Quadrilatères Particuliers
Rectangle, Losange et Carré
Cas particuliers du parallélogramme
1 Introduction
Le parallélogramme possède des cas particuliers qui vérifient des propriétés supplémentaires :
- Le Rectangle : parallélogramme avec des angles droits
- Le Losange : parallélogramme avec des côtés égaux
- Le Carré : parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange
Parallélogramme
▼
Rectangle
Losange
▼
Carré
2 Le Rectangle
Définition : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit (et donc quatre angles droits).
Propriétés du rectangle :
- C'est un parallélogramme (donc propriétés de base : côtés opposés parallèles et égaux, diagonales se coupent en leur milieu...)
- Les quatre angles sont droits (\(90°\))
- Les diagonales sont de même longueur : \(AC = BD\)
- Les diagonales se coupent en leur milieu \(O\) (centre du rectangle)
Symétries
Centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales \(O\).
\(S_O(A) = C\) et \(S_O(B) = D\)
Axes de symétrie
Deux axes : les médiatrices des côtés (les lignes reliant les milieux des côtés opposés).
Comment reconnaître un rectangle ?
Un quadrilatère est un rectangle si :
- C'est un parallélogramme avec un angle droit, ou
- C'est un parallélogramme avec des diagonales de même longueur, ou
- Ses quatre angles sont droits, ou
- Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Aire du rectangle : \(\mathcal{A} = L \times l\)
(Longueur \(\times\) Largeur)
(Longueur \(\times\) Largeur)
3 Le Losange
Définition : Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (et donc quatre côtés de même longueur).
Propriétés du losange :
- C'est un parallélogramme
- Les quatre côtés sont de même longueur : \(AB = BC = CD = DA\)
- Les diagonales sont perpendiculaires : \((AC) \perp (BD)\)
- Les diagonales sont aussi des bissectrices des angles (elles partagent les angles en deux)
- Les diagonales se coupent en leur milieu \(O\)
Symétries
Centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales \(O\).
Axes de symétrie
Deux axes : les diagonales elles-mêmes !
Contrairement au rectangle, ce sont les diagonales qui sont les axes.
Comment reconnaître un losange ?
Un quadrilatère est un losange si :
- C'est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux, ou
- C'est un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires, ou
- Ses quatre côtés sont de même longueur, ou
- Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Aire du losange : \(\mathcal{A} = \frac{d_1 \times d_2}{2}\)
(Produit des diagonaux divisé par 2)
(Produit des diagonaux divisé par 2)
4 Le Carré
Définition : Un carré est un parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange.
Propriétés du carré : Il hérite de toutes les propriétés !
- 4 côtés égaux (propriété du losange)
- 4 angles droits (propriété du rectangle)
- Diagonales de même longueur (rectangle)
- Diagonales perpendiculaires (losange)
- Diagonales qui se coupent en leur milieu (parallélogramme)
- Diagonales qui sont des bissectrices (losange)
Symétries
Centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales (comme tous les parallélogrammes).
Axes de symétrie
Quatre axes !
- Les deux diagonales
- Les deux médiatrices des côtés
Comment reconnaître un carré ?
Un quadrilatère est un carré s'il vérifie l'une des conditions :
- C'est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux, ou
- C'est un losange avec un angle droit, ou
- C'est un parallélogramme avec un angle droit et des diagonales perpendiculaires, ou
- 4 côtés égaux et 4 angles droits.
Aire du carré : \(\mathcal{A} = c^2\) ou \(\mathcal{A} = \frac{d^2}{2}\)
(où \(c\) est le côté et \(d\) la diagonale)
(où \(c\) est le côté et \(d\) la diagonale)
5 Tableau récapitulatif
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|---|
| Côtés opposés // | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Côtés opposés = | ✓ | ✓ | ✓ (tous 4) | ✓ (tous 4) |
| Angles opposés = | ✓ | ✓ (tous 90°) | ✓ | ✓ (tous 90°) |
| Diagonales se coupent en leur milieu | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Diagonales de même longueur | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| Diagonales perpendiculaires | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| Diagonales bissectrices | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| Axes de symétrie | 0 | 2 | 2 | 4 |
6 Formules de périmètre et d'aire
Rectangle
Périmètre : \(P = 2(L + l)\)
Aire : \(\mathcal{A} = L \times l\)
Losange
Périmètre : \(P = 4c\)
Aire : \(\mathcal{A} = \frac{d_1 \times d_2}{2}\)
ou base \(\times\) hauteur
Carré
Périmètre : \(P = 4c\)
Aire : \(\mathcal{A} = c^2 = \frac{d^2}{2}\)
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