🔷 Prismes et Cylindres 🔷
Prisme droit et Cylindre de révolution - Niveau 1AC
📚 Cours : Prismes et Cylindres
Prisme droit : Solide géométrique à base polygonale (triangle, rectangle, etc.) où les faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases.
Cylindre de révolution : Solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. Les bases sont des disques.
🧮 Formules Importantes
📋 Tableau Comparatif
| Propriété | Prisme Droit | Cylindre de Révolution |
|---|---|---|
| Forme des bases | Polygone (triangle, carré...) | Disque (cercle) |
| Faces latérales | Rectangles | Surface courbe (développable en rectangle) |
| Nombre d'arêtes | 3n (où n = nombre de côtés) | Infini (surface courbe) |
| Nombre de sommets | 2n | Aucun |
| Hauteur | Distance entre les deux bases | Distance entre les deux bases |
📐 Patrons (Développements)
🔷 Patron du Prisme
Le patron se compose de :
- 2 bases identiques (polygones)
- Rectangles latéraux attachés aux côtés des bases
Exemple : Un prisme à base triangulaire a 2 triangles et 3 rectangles.
🥫 Patron du Cylindre
Le patron se compose de :
- 2 disques (les bases)
- 1 rectangle (surface latérale)
Dimension du rectangle :
• Hauteur = hauteur du cylindre
• Longueur = périmètre du disque = 2πr
💡 Méthodes de Calcul
Volume = π × 3² × 5 = 45π ≈ 141,37 cm³
Aire latérale = 2 × π × 3 × 5 = 30π ≈ 94,25 cm²
📐 Prisme Droit Interactif
📝 Calculs détaillés :
Volume = 12 × 5 = 60 cm³
Périmètre base = 2×(4+3) = 14 cm
Aire latérale = 14 × 5 = 70 cm²
Aire totale = 70 + 2×12 = 94 cm²
🥫 Cylindre de Révolution Interactif
📝 Développement du cylindre
Rectangle latéral :
• Longueur = 2πr = 18,84 cm
• Hauteur = h = 6 cm
2 Disques : rayon r = 3 cm
🔍 Observations
• Si h = 2r (cylindre équilatéral), l'aire latérale égale 4 fois l'aire de la base.
• Pour un volume donné, le cylindre le plus économe en matière (aire minimale) a h = 2r.
✏️ Exercices avec Correction
Un prisme droit a pour base un rectangle de 5 cm sur 3 cm. Sa hauteur est de 8 cm.
a) Calculez le volume du prisme.
b) Calculez l'aire totale de ce prisme.
a) Volume = Aire base × h = (5 × 3) × 8 = 15 × 8 = 120 cm³
b) Aire latérale = Périmètre × h = 2×(5+3) × 8 = 16 × 8 = 128 cm²
Aire totale = 128 + 2×15 = 128 + 30 = 158 cm²
Un cylindre de révolution a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.
Calculez son volume (utilisez π ≈ 3,14).
Volume = π × r² × h = 3,14 × 4² × 10 = 3,14 × 16 × 10 = 3,14 × 160 = 502,4 cm³
(Réponse acceptable : 160π cm³)
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de 6 cm et 8 cm (côtés de l'angle droit). La hauteur du prisme est de 12 cm.
Calculez l'aire latérale de ce prisme.
Il faut d'abord trouver l'hypoténuse du triangle :
h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc h = 10 cm
Périmètre du triangle = 6 + 8 + 10 = 24 cm
Aire latérale = Périmètre × hauteur = 24 × 12 = 288 cm²
Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de 7 cm et une hauteur de 11 cm.
a) Quel est le volume de cette boîte (en cm³) ? (π ≈ 22/7)
b) Quelle est l'aire de l'étiquette qui entoure la boîte (sans les bases) ?
Rayon r = 7/2 = 3,5 cm
a) Volume = π × r² × h = (22/7) × 3,5² × 11 = (22/7) × 12,25 × 11
= 22 × 1,75 × 11 = 38,5 × 11 = 423,5 cm³
b) Aire étiquette = Aire latérale = 2 × π × r × h
= 2 × (22/7) × 3,5 × 11 = 2 × 22 × 0,5 × 11 = 242 cm²
Un prisme droit à base carrée et un cylindre ont le même volume.
Le côté du carré mesure 4 cm et la hauteur du prisme est 9 cm.
Si le cylindre a la même hauteur (9 cm), quel est son rayon ? (π ≈ 3,14)
Volume du prisme = côté² × h = 4² × 9 = 16 × 9 = 144 cm³
Volume du cylindre = π × r² × h = 144
3,14 × r² × 9 = 144
r² = 144 / (3,14 × 9) = 144 / 28,26 ≈ 5,096
r = √5,096 ≈ 2,26 cm (ou environ 2,3 cm)
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