Les Angles

~5 دقائق قراءة الأولى-إعدادي
جدول المحتويات

    الزوايـــا

    Les Angles
    السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 05

    في هذا الدرس سنتعرّف على مفهوم الزاوية، أنواعها، كيفية قياسها، ثم ندرس الزوايا الخاصة: المتتامّة، المتكاملة، المتجاورة، والمتقابلة بالرأس، مع خاصياتها الأساسية.

    I

    تعريف الزاوية وترميزها

    Définition et notation d'un angle
    تعريف / Définition
    الزاوية (Un angle) هي جزء من المستوى محدود بـ نصفَي مستقيم (demi-droites) لهما نفس الأصل.
    • الأصل المشترك يُسمّى رأس الزاوية — Le sommet
    • نصفا المستقيم يُسمّيان ضلعَي الزاوية — Les côtés
    \[ \text{الزاوية } \widehat{AOB} \quad \text{أو} \quad \widehat{BOA} \quad \text{أو} \quad \widehat{O} \]
    حيث \(O\) هو الرأس ، و \([OA)\) و \([OB)\) هما الضلعان.
    O A B α
    الزاوية \(\widehat{AOB}\) : رأسها \(O\) وضلعاها \([OA)\) و \([OB)\)
    ترميزات / Notations
    • L'angle se note : \(\widehat{AOB}\)  ou  \(\widehat{BOA}\)  ou  \(\widehat{O}\)
    • La mesure de l'angle se note : \(\text{mes}\;\widehat{AOB}\)  ou  \(\widehat{AOB} = \alpha\)
    • L'unité de mesure est le degré :   le symbole est \(°\)
    II

    أنواع الزوايا

    Les différents types d'angles
    زاوية منعدمة
    Angle nul
    \(\widehat{AOB} = 0°\)
    زاوية حادة
    Angle aigu
    \(0° < \widehat{AOB} < 90°\)
    زاوية قائمة
    Angle droit
    \(\widehat{AOB} = 90°\)
    زاوية منفرجة
    Angle obtus
    \(90° < \widehat{AOB} < 180°\)
    زاوية مستقيمة
    Angle plat
    \(\widehat{AOB} = 180°\)
    زاوية كاملة
    Angle plein
    \(\widehat{AOB} = 360°\)
    النوع Type القياس / Mesure
    منعدمةNul\(\alpha = 0°\)
    حادةAigu\(0° < \alpha < 90°\)
    قائمةDroit\(\alpha = 90°\)
    منفرجةObtus\(90° < \alpha < 180°\)
    مستقيمةPlat\(\alpha = 180°\)
    كاملةPlein\(\alpha = 360°\)
    III

    قياس زاوية بالمنقلة

    Mesurer un angle avec un rapporteur
    طريقة / Méthode
    لقياس الزاوية \(\widehat{AOB}\) بالمنقلة (rapporteur):
    1. نضع مركز المنقلة على رأس الزاوية \(O\).
    2. نضع خطّ الصفر (la graduation 0°) على أحد ضلعَي الزاوية \([OA)\).
    3. نقرأ القياس حيث يمرّ الضلع الآخر \([OB)\).
    ✎ Exemple 1 :
    En utilisant un rapporteur, on mesure : \[ \widehat{AOB} = 55° \implies \text{C'est un angle \textbf{aigu} (زاوية حادة)} \] \[ \widehat{COD} = 130° \implies \text{C'est un angle \textbf{obtus} (زاوية منفرجة)} \]
    💡 ملاحظة / Remarque :
    وحدة قياس الزوايا هي الدرجة (le degré)، ورمزها \(°\). يمكن أيضاً تقسيم الدرجة إلى:
    \[ 1° = 60' \quad \text{(60 دقيقة / minutes)} \qquad;\qquad 1' = 60'' \quad \text{(60 ثانية / secondes)} \]
    IV

