الأعداد النسبية: تقديم ومقارنة
Les Nombres relatifs : Présentation et Comparaison
السنة الأولى إعدادي — مسلك دولي BIOF — الدرس 07
حتى الآن كنا نتعامل مع أعداد موجبة فقط. لكن في الحياة اليومية نصادف أعداداً سالبة (درجات حرارة تحت الصفر، ديون، أعماق...). لذلك نحتاج إلى مجموعة أكبر من الأعداد تُسمّى الأعداد النسبية.
I
الحاجة إلى الأعداد النسبية
Nécessité des nombres relatifsفي كثير من الحالات اليومية والعلمية، لا تكفي الأعداد الموجبة للتعبير عن بعض القيم:
درجة الحرارة
Température
\(-15°C\) تحت الصفر
\(-15°C\) تحت الصفر
الارتفاع والعمق
Altitude
\(+8848\) m قمة إيفرست
\(-10994\) m خندق ماريانا
\(+8848\) m قمة إيفرست
\(-10994\) m خندق ماريانا
الرصيد البنكي
Solde bancaire
\(+500\) رصيد
\(-200\) دَيْن
\(+500\) رصيد
\(-200\) دَيْن
التاريخ
Dates historiques
\(-753\) تأسيس روما
\(+622\) الهجرة
\(-753\) تأسيس روما
\(+622\) الهجرة
💡 ملاحظة / Remarque :
الأعداد النسبية تمكّننا من التعبير عن اتجاهين متعاكسين: فوق/تحت، ربح/خسارة، قبل/بعد...
الأعداد النسبية تمكّننا من التعبير عن اتجاهين متعاكسين: فوق/تحت، ربح/خسارة، قبل/بعد...
II
تعريف الأعداد النسبية
Définition des nombres relatifsتعريف / Définition
العدد النسبي (nombre relatif) هو عدد يتكوّن من:
- إشارة (un signe) : \(+\) أو \(-\)
- جزء عددي (une partie numérique) : وهو عدد موجب
\[
\underbrace{\color{#27ae60}{+}}_{\text{إشارة}} \; \underbrace{5{,}3}_{\text{جزء عددي}}
\qquad \qquad
\underbrace{\color{#e74c3c}{-}}_{\text{إشارة}} \; \underbrace{7}_{\text{جزء عددي}}
\]
مصطلحات / Vocabulaire
| بالعربية | En français | التعريف / Définition | مثال |
|---|---|---|---|
| عدد نسبي موجب | Nombre relatif positif | إشارته \(+\) | \(+3\;;\;+7{,}2\;;\;+\dfrac{1}{4}\) |
| عدد نسبي سالب | Nombre relatif négatif | إشارته \(-\) | \(-5\;;\;-2{,}8\;;\;-\dfrac{3}{7}\) |
| الصفر | Zéro | ليس موجباً ولا سالباً | \(0\) |
💡 ملاحظة / Remarque :
بالنسبة للأعداد الموجبة، يمكن حذف إشارة \(+\). أي:
بالنسبة للأعداد الموجبة، يمكن حذف إشارة \(+\). أي:
\[
+5 = 5 \qquad;\qquad +3{,}7 = 3{,}7
\]
أما الإشارة \(-\) فلا يمكن حذفها أبداً.
III
التمثيل على مستقيم مدرّج
Représentation sur une droite graduéeتعريف / Définition
المستقيم المدرّج (La droite graduée) هو مستقيم نحدّد عليه:
- أصلاً (une origine) يُمثّل العدد \(0\).
- اتجاهاً موجباً (un sens positif) : عادةً نحو اليمين.
- وحدة طول (une unité de longueur).
- الأعداد الموجبة تقع على يمين الأصل.
- الأعداد السالبة تقع على يسار الأصل.
المستقيم المدرّج: الأعداد السالبة على اليسار والأعداد الموجبة على اليمين
✎ Exemple 1 :
Placer les nombres suivants sur une droite graduée :
\[
A = +3 \quad;\quad B = -2 \quad;\quad C = -4{,}5 \quad;\quad D = +1{,}5
\]
تمثيل النقط \(A(+3)\;,\;B(-2)\;,\;C(-4{,}5)\;,\;D(+1{,}5)\) على المستقيم المدرّج
IV
فاصلة نقطة على مستقيم مدرّج
Abscisse d'un point sur une droite graduéeتعريف / Définition
على مستقيم مدرّج، لكلّ نقطة \(M\) يُوافقها عدد نسبي وحيد يُسمّى فاصلتها (son abscisse).نكتب:
\[
M\;(\;x\;) \quad \text{يعني أنّ فاصلة النقطة } M \text{ هي } x
\]
✎ Exemple 2 :
Dans l'exemple précédent :
- L'abscisse de \(A\) est \(+3\) : on note \(A\;(+3)\)
- L'abscisse de \(B\) est \(-2\) : on note \(B\;(-2)\)
- L'abscisse de \(C\) est \(-4{,}5\) : on note \(C\;(-4{,}5)\)
- L'abscisse de \(D\) est \(+1{,}5\) : on note \(D\;(+1{,}5)\)
V
عددان متقابلان
Nombres opposésتعريف / Définition
نقول إنّ عددين نسبيين متقابلان (opposés) إذا كان لهما نفس الجزء العددي وإشارتان مختلفتان.مقلوب الإشارة للعدد \(a\) يُرمز له بـ \(-a\).
