Les Équations

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Les Équations

Les Équations

Résolution d'équations du premier degré
À une inconnue

1 Définitions

Équation : Une égalité contenant une ou plusieurs lettres (inconnues) représentant des nombres.
Exemple : \(2x + 3 = 7\) est une équation d'inconnue \(x\).

Membres d'une équation

Le côté gauche du signe = est le premier membre.

Le côté droit est le deuxième membre.

\(\underbrace{2x + 3}_{1^{er} membre} = \underbrace{7}_{2^{ème} membre}\)

Solution

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.

Exemple : L'équation \(x + 5 = 8\) admet pour solution \(x = 3\) car \(3 + 5 = 8\).

2 Équation du type \(x + a = b\)

Règle : On ajoute le même nombre aux deux membres pour « faire disparaître » un terme.
Opération inverse : Pour éliminer \(+a\), on ajoute \(-a\) (son opposé).
Résoudre \(x + 4 = 9\)
\(x + 4 = 9\)
\(x + 4 - 4 = 9 - 4\) ⟹ On soustrait 4 aux deux membres
\(x = 5\)
La solution est \(x = 5\).
Résoudre \(x - 7 = 3\)
\(x - 7 = 3\)
\(x - 7 + 7 = 3 + 7\) ⟹ On ajoute 7 aux deux membres
\(x = 10\)
La solution est \(x = 10\).
\(x + a = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = b - a\)

3 Équation du type \(ax = b\) (avec \(a \neq 0\))

Règle : On multiplie ou on divise les deux membres par le même nombre non nul pour isoler \(x\).
Opération inverse : Pour éliminer \(\times a\), on divise par \(a\) (ou on multiplie par \(\frac{1}{a}\)).
Résoudre \(3x = 15\)
\(3x = 15\)
\(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\) ⟹ On divise par 3
\(x = 5\)
La solution est \(x = 5\).
Résoudre \(\frac{x}{4} = 6\)
\(\frac{x}{4} = 6\)
\(\frac{x}{4} \times 4 = 6 \times 4\) ⟹ On multiplie par 4
\(x = 24\)
La solution est \(x = 24\).
Résoudre \(-2x = 8\)
\(-2x = 8\)
\(\frac{-2x}{-2} = \frac{8}{-2}\) ⟹ On divise par \(-2\)
\(x = -4\)
La solution est \(x = -4\).
\(ax = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{b}{a}\) (avec \(a \neq 0\))

4 Méthode générale : \(ax + b = c\)

Étapes de résolution :
  1. On regroupe les termes en \(x\) dans un membre et les nombres dans l'autre.
  2. On réduit chaque membre.
  3. On divise par le coefficient de \(x\).
Résoudre \(2x + 5 = 13\)
\(2x + 5 = 13\)
\(2x = 13 - 5\) ⟹ On soustrait 5
\(2x = 8\)
\(x = \frac{8}{2}\) ⟹ On divise par 2
\(x = 4\)
Vérification : \(2 \times 4 + 5 = 8 + 5 = 13\) ✓
Résoudre \(5x - 7 = 3x + 5\)
\(5x - 7 = 3x + 5\)
\(5x - 3x = 5 + 7\) ⟹ On change de membre en changeant de signe
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
La solution est \(x = 6\).
Astuce : Quand on déplace un terme d'un membre à l'autre, on change son signe !

5 Équations avec parenthèses

Étapes :
  1. On développe pour supprimer les parenthèses.
  2. On réduit chaque membre.
  3. On résout l'équation obtenue.
Résoudre \(3(x + 2) = 2(x - 1) + 15\)
\(3(x + 2) = 2(x - 1) + 15\)
\(3x + 6 = 2x - 2 + 15\) ⟹ Développement
\(3x + 6 = 2x + 13\) ⟹ Réduction du membre droit
\(3x - 2x = 13 - 6\) ⟹ On regroupe les \(x\) et les nombres
\(x = 7\)
La solution est \(x = 7\).

6 Équations avec fractions

Méthode : On multiplie tous les termes par le dénominateur commun (ou le PPCM) pour éliminer les fractions.
Résoudre \(\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5\)
Le PPCM de 3 et 2 est 6.
\(6 \times \frac{x}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 5\) ⟹ Multiplication par 6
\(2x + 3x = 30\)
\(5x = 30\)
\(x = 6\)
La solution est \(x = 6\).
Résoudre \(\frac{x+1}{4} = \frac{x}{3} - 1\)
Le PPCM de 4 et 3 est 12.
\(12 \times \frac{x+1}{4} = 12 \times \frac{x}{3} - 12 \times 1\)
\(3(x+1) = 4x - 12\)
\(3x + 3 = 4x - 12\)
\(3 + 12 = 4x - 3x\)
\(15 = x\)
La solution est \(x = 15\).

7 Cas particuliers

Équation sans solution

Résoudre \(2x + 3 = 2x + 5\)
\(2x + 3 = 2x + 5\)
\(2x - 2x = 5 - 3\)
\(0 = 2\)
Égalité fausse ! L'équation n'admet aucune solution.
On note : \(S = \emptyset\) (ensemble vide)

Infinité de solutions

Résoudre \(3x - 6 = 3(x - 2)\)
\(3x - 6 = 3x - 6\)
\(3x - 3x = -6 + 6\)
\(0 = 0\)
Égalité toujours vraie ! L'équation admet une infinité de solutions.
Tout nombre est solution.

Sans solution

On obtient : nombre = autre nombre (faux)

Ex : \(0 = 3\)

Infinité de solutions

On obtient : 0 = 0 (toujours vrai)

Tout nombre convient.

8 Mise en équation

Étapes pour résoudre un problème :
  1. Choisir l'inconnue (souvent ce qu'on cherche).
  2. Traduire l'énoncé par une équation.
  3. Résoudre l'équation.
  4. Vérifier que la solution convient au problème.
  5. Conclure par une phrase réponse.
Problème : Trouver un nombre tel que le triple de ce nombre augmenté de 5 soit égal à 26.

1. Soit \(x\) le nombre cherché.
2. L'équation est : \(3x + 5 = 26\)
3. Résolution : \(3x = 21\) donc \(x = 7\)
4. Vérification : \(3 \times 7 + 5 = 21 + 5 = 26\) ✓
5. Le nombre cherché est 7.
Astuce : Cherchez les mots « égale », « autant que », « même », « autant » pour trouver l'égalité dans l'énoncé.

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