    الزاويتان المتتامّتان

    Angles complémentaires
    تعريف / Définition
    نقول إنّ زاويتين متتامّتان (complémentaires) إذا كان مجموع قياسيهما يساوي \(90°\):
    \[ \widehat{\alpha} + \widehat{\beta} = 90° \quad \Longleftrightarrow \quad \widehat{\alpha} \text{ et } \widehat{\beta} \text{ sont complémentaires} \]
    α β O
    \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=90°\) : الزاويتان متتامّتان
    ✎ Exemple 2 :
    Si \(\widehat{\alpha} = 35°\), trouver son complément \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta} = 90° - \widehat{\alpha} = 90° - 35° = \boxed{55°} \] Vérification : \(35° + 55° = 90° \;\checkmark\)
    V

    الزاويتان المتكاملتان

    Angles supplémentaires
    تعريف / Définition
    نقول إنّ زاويتين متكاملتان (supplémentaires) إذا كان مجموع قياسيهما يساوي \(180°\):
    \[ \widehat{\alpha} + \widehat{\beta} = 180° \quad \Longleftrightarrow \quad \widehat{\alpha} \text{ et } \widehat{\beta} \text{ sont supplémentaires} \]
    α β O
    \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=180°\) : الزاويتان متكاملتان
    ✎ Exemple 3 :
    Si \(\widehat{\alpha} = 115°\), trouver son supplément \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta} = 180° - \widehat{\alpha} = 180° - 115° = \boxed{65°} \] Vérification : \(115° + 65° = 180° \;\checkmark\)
    VI

    الزاويتان المتجاورتان

    Angles adjacents
    تعريف / Définition
    نقول إنّ زاويتين متجاورتان (adjacentes) إذا تحقّقت الشروط الثلاثة:
    1. لهما نفس الرأس (même sommet).
    2. لهما ضلع مشترك (un côté commun).
    3. تقعان على جانبَي الضلع المشترك (de part et d'autre du côté commun).
    O A C B α β
    \(\widehat{AOC}\) و \(\widehat{COB}\) متجاورتان — الضلع المشترك \([OC)\)
    خاصية / Propriété
    إذا كانت الزاويتان \(\widehat{AOC}\) و \(\widehat{COB}\) متجاورتين، فإنّ:
    \[ \widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB} \]
    ✎ Exemple 4 :
    Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents.
    On donne : \(\widehat{AOC}=40°\) et \(\widehat{COB}=25°\). Calculer \(\widehat{AOB}\). \[ \widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB} = 40° + 25° = \boxed{65°} \]
    VII

    الزاويتان المتقابلتان بالرأس

    Angles opposés par le sommet
    تعريف / Définition
    نقول إنّ زاويتين متقابلتان بالرأس (opposées par le sommet) إذا كان ضلعا الأولى هما امتداد ضلعَي الثانية.
    أي: تتشكّلان عند تقاطع مستقيمين وتكونان في الجهتين المتقابلتين.
    α α β β O
    الزاويتان \(\alpha\) متقابلتان بالرأس — والزاويتان \(\beta\) متقابلتان بالرأس
    خاصية / Propriété
    كلّ زاويتين متقابلتين بالرأس لهما نفس القياس:
    \[ \widehat{\alpha_1} \text{ et } \widehat{\alpha_2} \text{ opposées par le sommet} \implies \widehat{\alpha_1} = \widehat{\alpha_2} \]
    ✎ Exemple 5 :
    Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) se coupent en \(O\).
    On donne : \(\widehat{\alpha} = 62°\). Calculer \(\widehat{\beta}\), \(\widehat{\alpha'}\) et \(\widehat{\beta'}\).

    1) \(\widehat{\alpha'}\) est opposée par le sommet à \(\widehat{\alpha}\) : \[ \widehat{\alpha'} = \widehat{\alpha} = \boxed{62°} \] 2) \(\widehat{\beta}\) est supplémentaire à \(\widehat{\alpha}\) (angles adjacents formant un angle plat) : \[ \widehat{\beta} = 180° - \widehat{\alpha} = 180° - 62° = \boxed{118°} \] 3) \(\widehat{\beta'}\) est opposée par le sommet à \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta'} = \widehat{\beta} = \boxed{118°} \] Vérification : \(62° + 118° + 62° + 118° = 360° \;\checkmark\)
    VIII

