الأعداد النسبية : الجمع والطرح | Les Nombres Relatifs

🔢 Arithmétique • الحساب

الأعداد النسبية

Les Nombres Relatifs : Addition & Soustraction

دراسة شاملة لقواعد جمع وطرح الأعداد النسبية مع الأمثلة والصيغ الرياضية

📚 مستوى : الإعدادي / Collège ⏱️ قراءة 6 دقائق ✅ قواعد + أمثلة + جدول ملخص

🔷 الأعداد النسبية (Les nombres relatifs) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر. تُكتب كل عدد نسبي بـ إشارة وقيمة مطلقة. في هذا الدرس، سنتعلم كيفية جمع وطرح هذه الأعداد بطريقة صحيحة ومنهجية.

🔷 Les nombres relatifs sont l'ensemble des entiers positifs, négatifs et zéro. Dans ce cours, nous allons maîtriser les règles d'addition et de soustraction de ces nombres.

📏 خط الأعداد — La Droite des Nombres

−5

−4

−3

−2

−1

← أعداد سالبة | Nombres négatifs أعداد موجبة | Nombres positifs →

📖

① التعريفات الأساسية — Définitions Essentielles

Signe, valeur absolue, opposé

🔑 تعريف | Définition كل عدد نسبي يتكوّن من إشارة (+ أو −) وقيمة مطلقة (الجزء العددي بدون إشارة).
Tout nombre relatif est composé d'un signe (+ ou −) et d'une valeur absolue.

🔴 الإشارة | Le Signe

إما موجب (+) أو سالب (−)
Positif (+) ou Négatif (−)

🟢 القيمة المطلقة | Valeur Absolue

المسافة إلى الصفر على خط الأعداد
La distance à zéro sur la droite des nombres

🔵 المعاكس | L'Opposé

معاكس العدد \(a\) هو \(-a\) : \(a + (-a) = 0\)
L'opposé de \(a\) est \(-a\)

🟡 رمز القيمة المطلقة | Notation

\(|{+5}| = 5\) | \(|{-5}| = 5\) | \(|0| = 0\)
دائمًا موجبة أو صفر — Toujours ≥ 0

        \[|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}\]
      

➕

② قاعدة الجمع — Règle de l'Addition

Addition de deux nombres relatifs

📖 مبدأ عام | Principe général لجمع عددين نسبيين، نُميّز حالتين : نفس الإشارة أو إشارتان مختلفتان.
Pour additionner deux nombres relatifs, on distingue deux cas : même signe ou signes différents.

الحالة الأولى : نفس الإشارة — Cas 1 : Même Signe

➕➕

موجب + موجب | Positif + Positif

نجمع القيمتين المطلقتين ونضع إشارة +
On additionne les valeurs absolues → signe +

\((+a)+(+b) = +(a+b)\)

➖➖

سالب + سالب | Négatif + Négatif

نجمع القيمتين المطلقتين ونضع إشارة −
On additionne les valeurs absolues → signe −

\((-a)+(-b) = -(a+b)\)

نفس الإشارة ← نجمع القيم المطلقة ونأخذ تلك الإشارة
\[\text{Même signe} \implies \text{Additionner les } |\ | \text{ et garder le signe commun}\]

📌 أمثلة | Exemples :

\((+3)+(+4)\)

\(= +7\)

\((+8)+(+5)\)

\(= +13\)

\((-2)+(-6)\)

\(= -8\)

\((-7)+(-3)\)

\(= -10\)

الحالة الثانية : إشارتان مختلفتان — Cas 2 : Signes Différents

➕➖ → ➕

القيمة المطلقة الكبرى موجبة

نطرح القيمتين المطلقتين ونأخذ إشارة الأكبر

إذا \(|a| > |b|\)
\((+a)+(-b) = +(a-b)\)

➕➖ → ➖

القيمة المطلقة الكبرى سالبة

نطرح القيمتين المطلقتين ونأخذ إشارة الأكبر

إذا \(|b| > |a|\)
\((+a)+(-b) = -(b-a)\)

