(\alpha\) متقابلتان بالرأس — والزاويتان \(\beta\) متقابلتان بالرأس
خاصية / Propriété
كلّ زاويتين متقابلتين بالرأس لهما نفس القياس:
\[
\widehat{\alpha_1} \text{ et } \widehat{\alpha_2} \text{ opposées par le sommet}
\implies
\widehat{\alpha_1} = \widehat{\alpha_2}
\]
✎ Exemple 5 :
Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) se coupent en \(O\).On donne : \(\widehat{\alpha} = 62°\). Calculer \(\widehat{\beta}\), \(\widehat{\alpha'}\) et \(\widehat{\beta'}\).
1) \(\widehat{\alpha'}\) est opposée par le sommet à \(\widehat{\alpha}\) : \[ \widehat{\alpha'} = \widehat{\alpha} = \boxed{62°} \] 2) \(\widehat{\beta}\) est supplémentaire à \(\widehat{\alpha}\) (angles adjacents formant un angle plat) : \[ \widehat{\beta} = 180° - \widehat{\alpha} = 180° - 62° = \boxed{118°} \] 3) \(\widehat{\beta'}\) est opposée par le sommet à \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta'} = \widehat{\beta} = \boxed{118°} \] Vérification : \(62° + 118° + 62° + 118° = 360° \;\checkmark\)
VIII
منصّف الزاوية
La bissectrice d'un angleتعريف / Définition
منصّف الزاوية (La bissectrice) هو نصف المستقيم الذي يخرج من رأس الزاوية ويقسمها إلى زاويتين متساويتين في القياس.
\[
[OC) \text{ est la bissectrice de } \widehat{AOB}
\quad \Longleftrightarrow \quad
\widehat{AOC} = \widehat{COB} = \frac{\widehat{AOB}}{2}
\]
\([OC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{AOB}\) : \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}\)
✎ Exemple 6 :
\([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOB}\).On donne \(\widehat{AOB}=74°\). Calculer \(\widehat{AOM}\). \[ \widehat{AOM} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{74°}{2} = \boxed{37°} \]
✎ Exemple 7 :
\([OC)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOB}\).On donne \(\widehat{AOC}=28°\). Calculer \(\widehat{AOB}\). \[ \widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AOC} = 2 \times 28° = \boxed{56°} \]
IX
تمارين تطبيقية محلولة
Exercices d'application corrigés📝 Exercice 1 :
Compléter le tableau suivant :
| \(\widehat{\alpha}\) | Complément | Supplément |
|---|---|---|
| \(25°\) | ? | ? |
| \(72°\) | ? | ? |
| \(45°\) | ? | ? |
✔ Solution :
| \(\widehat{\alpha}\) | Complément \((90°-\alpha)\) | Supplément \((180°-\alpha)\) |
|---|---|---|
| \(25°\) | \(90°-25°=\boxed{65°}\) | \(180°-25°=\boxed{155°}\) |
| \(72°\) | \(90°-72°=\boxed{18°}\) | \(180°-72°=\boxed{108°}\) |
| \(45°\) | \(90°-45°=\boxed{45°}\) | \(180°-45°=\boxed{135°}\) |
📝 Exercice 2 :
Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) se coupent en un point \(O\) et forment un angle de \(47°\).Déterminer les mesures des trois autres angles formés.
✔ Solution :
Notons les quatre angles : \(\widehat{\alpha}\), \(\widehat{\beta}\), \(\widehat{\alpha'}\), \(\widehat{\beta'}\).On sait : \(\widehat{\alpha} = 47°\).
1) Angle opposé par le sommet : \[ \widehat{\alpha'} = \widehat{\alpha} = \boxed{47°} \] 2) Angle supplémentaire : \[ \widehat{\beta} = 180° - 47° = \boxed{133°} \] 3) Angle opposé par le sommet à \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta'} = \widehat{\beta} = \boxed{133°} \] Vérification : \[ 47° + 133° + 47° + 133° = 360° \;\checkmark \]
📝 Exercice 3 :
Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents et complémentaires.\([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\).
On donne \(\widehat{COB}=53°\). Calculer \(\widehat{AOC}\) puis \(\widehat{AOM}\).
✔ Solution :
Étape 1 : \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont complémentaires :
\[
\widehat{AOC} + \widehat{COB} = 90°
\implies
\widehat{AOC} = 90° - 53° = \boxed{37°}
\]
Étape 2 : \([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\) :
\[
\widehat{AOM} = \frac{\widehat{AOC}}{2} = \frac{37°}{2} = \boxed{18{,}5°}
\]
⚠️ لا تخلط بين:
- Complémentaires (متتامّتان): المجموع = \(90°\)
- Supplémentaires (متكاملتان): المجموع = \(180°\)
X
جدول تلخيصي شامل
Tableau récapitulatif| المفهوم | Concept | الخاصية / Propriété |
|---|---|---|
| متتامّتان | Complémentaires | \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=90°\) |
| متكاملتان | Supplémentaires | \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=180°\) |
| متجاورتان | Adjacentes | نفس الرأس + ضلع مشترك + جهتان مختلفتان |
| متقابلتان بالرأس | Opposées par le sommet | \(\widehat{\alpha_1}=\widehat{\alpha_2}\) |
| منصّف | Bissectrice | \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}\) |