Les Équations

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جدول المحتويات
    Les Équations

    Les Équations

    Résolution d'équations du premier degré
    À une inconnue

    1 Définitions

    Équation : Une égalité contenant une ou plusieurs lettres (inconnues) représentant des nombres.
    Exemple : \(2x + 3 = 7\) est une équation d'inconnue \(x\).

    Membres d'une équation

    Le côté gauche du signe = est le premier membre.

    Le côté droit est le deuxième membre.

    \(\underbrace{2x + 3}_{1^{er} membre} = \underbrace{7}_{2^{ème} membre}\)

    Solution

    Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

    Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.

    Exemple : L'équation \(x + 5 = 8\) admet pour solution \(x = 3\) car \(3 + 5 = 8\).

    2 Équation du type \(x + a = b\)

    Règle : On ajoute le même nombre aux deux membres pour « faire disparaître » un terme.
    Opération inverse : Pour éliminer \(+a\), on ajoute \(-a\) (son opposé).
    Résoudre \(x + 4 = 9\)
    \(x + 4 = 9\)
    \(x + 4 - 4 = 9 - 4\) ⟹ On soustrait 4 aux deux membres
    \(x = 5\)
    La solution est \(x = 5\).
    Résoudre \(x - 7 = 3\)
    \(x - 7 = 3\)
    \(x - 7 + 7 = 3 + 7\) ⟹ On ajoute 7 aux deux membres
    \(x = 10\)
    La solution est \(x = 10\).
    \(x + a = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = b - a\)

    3 Équation du type \(ax = b\) (avec \(a \neq 0\))

    Règle : On multiplie ou on divise les deux membres par le même nombre non nul pour isoler \(x\).
    Opération inverse : Pour éliminer \(\times a\), on divise par \(a\) (ou on multiplie par \(\frac{1}{a}\)).
    Résoudre \(3x = 15\)
    \(3x = 15\)
    \(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\) ⟹ On divise par 3
    \(x = 5\)
    La solution est \(x = 5\).
    Résoudre \(\frac{x}{4} = 6\)
    \(\frac{x}{4} = 6\)
    \(\frac{x}{4} \times 4 = 6 \times 4\) ⟹ On multiplie par 4
    \(x = 24\)
    La solution est \(x = 24\).
    Résoudre \(-2x = 8\)
    \(-2x = 8\)
    \(\frac{-2x}{-2} = \frac{8}{-2}\) ⟹ On divise par \(-2\)
    \(x = -4\)
    La solution est \(x = -4\).
    \(ax = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{b}{a}\) (avec \(a \neq 0\))

    4 Méthode générale : \(ax + b = c\)

    Étapes de résolution :
    1. On regroupe les termes en \(x\) dans un membre et les nombres dans l'autre.
    2. On réduit chaque membre.
    3. On divise par le coefficient de \(x\).
    Résoudre \(2x + 5 = 13\)
    \(2x + 5 = 13\)
    \(2x = 13 - 5\) ⟹ On soustrait 5
    \(2x = 8\)
    \(x = \frac{8}{2}\) ⟹ On divise par 2
    \(x = 4\)
    Vérification : \(2 \times 4 + 5 = 8 + 5 = 13\) ✓
    Résoudre \(5x - 7 = 3x + 5\)
    \(5x - 7 = 3x + 5\)
    \(5x - 3x = 5 + 7\) ⟹ On change de membre en changeant de signe
    \(2x = 12\)
    \(x = 6\)
    La solution est \(x = 6\).
    Astuce : Quand on déplace un terme d'un membre à l'autre, on change son signe !

    5 Équations avec parenthèses

    Étapes :
    1. On développe pour supprimer les parenthèses.
    2. On réduit chaque membre.
    3. On résout l'équation obtenue.
    Résoudre \(3(x + 2) = 2(x - 1) + 15\)
    \(3(x + 2) = 2(x - 1) + 15\)
    \(3x + 6 = 2x - 2 + 15\) ⟹ Développement
    \(3x + 6 = 2x + 13\) ⟹ Réduction du membre droit
    \(3x - 2x = 13 - 6\) ⟹ On regroupe les \(x\) et les nombres
    \(x = 7\)
    La solution est \(x = 7\).

    6 Équations avec fractions

    Méthode : On multiplie tous les termes par le dénominateur commun (ou le PPCM) pour éliminer les fractions.
    Résoudre \(\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5\)
    Le PPCM de 3 et 2 est 6.
    \(6 \times \frac{x}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 5\) ⟹ Multiplication par 6
    \(2x + 3x = 30\)
    \(5x = 30\)
    \(x = 6\)
    La solution est \(x = 6\).
    Résoudre \(\frac{x+1}{4} = \frac{x}{3} - 1\)
    Le PPCM de 4 et 3 est 12.
    \(12 \times \frac{x+1}{4} = 12 \times \frac{x}{3} - 12 \times 1\)
    \(3(x+1) = 4x - 12\)
    \(3x + 3 = 4x - 12\)
    \(3 + 12 = 4x - 3x\)
    \(15 = x\)
    La solution est \(x = 15\).

    7 Cas particuliers

    Équation sans solution

    Résoudre \(2x + 3 = 2x + 5\)
    \(2x + 3 = 2x + 5\)
    \(2x - 2x = 5 - 3\)
    \(0 = 2\)
    Égalité fausse ! L'équation n'admet aucune solution.
    On note : \(S = \emptyset\) (ensemble vide)

    Infinité de solutions

    Résoudre \(3x - 6 = 3(x - 2)\)
    \(3x - 6 = 3x - 6\)
    \(3x - 3x = -6 + 6\)
    \(0 = 0\)
    Égalité toujours vraie ! L'équation admet une infinité de solutions.
    Tout nombre est solution.

    Sans solution

    On obtient : nombre = autre nombre (faux)

    Ex : \(0 = 3\)

    Infinité de solutions

    On obtient : 0 = 0 (toujours vrai)

    Tout nombre convient.

    8 Mise en équation

    Étapes pour résoudre un problème :
    1. Choisir l'inconnue (souvent ce qu'on cherche).
    2. Traduire l'énoncé par une équation.
    3. Résoudre l'équation.
    4. Vérifier que la solution convient au problème.
    5. Conclure par une phrase réponse.
    Problème : Trouver un nombre tel que le triple de ce nombre augmenté de 5 soit égal à 26.

    1. Soit \(x\) le nombre cherché.
    2. L'équation est : \(3x + 5 = 26\)
    3. Résolution : \(3x = 21\) donc \(x = 7\)
    4. Vérification : \(3 \times 7 + 5 = 21 + 5 = 26\) ✓
    5. Le nombre cherché est 7.
    Astuce : Cherchez les mots « égale », « autant que », « même », « autant » pour trouver l'égalité dans l'énoncé.

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