Les Puissances
Calculs et propriétés des puissances
Nombres entiers, relatifs et notation scientifique
1 Définition
Soit \(a\) un nombre et \(n\) un entier positif non nul.
La puissance n-ième de \(a\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\).
La puissance n-ième de \(a\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\).
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}\)
Vocabulaire :
• \(a^n\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) »
• \(a\) est la base
• \(n\) est l'exposant
• \(a^n\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) »
• \(a\) est la base
• \(n\) est l'exposant
Exemples :
\(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\)
\(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\)
Cas particuliers :
• \(a^1 = a\)
• \(a^2\) se lit « \(a\) au carré »
• \(a^3\) se lit « \(a\) au cube »
• \(a^1 = a\)
• \(a^2\) se lit « \(a\) au carré »
• \(a^3\) se lit « \(a\) au cube »
2 Signe d'une puissance
Puissance d'un nombre positif
Si \(a > 0\), alors \(a^n > 0\) pour tout entier \(n\).
Un nombre positif élevé à une puissance quelconque est toujours positif.
Un nombre positif élevé à une puissance quelconque est toujours positif.
Puissance d'un nombre négatif
Si \(a < 0\) :
• Si \(n\) est pair, alors \(a^n > 0\) (résultat positif)
• Si \(n\) est impair, alors \(a^n < 0\) (résultat négatif)
• Si \(n\) est pair, alors \(a^n > 0\) (résultat positif)
• Si \(n\) est impair, alors \(a^n < 0\) (résultat négatif)
| Calcul | Exposant | Résultat | Signe |
|---|---|---|---|
| \((-2)^4\) | 4 (pair) | \(+16\) | Positif |
| \((-2)^3\) | 3 (impair) | \(-8\) | Négatif |
| \((-3)^2\) | 2 (pair) | \(+9\) | Positif |
| \((-3)^5\) | 5 (impair) | \(-243\) | Négatif |
Attention : Ne pas confondre \((-a)^n\) et \(-a^n\) !
• \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) (la base est \(-3\))
• \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\) (on élève 3 au carré, puis on prend l'opposé)
• \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) (la base est \(-3\))
• \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\) (on élève 3 au carré, puis on prend l'opposé)
3 Règles de calcul
Produit de puissances de même base
\(a^n \times a^m = a^{n+m}\)
Exemple : \(2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\)
On conserve la base et on additionne les exposants.
On conserve la base et on additionne les exposants.
Quotient de puissances de même base
\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) (avec \(a \neq 0\))
Exemple : \(\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125\)
On conserve la base et on soustrait les exposants.
On conserve la base et on soustrait les exposants.
Puissance d'une puissance
\((a^n)^m = a^{n \times m}\)
Exemple : \((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096\)
On conserve la base et on multiplie les exposants.
On conserve la base et on multiplie les exposants.
Produit de puissances de même exposant
\(a^n \times b^n = (a \times b)^n\)
Exemple : \(2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000\)
Quotient de puissances de même exposant
\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\) (avec \(b \neq 0\))
Exemple : \(\frac{6^4}{3^4} = \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16\)
4 Exposants particuliers
Puissance d'exposant 0
Pour tout nombre \(a\) non nul : \(a^0 = 1\)
Exemples : \(5^0 = 1\), \((-3)^0 = 1\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1\)
Par convention, \(0^0\) n'est pas défini.
Par convention, \(0^0\) n'est pas défini.
Puissance d'exposant négatif
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (avec \(a \neq 0\))
Une puissance d'exposant négatif est égale à l'inverse de la puissance d'exposant positif.
Exemples :
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
\(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3}\) (l'inverse de \(\frac{3}{4}\))
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
\(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3}\) (l'inverse de \(\frac{3}{4}\))
5 Notation scientifique
La notation scientifique d'un nombre décimal est son écriture sous la forme :
\(a \times 10^n\)
où \(1 \leq a < 10\) et \(n\) est un entier relatif.
Pour écrire en notation scientifique :
- Placer la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10
- Compter le nombre de déplacements de la virgule pour trouver \(n\)
- Déplacement vers la gauche → \(n\) positif
- Déplacement vers la droite → \(n\) négatif
| Nombre | Notation scientifique | Décomposition |
|---|---|---|
| \(3400\) | \(3,4 \times 10^3\) | \(3,4 \times 1000\) |
| \(0,0056\) | \(5,6 \times 10^{-3}\) | \(5,6 \times 0,001\) |
| \(125 000 000\) | \(1,25 \times 10^8\) | \(1,25 \times 100 000 000\) |
| \(0,0000012\) | \(1,2 \times 10^{-6}\) | \(1,2 \times 0,000001\) |
Opérations en notation scientifique
Multiplication :
\((3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = (3 \times 2) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^9\)
\((3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = (3 \times 2) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^9\)
Division :
\(\frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^3} = \frac{8}{4} \times 10^{7-3} = 2 \times 10^4\)
\(\frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^3} = \frac{8}{4} \times 10^{7-3} = 2 \times 10^4\)
6 Comparaison de puissances
Puissances de 10
Si \(n < m\), alors \(10^n < 10^m\)
\(10^3 < 10^5\) car \(1000 < 100000\)
\(10^{-2} > 10^{-4}\) car \(0,01 > 0,0001\)
\(10^{-2} > 10^{-4}\) car \(0,01 > 0,0001\)
Même base > 1
Si \(a > 1\) et \(n < m\), alors \(a^n < a^m\)
\(2^3 < 2^5\) car \(8 < 32\)
La fonction est croissante.
La fonction est croissante.
Attention : Si \(0 < a < 1\), l'ordre est inversé !
Exemple : \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5\) car \(\frac{1}{8} > \frac{1}{32}\)
Exemple : \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5\) car \(\frac{1}{8} > \frac{1}{32}\)
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