    منصّف الزاوية

    La bissectrice d'un angle
    تعريف / Définition
    منصّف الزاوية (La bissectrice) هو نصف المستقيم الذي يخرج من رأس الزاوية ويقسمها إلى زاويتين متساويتين في القياس.
    \[ [OC) \text{ est la bissectrice de } \widehat{AOB} \quad \Longleftrightarrow \quad \widehat{AOC} = \widehat{COB} = \frac{\widehat{AOB}}{2} \]
    O A B C
    \([OC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{AOB}\) :   \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}\)
    ✎ Exemple 6 :
    \([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOB}\).
    On donne \(\widehat{AOB}=74°\). Calculer \(\widehat{AOM}\). \[ \widehat{AOM} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{74°}{2} = \boxed{37°} \]
    ✎ Exemple 7 :
    \([OC)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOB}\).
    On donne \(\widehat{AOC}=28°\). Calculer \(\widehat{AOB}\). \[ \widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AOC} = 2 \times 28° = \boxed{56°} \]
    IX

    تمارين تطبيقية محلولة

    Exercices d'application corrigés
    📝 Exercice 1 :
    Compléter le tableau suivant :
    \(\widehat{\alpha}\)ComplémentSupplément
    \(25°\)??
    \(72°\)??
    \(45°\)??
    ✔ Solution :
    \(\widehat{\alpha}\)Complément \((90°-\alpha)\)Supplément \((180°-\alpha)\)
    \(25°\)\(90°-25°=\boxed{65°}\)\(180°-25°=\boxed{155°}\)
    \(72°\)\(90°-72°=\boxed{18°}\)\(180°-72°=\boxed{108°}\)
    \(45°\)\(90°-45°=\boxed{45°}\)\(180°-45°=\boxed{135°}\)
    📝 Exercice 2 :
    Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) se coupent en un point \(O\) et forment un angle de \(47°\).
    Déterminer les mesures des trois autres angles formés.
    ✔ Solution :
    Notons les quatre angles : \(\widehat{\alpha}\), \(\widehat{\beta}\), \(\widehat{\alpha'}\), \(\widehat{\beta'}\).

    On sait : \(\widehat{\alpha} = 47°\).

    1) Angle opposé par le sommet : \[ \widehat{\alpha'} = \widehat{\alpha} = \boxed{47°} \] 2) Angle supplémentaire : \[ \widehat{\beta} = 180° - 47° = \boxed{133°} \] 3) Angle opposé par le sommet à \(\widehat{\beta}\) : \[ \widehat{\beta'} = \widehat{\beta} = \boxed{133°} \] Vérification : \[ 47° + 133° + 47° + 133° = 360° \;\checkmark \]
    📝 Exercice 3 :
    Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents et complémentaires.
    \([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\).
    On donne \(\widehat{COB}=53°\). Calculer \(\widehat{AOC}\) puis \(\widehat{AOM}\).
    ✔ Solution :
    Étape 1 : \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont complémentaires : \[ \widehat{AOC} + \widehat{COB} = 90° \implies \widehat{AOC} = 90° - 53° = \boxed{37°} \] Étape 2 : \([OM)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\) : \[ \widehat{AOM} = \frac{\widehat{AOC}}{2} = \frac{37°}{2} = \boxed{18{,}5°} \]
    ⚠️ لا تخلط بين:
    • Complémentaires (متتامّتان): المجموع = \(90°\)
    • Supplémentaires (متكاملتان): المجموع = \(180°\)
    وسيلة للتذكّر: Complémentaires → comme un Coin (زاوية قائمة \(90°\))  |  Supplémentaires → comme une ligne Straight (\(180°\))
    X

    جدول تلخيصي شامل

    Tableau récapitulatif
    المفهوم Concept الخاصية / Propriété
    متتامّتان Complémentaires \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=90°\)
    متكاملتان Supplémentaires \(\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=180°\)
    متجاورتان Adjacentes نفس الرأس + ضلع مشترك + جهتان مختلفتان
    متقابلتان بالرأس Opposées par le sommet \(\widehat{\alpha_1}=\widehat{\alpha_2}\)
    منصّف Bissectrice \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}\)