العمليات على الأعداد في كتابة كسرية

Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 03

في هذا الدرس سنتعلم كيفية جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد في كتابة كسرية، مع أمثلة تطبيقية مُفصّلة لكل عملية.

جمع وطرح كسرين لهما نفس المقام

Addition et soustraction de fractions de même dénominateur

قاعدة / Règle

لجمع أو طرح كسرين لهما نفس المقام، نحتفظ بالمقام ونجمع أو نطرح البسطين:

\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}

\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}

حيث \( n \neq 0 \).

✎ Exemple 1 :

Calculons \(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}\) : \[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \boxed{\frac{5}{7}} \]

✎ Exemple 2 :

Calculons \(\dfrac{11}{4} - \dfrac{3}{4}\) : \[ \frac{11}{4} - \frac{3}{4} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = \boxed{2} \]

جمع وطرح كسرين بمقامين مختلفين

Addition et soustraction avec dénominateurs différents

📋 الطريقة / Méthode :

1) نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) للمقامين.
2) نكتب كل كسر بمقام موحّد (المضاعف المشترك).
3) نجمع أو نطرح البسطين.
4) نختزل النتيجة إن أمكن.

قاعدة / Règle

لجمع أو طرح كسرين بمقامين مختلفين، نقوم أولاً بتوحيد المقامات:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}

✎ Exemple 3 :

Calculons \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\) :

Étape 1 : Le dénominateur commun est \(3 \times 4 = 12\).

Étape 2 : On convertit chaque fraction : \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \qquad ; \qquad \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \] Étape 3 : On additionne : \[ \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 + 3}{12} = \boxed{\frac{11}{12}} \]

✎ Exemple 4 :

Calculons \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{9}\) :

Le dénominateur commun est \(6 \times 9 = 54\). Mais on peut utiliser \(\text{PPCM}(6,\,9) = 18\) : \[ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18} \qquad ; \qquad \frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} \] \[ \frac{15}{18} - \frac{2}{18} = \frac{15 - 2}{18} = \boxed{\frac{13}{18}} \]

⚠️ لا يمكن جمع أو طرح كسرين مباشرة إلا إذا كان لهما نفس المقام. خطأ شائع:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5} \quad \text{(FAUX ✗)}

III

ضرب كسرين

Multiplication de deux fractions

قاعدة / Règle

لضرب كسرين، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

حيث \( b \neq 0 \) و \( d \neq 0 \).

✎ Exemple 5 :

Calculons \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}\) : \[ \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \boxed{\frac{6}{35}} \]

✎ Exemple 6 :

Calculons \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\) : \[ \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} \] On simplifie par \(12\) : \[ \frac{12}{72} = \frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \boxed{\frac{1}{6}} \]

💡 ملاحظة / Remarque :
يمكن تبسيط الكسور قبل الضرب لتسهيل الحساب (التبسيط المتقاطع):

\frac{\overset{1}{\cancel{4}}}{9} \times \frac{3}{\underset{2}{\cancel{8}}} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}

مقلوب عدد

L'inverse d'un nombre

تعريف / Définition

مقلوب عدد غير منعدم \(a\) هو العدد الذي إذا ضربناه في \(a\) نحصل على \(1\):

a \times \frac{1}{a} = 1 \quad \text{حيث } a \neq 0

مقلوب الكسر \(\dfrac{a}{b}\) هو \(\dfrac{b}{a}\) :

\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1

✎ Exemple 7 :

• L'inverse de \(\dfrac{3}{5}\) est \(\dfrac{5}{3}\), car : \[ \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1 \quad \checkmark \] • L'inverse de \(4\) est \(\dfrac{1}{4}\), car : \[ 4 \times \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \quad \checkmark \]

⚠️ العدد \(0\) لا يملك مقلوباً لأن القسمة على \(0\) مستحيلة.

قسمة كسرين

Division de deux fractions

قاعدة / Règle

لقسمة كسر على كسر آخر غير منعدم، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

حيث \( b \neq 0 \) و \( c \neq 0 \) و \( d \neq 0 \).

✎ Exemple 8 :

Calculons \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}\) :

On multiplie par l'inverse de \(\dfrac{2}{5}\) : \[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \boxed{\frac{15}{8}} \]

✎ Exemple 9 :

Calculons \(\dfrac{7}{10} \div 3\) :

On écrit \(3 = \dfrac{3}{1}\), donc son inverse est \(\dfrac{1}{3}\) : \[ \frac{7}{10} \div 3 = \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{7 \times 1}{10 \times 3} = \boxed{\frac{7}{30}} \]

تمرين تطبيقي شامل

Exercice d'application

✎ Exercice :

Calculer et simplifier si possible : \[ A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \qquad ; \qquad B = \frac{7}{4} - \frac{3}{10} \] \[ C = \frac{5}{9} \times \frac{6}{7} \qquad ; \qquad D = \frac{8}{15} \div \frac{4}{5} \]

✔ Solution :

Calcul de A : \[ A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 + 5}{6} = \boxed{\frac{9}{6} = \frac{3}{2}} \] Calcul de B : \[ B = \frac{7}{4} - \frac{3}{10} = \frac{7 \times 5}{4 \times 5} - \frac{3 \times 2}{10 \times 2} = \frac{35}{20} - \frac{6}{20} = \frac{35 - 6}{20} = \boxed{\frac{29}{20}} \] Calcul de C : \[ C = \frac{5}{9} \times \frac{6}{7} = \frac{5 \times 6}{9 \times 7} = \frac{30}{63} = \frac{30 \div 3}{63 \div 3} = \boxed{\frac{10}{21}} \] Calcul de D : \[ D = \frac{8}{15} \div \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \times \frac{5}{4} = \frac{8 \times 5}{15 \times 4} = \frac{40}{60} = \frac{40 \div 20}{60 \div 20} = \boxed{\frac{2}{3}} \]

Les nombres en écriture fractionnaire

العمليات على الأعداد في كتابة كسرية

جمع وطرح كسرين لهما نفس المقام

جمع وطرح كسرين بمقامين مختلفين

ضرب كسرين

مقلوب عدد

قسمة كسرين

تمرين تطبيقي شامل