Les Nombres relatifs : Produit et Quotient

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جدول المحتويات
    Les Nombres Relatifs - Produit et Quotient

    Les Nombres Relatifs

    Produit et Quotient
    Multiplication et Division des nombres relatifs

    1 Rappels : Addition et Soustraction

    Règle des signes (addition) :
    • Mêmes signes : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun.
    • Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du plus grand.
    Exemples :
    \((+5) + (+3) = +8\)
    \((-4) + (-2) = -6\)
    \((+7) + (-3) = +4\)
    \((-5) + (+2) = -3\)

    2 Produit de deux nombres relatifs

    Règle des signes

    Le produit de deux nombres relatifs est :
    • Positif (+) si les deux nombres ont le même signe
    • Négatif (-) si les deux nombres ont des signes contraires
    \((+) \times (+) = (+)\)
    \((-) \times (-) = (+)\)
    \((+) \times (-) = (-)\)
    \((-) \times (+) = (-)\)

    Méthode de calcul

    Étapes :
    1. On détermine le signe du résultat (règle des signes)
    2. On multiplie les distances à zéro (valeurs absolues)
    Exemples :
    \((-4) \times (+3) = -(4 \times 3) = -12\) (signes contraires → négatif)
    \((-5) \times (-2) = +(5 \times 2) = +10\) (mêmes signes → positif)
    \((+6) \times (+4) = +24\)
    \((+7) \times (-3) = -21\)
    \((-a) \times (-b) = +(a \times b)\)
    \((-a) \times (+b) = -(a \times b)\)

    3 Produit de plusieurs facteurs

    Propriété : Le produit de plusieurs nombres relatifs est :
    • Positif s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs
    • Négatif s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs
    Exemples :
    \(A = (-2) \times (-3) \times (-4)\)
    Il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair) donc \(A\) est négatif.
    \(A = -(2 \times 3 \times 4) = -24\)

    \(B = (-1) \times (-2) \times (+3) \times (-5) \times (-2)\)
    Il y a 4 facteurs négatifs (nombre pair) donc \(B\) est positif.
    \(B = +(1 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2) = +60\)
    Astuce : On peut regrouper les signes moins deux par deux. Chaque paire donne un plus.

    4 Quotient de deux nombres relatifs

    Définition : Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
    Le quotient de \(a\) par \(b\) (avec \(b \neq 0\)) est le nombre \(q\) tel que : \(b \times q = a\)

    Règle des signes

    La règle des signes pour le quotient est identique à celle du produit :
    • Mêmes signes → résultat positif
    • Signes contraires → résultat négatif
    \((+) : (+) = (+)\)
    \((-) : (-) = (+)\)
    \((+) : (-) = (-)\)
    \((-) : (+) = (-)\)
    Exemples :
    \((-15) : (+3) = -5\) car \((+3) \times (-5) = -15\)
    \((-20) : (-4) = +5\) car \((-4) \times (+5) = -20\)
    \((+24) : (-6) = -4\)
    \((-30) : (-5) = +6\)
    \(\frac{-a}{-b} = +\frac{a}{b}\)
    \(\frac{-a}{+b} = -\frac{a}{b}\)

    5 Inverse et Opposé

    L'opposé

    Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.

    \(a + (-a) = 0\)
    Opposé de \(5\) est \(-5\)
    Opposé de \(-3\) est \(+3\)

    L'inverse

    Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

    \(a \times \frac{1}{a} = 1\) (avec \(a \neq 0\))
    Inverse de \(5\) est \(\frac{1}{5}\)
    Inverse de \(-2\) est \(-\frac{1}{2}\)
    Attention : Ne pas confondre !
    • \(-5\) est l'opposé de \(5\) (signe changé)
    • \(\frac{1}{5}\) est l'inverse de \(5\) (fraction inversée)

    6 Calculs avec des fractions

    Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
    \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

    Division par une fraction

    Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :
    \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)
    Exemples avec signes :
    \(A = (-\frac{2}{3}) \times (+\frac{5}{4}) = -\frac{2 \times 5}{3 \times 4} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}\)

    \(B = (-\frac{3}{4}) : (-\frac{2}{5}) = (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{5}{2}) = +\frac{15}{8}\)

    7 Priorités opératoires

    Ordre des opérations :
    1. Les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
    2. Les multiplications et divisions (de gauche à droite)
    3. Les additions et soustractions (de gauche à droite)
    Exemple : Calculer \(A = (-3) + (-4) \times (+2)\)
    On effectue d'abord la multiplication : \((-4) \times (+2) = -8\)
    Puis l'addition : \((-3) + (-8) = -11\)
    Donc \(A = -11\)
    Exemple avec parenthèses :
    \(B = (-5) \times [(-2) + (-3) \times (+4)]\)
    = \((-5) \times [(-2) + (-12)]\) (multiplication à l'intérieur)
    = \((-5) \times [-14]\) (addition dans la parenthèse)
    = \(+70\) (multiplication finale : négatif × négatif = positif)

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