Symétrie centrale

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Symétrie Centrale

Symétrie Centrale

Transformations du plan
Symétrie par rapport à un point

1 Définition

Définition : Soit \(O\) un point du plan. La symétrie centrale de centre \(O\) est la transformation qui associe à chaque point \(M\) du plan le point \(M'\) tel que :
\(O\) est le milieu du segment \([MM']\)

Notation

On note : \(S_O(M) = M'\) ou \(M' = S_O(M)\)

Se lit : « \(M'\) est l'image de \(M\) par la symétrie centrale de centre \(O\) »

Conséquence immédiate :
  • \(O\) est le milieu de \([MM']\) signifie que \(OM = OM'\) et que \(M\), \(O\), \(M'\) sont alignés.
  • Les points \(M\), \(O\) et \(M'\) sont alignés.
  • \(OM = OM'\) (même distance).
Remarque : Le point \(O\) est son propre image par la symétrie centrale de centre \(O\) (\(S_O(O) = O\)). On dit que \(O\) est un point invariant.

2 Propriétés de conservation

Conservation des distances

La symétrie centrale conserve les distances.
Si \(A'\) et \(B'\) sont les images de \(A\) et \(B\), alors \(A'B' = AB\).

Conservation des angles

La symétrie centrale conserve les mesures d'angles.
Un angle et son image ont la même mesure.

Conservation de l'alignement

Si trois points sont alignés, leurs images sont aussi alignées.
La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.

Conservation du milieu

La symétrie centrale conserve le milieu des segments.
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(I'\) (image de \(I\)) est le milieu de \([A'B']\).

3 Construction de l'image d'un point

Protocole de construction : Pour construire l'image \(M'\) d'un point \(M\) par la symétrie centrale de centre \(O\) :
  1. Tracer la demi-droite \([MO)\).
  2. Reporter la longueur \(OM\) de l'autre côté de \(O\).
  3. Placer \(M'\) tel que \(OM' = OM\) et que \(M\), \(O\), \(M'\) soient alignés.
Méthode pratique : On utilise la règle et le compas ou simplement la règle graduée en reportant la même distance de part et d'autre du centre \(O\).

4 Images des figures

Image d'un segment

L'image d'un segment \([AB]\) par une symétrie centrale est un segment \([A'B']\) de même longueur.
\([A'B']\) est parallèle à \([AB]\).

Image d'une droite

L'image d'une droite \((d)\) par une symétrie centrale est une droite \((d')\) parallèle à \((d)\).
Si \((d)\) passe par le centre \(O\), alors \((d') = (d)\) (la droite est globalement invariante).

Image d'un cercle

L'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est un cercle de centre \(C'\) (image de \(C\)) et de même rayon \(r\).

Figure invariante

Une figure est invariante si elle est sa propre image.

Exemple : Le cercle de centre \(O\) est invariant par \(S_O\).

Centre de symétrie

Un point \(O\) est centre de symétrie d'une figure si cette figure est invariante par \(S_O\).

5 Symétrie centrale et parallélisme

Propriété fondamentale : La symétrie centrale conserve le parallélisme.
  • Si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.
  • Si deux droites sont perpendiculaires, leurs images sont perpendiculaires.
\((d_1) \parallel (d_2) \quad \Longrightarrow \quad (d_1') \parallel (d_2')\)
Application : Si \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\), alors \(S_O(A) = C\) et \(S_O(B) = D\).
Le centre d'un parallélogramme est son centre de symétrie.

6 Symétrie centrale et parallélogramme

Propriété caractéristique : Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Conséquence : Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Ce point est le milieu des deux diagonales.

Parallélogramme

Centre de symétrie : intersection des diagonales

\(S_O(A) = C\) et \(S_O(B) = D\)

Rectangle

Centre de symétrie : intersection des diagonales (milieu)

Deux axes de symétrie aussi (médiateurs)

Losange

Centre de symétrie : intersection des diagonales

Deux axes de symétrie aussi (diagonales)

Carré

Centre de symétrie : intersection des diagonales

Quatre axes de symétrie et rotation de 90°

7 Composition de symétries centrales

Symétries de même centre

\(S_O \circ S_O = \text{Identité}\)
Faire deux fois la même symétrie centrale ramène au point de départ.

Symétries de centres différents

Théorème : La composée de deux symétries centrales de centres \(O_1\) et \(O_2\) est une translation de vecteur \(\vec{O_1O_2}\) suivi de \(\vec{O_1O_2}\) (soit \(2\vec{O_1O_2}\)).
\(S_{O_2} \circ S_{O_1} = \text{Translation de vecteur } 2\vec{O_1O_2}\)
Conséquence : Si \(M'' = S_{O_2}(S_{O_1}(M))\), alors \(\vec{MM''} = 2\vec{O_1O_2}\).

8 Symétrie centrale et vecteurs

Propriété : La symétrie centrale conserve les vecteurs (à orientation près).
Si \(S_O(A) = A'\) et \(S_O(B) = B'\), alors :
\(\vec{A'B'} = -\vec{AB} = \vec{BA}\)
Interprétation : Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{A'B'}\) ont :
  • La même norme (longueur) : \(\|\vec{A'B'}\| = \|\vec{AB}\|\)
  • Des directions parallèles
  • Des sens contraires (d'où le signe \(-\))
Application : Dans un parallélogramme \(ABCD\) de centre \(O\) :
\(\vec{AB} = \vec{DC}\) et \(\vec{AD} = \vec{BC}\)
De plus, \(\vec{OA} = -\vec{OC}\) et \(\vec{OB} = -\vec{OD}\).

9 Méthodes de démonstration

Pour montrer que trois points sont alignés :
On peut montrer que l'un est le milieu du segment formé par les deux autres, ou utiliser la conservation de l'alignement par symétrie.
Pour montrer que deux droites sont parallèles :
On montre que l'une est l'image de l'autre par une symétrie centrale (ou translation).
Pour construire un parallélogramme :
On utilise le fait que les diagonales se coupent en leur milieu. Si on connaît trois sommets \(A\), \(B\), \(C\), le quatrième \(D\) est donné par \(D = S_O(B)\) où \(O\) est le milieu de \([AC]\).
Exercice type : Soit \(ABC\) un triangle et \(O\) un point. Construire \(A'B'C'\) image de \(ABC\) par \(S_O\).
Solution : Construire \(A'\), \(B'\), \(C'\) tels que \(O\) soit milieu de \([AA']\), \([BB']\), \([CC']\).

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