\[
\text{L'opposé de } a \text{ est } (-a)
\qquad;\qquad
a + (-a) = 0
\]
\(-3\) و \(+3\) متقابلان: يبعدان بنفس المسافة عن \(0\) في اتجاهين متعاكسين
✎ Exemple 3 :
| Nombre | Son opposé | Vérification |
|---|---|---|
| \(+7\) | \(-7\) | \((+7)+(-7)=0\;\checkmark\) |
| \(-4{,}5\) | \(+4{,}5\) | \((-4{,}5)+(+4{,}5)=0\;\checkmark\) |
| \(+\dfrac{2}{3}\) | \(-\dfrac{2}{3}\) | \(\left(+\dfrac{2}{3}\right)+\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0\;\checkmark\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0+0=0\;\checkmark\) |
⚠️ العدد \(0\) هو العدد الوحيد الذي يكون مقابل نفسه: \(-0 = 0\).
VI
القيمة المطلقة لعدد نسبي
Valeur absolue d'un nombre relatifتعريف / Définition
القيمة المطلقة (La valeur absolue) لعدد نسبي هي الجزء العددي (بدون الإشارة)، أي المسافة بين هذا العدد والصفر على المستقيم المدرّج.يُرمز لها بـ \(|a|\) :
\[
|a| = \begin{cases}
a & \text{si } a \geqslant 0 \\[4pt]
-a & \text{si } a < 0
\end{cases}
\]
أي: القيمة المطلقة دائماً موجبة أو منعدمة.
✎ Exemple 4 :
\[
|{+5}| = 5 \qquad;\qquad |{-5}| = 5 \qquad;\qquad |{0}| = 0
\]
\[
|{-3{,}7}| = 3{,}7 \qquad;\qquad \left|{+\frac{2}{3}}\right| = \frac{2}{3} \qquad;\qquad |{-12}| = 12
\]
القيمة المطلقة = المسافة من العدد إلى الصفر على المستقيم المدرّج
خاصيات / Propriétés
\[
|a| \geqslant 0 \qquad;\qquad |a| = |-a| \qquad;\qquad |a| = 0 \iff a = 0
\]
💡 ملاحظة / Remarque :
عددان متقابلان لهما دائماً نفس القيمة المطلقة:
عددان متقابلان لهما دائماً نفس القيمة المطلقة:
\[
|{+5}| = |{-5}| = 5
\]
VII
مقارنة الأعداد النسبية
Comparaison des nombres relatifsقاعدة عامة / Règle générale
على المستقيم المدرّج، العدد الذي يقع أكثر إلى اليمين هو الأكبر:
\[
a < b \quad \Longleftrightarrow \quad a \text{ est à gauche de } b \text{ sur la droite graduée}
\]
الحالة 1: موجب وسالب
كل عدد موجب أكبر من كل عدد سالب:
\[
\boxed{\text{Tout nombre positif} > \text{Tout nombre négatif}}
\]
وكل عدد موجب أكبر من أو يساوي \(0\)، وكل عدد سالب أصغر من \(0\):
\[
a > 0 \;\;\text{(positif)} \qquad;\qquad a < 0 \;\;\text{(négatif)}
\]
✎ Exemple 5 :
\[
+3 > -100 \qquad;\qquad +0{,}1 > -50 \qquad;\qquad -7 < 0 < +2
\]
الحالة 2: موجبان
لمقارنة عددين موجبين، نقارن قيمتيهما المطلقتين (الأكبر قيمةً مطلقة هو الأكبر):
\[
\text{Si } a > 0 \text{ et } b > 0 :\quad a > b \iff |a| > |b|
\]
✎ Exemple 6 :
Comparons \(+5{,}3\) et \(+2{,}8\) :
\[
5{,}3 > 2{,}8 \implies \boxed{+5{,}3 > +2{,}8}
\]
الحالة 3: سالبان
لمقارنة عددين سالبين، نقارن قيمتيهما المطلقتين: الأكبر قيمةً مطلقة هو الأصغر (العلاقة تنعكس):
\[
\boxed{\text{Si } a < 0 \text{ et } b < 0 :\quad |a| > |b| \iff a < b}
\]
✎ Exemple 7 :
Comparons \(-3\) et \(-7\) :Les valeurs absolues : \(|-3| = 3\) et \(|-7| = 7\).