إشارتان مختلفتان ← نطرح القيم المطلقة ونأخذ إشارة الأكبر قيمةً مطلقةً
\[\text{Signes différents} \implies \bigl||a| - |b|\bigr| \text{ avec le signe du plus grand } |\ |\]

📌 أمثلة | Exemples :

\((+7)+(-3)\)

\(= +4\)

\((+3)+(-7)\)

\(= -4\)

\((-2)+(+9)\)

\(= +7\)

\((+5)+(-5)\)

\(= 0\)

🗺️ خريطة الإشارات | Carte des Signes :

(+) + (+) → +

(−) + (−) → −

(+) + (−) → ؟ (إشارة الأكبر)

(−) + (+) → ؟ (إشارة الأكبر)

➖

③ قاعدة الطرح — Règle de la Soustraction

Soustraire = Ajouter l'opposé

🔑 القاعدة الذهبية | La Règle d'Or طرح عدد يساوي جمع معاكسه !
Soustraire un nombre revient à additionner son opposé !

\[\boxed{a - b = a + (-b)}\]
الطرح = إضافة المعاكس | Soustraction = Addition de l'opposé

💡

خطوات التطبيق | Étapes :
① حوّل الطرح إلى جمع : \(a - b \rightarrow a + (-b)\)
② غيّر إشارة العدد المطروح
③ طبّق قاعدة الجمع المناسبة

📌 أمثلة تفصيلية | Exemples détaillés :

مثال 1 : \((+8) - (+3)\) \(= (+8) + (-3)\) \(= \boldsymbol{+5}\)

مثال 2 : \((+4) - (-6)\) \(= (+4) + (+6)\) \(= \boldsymbol{+10}\)

مثال 3 : \((-5) - (+3)\) \(= (-5) + (-3)\) \(= \boldsymbol{-8}\)

مثال 4 : \((-2) - (-9)\) \(= (-2) + (+9)\) \(= \boldsymbol{+7}\)

1

اكتب عملية الطرح | Écris la soustraction :
\(a - b\)
2

حوّل إلى جمع | Transforme en addition :
\(a - b = a + (-b)\) ← غيّر الإشارة
3

طبّق قاعدة الجمع | Applique la règle d'addition :
نفس الإشارة ← جمع | إشارتان مختلفتان ← طرح القيم المطلقة
4

حدّد الإشارة والنتيجة | Détermine le signe et le résultat :
✅ تحقق من إشارة ونتيجة العملية

🔄

④ تبسيط الإشارات المزدوجة — Simplification des Signes Doubles

Double signe → signe simplifié

📖 القاعدة | Règle عند تجاور إشارتين، يمكن تبسيطهما حسب الجدول التالي.
Lorsque deux signes se suivent, on les simplifie selon le tableau ci-dessous.

\[+ \; (+) = \boldsymbol{+} \qquad + \; (-) = \boldsymbol{-}\] \[- \; (+) = \boldsymbol{-} \qquad - \; (-) = \boldsymbol{+}\]

🧲

طريقة سهلة للحفظ | Astuce facile :
إشارتان متماثلتان → النتيجة موجبة (+)
إشارتان مختلفتان → النتيجة سالبة (−)

Deux signes identiques → résultat positif (+)
Deux signes différents → résultat négatif (−)

\(5 + (+3)\)

\(= 5 + 3 = 8\)

\(5 + (-3)\)

\(= 5 - 3 = 2\)

\(5 - (+3)\)

\(= 5 - 3 = 2\)

\(5 - (-3)\)

\(= 5 + 3 = 8\)

⭐

⑤ الحالات الخاصة — Cas Particuliers

Zéro, opposé, valeur absolue

🔵

الجمع مع الصفر | Addition avec 0

جمع أي عدد مع الصفر يساوي نفس العدد

\(a + 0 = 0 + a = a\)

