Les Nombres relatifs : Produit et Quotient

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Les Nombres Relatifs - Produit et Quotient

Les Nombres Relatifs

Produit et Quotient
Multiplication et Division des nombres relatifs

1 Rappels : Addition et Soustraction

Règle des signes (addition) :
• Mêmes signes : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun.
• Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du plus grand.
Exemples :
\((+5) + (+3) = +8\)
\((-4) + (-2) = -6\)
\((+7) + (-3) = +4\)
\((-5) + (+2) = -3\)

2 Produit de deux nombres relatifs

Règle des signes

Le produit de deux nombres relatifs est :
• Positif (+) si les deux nombres ont le même signe
• Négatif (-) si les deux nombres ont des signes contraires
\((+) \times (+) = (+)\)
\((-) \times (-) = (+)\)
\((+) \times (-) = (-)\)
\((-) \times (+) = (-)\)

Méthode de calcul

Étapes :
  1. On détermine le signe du résultat (règle des signes)
  2. On multiplie les distances à zéro (valeurs absolues)
Exemples :
\((-4) \times (+3) = -(4 \times 3) = -12\) (signes contraires → négatif)
\((-5) \times (-2) = +(5 \times 2) = +10\) (mêmes signes → positif)
\((+6) \times (+4) = +24\)
\((+7) \times (-3) = -21\)
\((-a) \times (-b) = +(a \times b)\)
\((-a) \times (+b) = -(a \times b)\)

3 Produit de plusieurs facteurs

Propriété : Le produit de plusieurs nombres relatifs est :
  • Positif s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs
  • Négatif s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs
Exemples :
\(A = (-2) \times (-3) \times (-4)\)
Il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair) donc \(A\) est négatif.
\(A = -(2 \times 3 \times 4) = -24\)

\(B = (-1) \times (-2) \times (+3) \times (-5) \times (-2)\)
Il y a 4 facteurs négatifs (nombre pair) donc \(B\) est positif.
\(B = +(1 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2) = +60\)
Astuce : On peut regrouper les signes moins deux par deux. Chaque paire donne un plus.

4 Quotient de deux nombres relatifs

Définition : Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
Le quotient de \(a\) par \(b\) (avec \(b \neq 0\)) est le nombre \(q\) tel que : \(b \times q = a\)

Règle des signes

La règle des signes pour le quotient est identique à celle du produit :
• Mêmes signes → résultat positif
• Signes contraires → résultat négatif
\((+) : (+) = (+)\)
\((-) : (-) = (+)\)
\((+) : (-) = (-)\)
\((-) : (+) = (-)\)
Exemples :
\((-15) : (+3) = -5\) car \((+3) \times (-5) = -15\)
\((-20) : (-4) = +5\) car \((-4) \times (+5) = -20\)
\((+24) : (-6) = -4\)
\((-30) : (-5) = +6\)
\(\frac{-a}{-b} = +\frac{a}{b}\)
\(\frac{-a}{+b} = -\frac{a}{b}\)

5 Inverse et Opposé

L'opposé

Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.

\(a + (-a) = 0\)
Opposé de \(5\) est \(-5\)
Opposé de \(-3\) est \(+3\)

L'inverse

Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

\(a \times \frac{1}{a} = 1\) (avec \(a \neq 0\))
Inverse de \(5\) est \(\frac{1}{5}\)
Inverse de \(-2\) est \(-\frac{1}{2}\)
Attention : Ne pas confondre !
• \(-5\) est l'opposé de \(5\) (signe changé)
• \(\frac{1}{5}\) est l'inverse de \(5\) (fraction inversée)

6 Calculs avec des fractions

Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

Division par une fraction

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :
\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)
Exemples avec signes :
\(A = (-\frac{2}{3}) \times (+\frac{5}{4}) = -\frac{2 \times 5}{3 \times 4} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}\)

\(B = (-\frac{3}{4}) : (-\frac{2}{5}) = (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{5}{2}) = +\frac{15}{8}\)

7 Priorités opératoires

Ordre des opérations :
  1. Les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
  2. Les multiplications et divisions (de gauche à droite)
  3. Les additions et soustractions (de gauche à droite)
Exemple : Calculer \(A = (-3) + (-4) \times (+2)\)
On effectue d'abord la multiplication : \((-4) \times (+2) = -8\)
Puis l'addition : \((-3) + (-8) = -11\)
Donc \(A = -11\)
Exemple avec parenthèses :
\(B = (-5) \times [(-2) + (-3) \times (+4)]\)
= \((-5) \times [(-2) + (-12)]\) (multiplication à l'intérieur)
= \((-5) \times [-14]\) (addition dans la parenthèse)
= \(+70\) (multiplication finale : négatif × négatif = positif)

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