Puisque \(7 > 3\), alors (la relation s'inverse pour les négatifs) : \[ \boxed{-7 < -3} \]
✎ Exemple 8 :
Comparons \(-1{,}5\) et \(-4{,}2\) :\(|-1{,}5| = 1{,}5\) et \(|-4{,}2| = 4{,}2\).
Puisque \(4{,}2 > 1{,}5\), alors : \[ \boxed{-4{,}2 < -1{,}5} \]
ترتيب الأعداد تصاعدياً من اليسار إلى اليمين
⚠️ خطأ شائع: لا تخلط بين القيمة المطلقة وترتيب الأعداد السالبة!
\[
|-7| > |-3| \quad \text{لكن} \quad -7 < -3
\]
كلما كان العدد السالب أبعد عن الصفر، كان أصغر.
VIII
ترتيب الأعداد النسبية
Rangement des nombres relatifsقاعدة / Règle
- الترتيب التصاعدي (ordre croissant): من الأصغر إلى الأكبر (من اليسار إلى اليمين على المستقيم).
- الترتيب التنازلي (ordre décroissant): من الأكبر إلى الأصغر (من اليمين إلى اليسار على المستقيم).
✎ Exemple 9 :
Ranger dans l'ordre croissant : \(\;-3\;;\;+5\;;\;-7\;;\;0\;;\;+1\;;\;-1{,}5\).Étape 1 : On sépare les négatifs et les positifs :
- Négatifs : \(-7\;;\;-3\;;\;-1{,}5\)
- Zéro : \(0\)
- Positifs : \(+1\;;\;+5\)
✎ Exemple 10 :
Ranger dans l'ordre décroissant : \(\;+4{,}2\;;\;-6\;;\;-0{,}5\;;\;+3\;;\;-2{,}1\)
\[
\boxed{+4{,}2 > +3 > -0{,}5 > -2{,}1 > -6}
\]
IX
المحصور بين عددين — التأطير
Encadrement d'un nombre relatifتعريف / Définition
نقول إنّ العدد \(x\) محصور (encadré) بين \(a\) و \(b\) إذا كان:
\[
a \leqslant x \leqslant b \quad \text{(أو } a < x < b \text{)}
\]
✎ Exemple 11 :
Encadrer le nombre \(-2{,}7\) par deux entiers consécutifs.
\[
-3 < -2{,}7 < -2 \implies \boxed{-3 < -2{,}7 < -2}
\]
✎ Exemple 12 :
Encadrer le nombre \(+3{,}14\) par deux entiers consécutifs.
\[
\boxed{+3 < +3{,}14 < +4}
\]
📋 الطريقة / Méthode :
لتأطير عدد نسبي بين عددين صحيحين متتاليين:
لتأطير عدد نسبي بين عددين صحيحين متتاليين:
- إذا كان موجباً: نأخذ الجزء الصحيح والجزء الصحيح \(+1\).
- إذا كان سالباً: نأخذ العدد الصحيح الأصغر (الأبعد عن الصفر) والعدد الصحيح الأقرب إلى الصفر.