🔴

جمع عدد ومعاكسه | Nombre + Opposé

عدد ومعاكسه يُعطيان الصفر دائمًا

\(a + (-a) = 0\)

🟢

الطرح من الصفر | Soustraction de 0

صفر ناقص عدد يساوي معاكس ذلك العدد

\(0 - a = -a\)

🟣

معاكس المجموع | Opposé d'une somme

معاكس مجموع عددين يساوي مجموع معاكسيهما

\(-(a+b) = (-a)+(-b)\)

📐

⑥ خصائص الجمع — Propriétés de l'Addition

Commutativité, Associativité, Élément neutre

🔄 التبادلية | Commutativité

ترتيب الجمع لا يُغيّر النتيجة
\[a + b = b + a\]

🔗 التجميعية | Associativité

يمكن تجميع الحدود بأي ترتيب
\[(a+b)+c = a+(b+c)\]

🟡 العنصر المحايد | Élément neutre

الصفر هو العنصر المحايد للجمع
\[a + 0 = a\]

⚡ العنصر المعاكس | Opposé

لكل عدد معاكس يُعطي الصفر
\[a + (-a) = 0\]

        مثال تجميعي | Exemple combiné :

        \[(-3) + (+7) + (-2) + (+5)\]
        \[= \bigl[(-3)+(-2)\bigr] + \bigl[(+7)+(+5)\bigr]\]
        \[= (-5) + (+12) = \boldsymbol{+7}\]
      

📊 جدول شامل لقواعد الجمع — Tableau Récapitulatif

الحالة \| Cas	الإشارات \| Signes	العملية \| Opération	إشارة النتيجة \| Signe résultat	مثال \| Exemple
نفس الإشارة (موجب) Même signe (positif)	\((+) + (+)\)	جمع القيم المطلقة Somme des \(\|\ \|\)	+	\((+4)+(+3) = +7\)
نفس الإشارة (سالب) Même signe (négatif)	\((-) + (-)\)	جمع القيم المطلقة Somme des \(\|\ \|\)	−	\((-4)+(-3) = -7\)
إشارتان مختلفتان (الأكبر+) Signes diff. (\|+\|>\|−\|)	\((+) + (-)\)	طرح القيم المطلقة Différence des \(\|\ \|\)	+	\((+7)+(-3) = +4\)
إشارتان مختلفتان (الأكبر−) Signes diff. (\|−\|>\|+\|)	\((-) + (+)\)	طرح القيم المطلقة Différence des \(\|\ \|\)	−	\((-7)+(+3) = -4\)
الطرح (← جمع المعاكس) Soustraction → addition	\(a - b\)	\(= a + (-b)\)	؟	\((+5)-(+8)=+5+(-8)=-3\)
جمع مع الصفر Addition avec 0	\(a + 0\)	العنصر المحايد Élément neutre	a	\((-6)+0 = -6\)

🎯 تدرّب الآن — Entraîne-toi !

اختبر فهمك بهذه التمارين التدريبية | Teste ta compréhension avec ces exercices

\((-8) + (+5)\) → ؟

\((+12) - (-4)\) → ؟

\((-3) + (-7) + (+10)\) → ؟

\((-15) - (-9)\) → ؟

\((+6) - (+6)\) → ؟

💬 ضع إجاباتك في التعليقات ! | Mets tes réponses en commentaire !

💡 نصائح للحفظ — Astuces Mnémotechniques

🤝

نفس الإشارة = جمع

Même signe → Additionner

+ et + font + | − et − font −

⚔️

إشارتان مختلفتان = طرح

Signes diff. → Soustraire

الإشارة للأكبر قيمةً مطلقة

🔃

الطرح = جمع المعاكس

Soustraction = Addition opposé

a − b = a + (−b) دائمًا

🧲

إشارتان متماثلتان = +

−(−) = + et +(+) = +

إشارتان مختلفتان = −

Les Nombres relatifs : Addition et Soustraction