Quadrilatères particuliers

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Quadrilatères Particuliers

Quadrilatères Particuliers

Rectangle, Losange et Carré
Cas particuliers du parallélogramme

1 Introduction

Le parallélogramme possède des cas particuliers qui vérifient des propriétés supplémentaires :
  • Le Rectangle : parallélogramme avec des angles droits
  • Le Losange : parallélogramme avec des côtés égaux
  • Le Carré : parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange
Parallélogramme
▼
Rectangle
Losange
▼
Carré

2 Le Rectangle

Définition : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit (et donc quatre angles droits).
Propriétés du rectangle :
  1. C'est un parallélogramme (donc propriétés de base : côtés opposés parallèles et égaux, diagonales se coupent en leur milieu...)
  2. Les quatre angles sont droits (\(90°\))
  3. Les diagonales sont de même longueur : \(AC = BD\)
  4. Les diagonales se coupent en leur milieu \(O\) (centre du rectangle)

Symétries

Centre de symétrie

Le point d'intersection des diagonales \(O\).

\(S_O(A) = C\) et \(S_O(B) = D\)

Axes de symétrie

Deux axes : les médiatrices des côtés (les lignes reliant les milieux des côtés opposés).

Comment reconnaître un rectangle ?

Un quadrilatère est un rectangle si :
  • C'est un parallélogramme avec un angle droit, ou
  • C'est un parallélogramme avec des diagonales de même longueur, ou
  • Ses quatre angles sont droits, ou
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Aire du rectangle : \(\mathcal{A} = L \times l\)
(Longueur \(\times\) Largeur)

3 Le Losange

Définition : Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (et donc quatre côtés de même longueur).
Propriétés du losange :
  1. C'est un parallélogramme
  2. Les quatre côtés sont de même longueur : \(AB = BC = CD = DA\)
  3. Les diagonales sont perpendiculaires : \((AC) \perp (BD)\)
  4. Les diagonales sont aussi des bissectrices des angles (elles partagent les angles en deux)
  5. Les diagonales se coupent en leur milieu \(O\)

Symétries

Centre de symétrie

Le point d'intersection des diagonales \(O\).

Axes de symétrie

Deux axes : les diagonales elles-mêmes !

Contrairement au rectangle, ce sont les diagonales qui sont les axes.

Comment reconnaître un losange ?

Un quadrilatère est un losange si :
  • C'est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux, ou
  • C'est un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires, ou
  • Ses quatre côtés sont de même longueur, ou
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Aire du losange : \(\mathcal{A} = \frac{d_1 \times d_2}{2}\)
(Produit des diagonaux divisé par 2)

4 Le Carré

Définition : Un carré est un parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange.
Propriétés du carré : Il hérite de toutes les propriétés !
  • 4 côtés égaux (propriété du losange)
  • 4 angles droits (propriété du rectangle)
  • Diagonales de même longueur (rectangle)
  • Diagonales perpendiculaires (losange)
  • Diagonales qui se coupent en leur milieu (parallélogramme)
  • Diagonales qui sont des bissectrices (losange)

Symétries

Centre de symétrie

Le point d'intersection des diagonales (comme tous les parallélogrammes).

Axes de symétrie

Quatre axes !

  • Les deux diagonales
  • Les deux médiatrices des côtés

Comment reconnaître un carré ?

Un quadrilatère est un carré s'il vérifie l'une des conditions :
  • C'est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux, ou
  • C'est un losange avec un angle droit, ou
  • C'est un parallélogramme avec un angle droit et des diagonales perpendiculaires, ou
  • 4 côtés égaux et 4 angles droits.
Aire du carré : \(\mathcal{A} = c^2\) ou \(\mathcal{A} = \frac{d^2}{2}\)
(où \(c\) est le côté et \(d\) la diagonale)

5 Tableau récapitulatif

Propriété Parallélogramme Rectangle Losange Carré
Côtés opposés // ✓ ✓ ✓ ✓
Côtés opposés = ✓ ✓ ✓ (tous 4) ✓ (tous 4)
Angles opposés = ✓ ✓ (tous 90°) ✓ ✓ (tous 90°)
Diagonales se coupent en leur milieu ✓ ✓ ✓ ✓
Diagonales de même longueur ✗ ✓ ✗ ✓
Diagonales perpendiculaires ✗ ✗ ✓ ✓
Diagonales bissectrices ✗ ✗ ✓ ✓
Axes de symétrie 0 2 2 4

6 Formules de périmètre et d'aire

Rectangle

Périmètre : \(P = 2(L + l)\)

Aire : \(\mathcal{A} = L \times l\)

Losange

Périmètre : \(P = 4c\)

Aire : \(\mathcal{A} = \frac{d_1 \times d_2}{2}\)
ou base \(\times\) hauteur

Carré

Périmètre : \(P = 4c\)

Aire : \(\mathcal{A} = c^2 = \frac{d^2}{2}\)

Quadrilatères Particuliers - Rectangle, Losange, Carré | Bilan des Apprentissages

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