X
جدول تلخيصي لقواعد المقارنة
Tableau récapitulatif — Comparaison| الحالة / Cas | القاعدة / Règle | مثال / Exemple |
|---|---|---|
| موجب و سالب | الموجب دائماً أكبر | \(+0{,}1 > -1000\) |
| موجبان | نقارن القيم المطلقة (الأكبر هو الأكبر) | \(+8 > +3\) لأنّ \(8 > 3\) |
| سالبان | نقارن القيم المطلقة (الأكبر هو الأصغر) | \(-2 > -9\) لأنّ \(2 < 9\) |
| عدد و \(0\) | \(a > 0\) (موجب) أو \(a < 0\) (سالب) | \(-5 < 0 < +3\) |
| متقابلان | الموجب أكبر من مقابله السالب | \(+4 > -4\) |
XI
تمارين تطبيقية محلولة
Exercices d'application corrigés📝 Exercice 1 :
Compléter le tableau :
| Nombre \(a\) | Opposé \(-a\) | Valeur absolue \(|a|\) |
|---|---|---|
| \(+9\) | ? | ? |
| \(-3{,}5\) | ? | ? |
| \(0\) | ? | ? |
| \(-\dfrac{7}{2}\) | ? | ? |
✔ Solution :
| Nombre \(a\) | Opposé \(-a\) | Valeur absolue \(|a|\) |
|---|---|---|
| \(+9\) | \(\boxed{-9}\) | \(\boxed{9}\) |
| \(-3{,}5\) | \(\boxed{+3{,}5}\) | \(\boxed{3{,}5}\) |
| \(0\) | \(\boxed{0}\) | \(\boxed{0}\) |
| \(-\dfrac{7}{2}\) | \(\boxed{+\dfrac{7}{2}}\) | \(\boxed{\dfrac{7}{2}}\) |
📝 Exercice 2 :
Comparer les nombres suivants (utiliser \( < \) ou \( > \)) :
\[
a)\; -5 \quad \ldots \quad +2
\qquad
b)\; -3 \quad \ldots \quad -8
\qquad
c)\; +6{,}1 \quad \ldots \quad +6{,}09
\]
\[
d)\; -0{,}7 \quad \ldots \quad -0{,}3
\qquad
e)\; -100 \quad \ldots \quad +0{,}01
\qquad
f)\; -\frac{5}{2} \quad \ldots \quad -\frac{7}{3}
\]
✔ Solution :
a) Négatif vs Positif :
\[\boxed{-5 < +2}\]
b) Deux négatifs : \(|-3|=3\) et \(|-8|=8\). Puisque \(3 < 8\), on inverse :
\[\boxed{-3 > -8}\]
c) Deux positifs : on compare directement :
\[6{,}1 > 6{,}09 \implies \boxed{+6{,}1 > +6{,}09}\]
d) Deux négatifs : \(|-0{,}7|=0{,}7\) et \(|-0{,}3|=0{,}3\). Puisque \(0{,}7 > 0{,}3\), on inverse :
\[\boxed{-0{,}7 < -0{,}3}\]
e) Négatif vs Positif :
\[\boxed{-100 < +0{,}01}\]
f) Deux négatifs : \(\left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) et \(\left|-\dfrac{7}{3}\right| = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\).Puisque \(2{,}5 > 2{,}33\), on inverse : \[\boxed{-\frac{5}{2} < -\frac{7}{3}}\]
📝 Exercice 3 :
Ranger dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant :
\[
-4 \;;\; +7 \;;\; -1{,}5 \;;\; 0 \;;\; +3{,}2 \;;\; -6 \;;\; +0{,}8
\]
✔ Solution :
Ordre croissant :
\[
\boxed{-6 < -4 < -1{,}5 < 0 < +0{,}8 < +3{,}2 < +7}
\]
Ordre décroissant :
\[
\boxed{+7 > +3{,}2 > +0{,}8 > 0 > -1{,}5 > -4 > -6}
\]
📝 Exercice 4 :
Encadrer chaque nombre par deux entiers relatifs consécutifs :
\[
a)\; -3{,}7 \qquad b)\; +5{,}02 \qquad c)\; -0{,}4 \qquad d)\; +11{,}9
\]
✔ Solution :
\[
a)\; \boxed{-4 < -3{,}7 < -3}
\]
\[
b)\; \boxed{+5 < +5{,}02 < +6}
\]
\[
c)\; \boxed{-1 < -0{,}4 < 0}
\]
\[
d)\; \boxed{+11 < +11{,}9 < +12}
\]
📝 Exercice 5 :
Déterminer tous les nombres entiers relatifs \(x\) tels que :
\[
-3 \leqslant x \leqslant +2
\]
✔ Solution :
On cherche les entiers entre \(-3\) et \(+2\) (inclus) :
\[
\boxed{x \in \{-3\;;\;-2\;;\;-1\;;\;0\;;\;+1\;;\;+2\}}
\]
XII
ملخّص شامل للدرس
Résumé complet de la leçon| المفهوم / Concept | التعريف أو الخاصية |
|---|---|
| عدد نسبي Nombre relatif |
إشارة (\(+\) أو \(-\)) + جزء عددي |
| فاصلة نقطة Abscisse |
العدد النسبي الموافق لنقطة على مستقيم مدرّج |
| عددان متقابلان Nombres opposés |
\(a\) و \(-a\) ؛ \(a+(-a)=0\) |
| القيمة المطلقة Valeur absolue |
\(|a| =\) المسافة بين \(a\) و \(0\) ؛ \(|a| \geqslant 0\) |
| مقارنة Comparaison |
موجب \(>\) سالب ؛ سالبان: الأكبر قيمةً مطلقة هو الأصغر |
| تأطير Encadrement |
\(a < x < b\) : \(x\) محصور بين \(a\) و \(b\) |
Commentaires
Publier un commentaire