TABLEAU 1 · Séance 1 — Vocabulaire et arcs
🔵 Définition — Angle au centre
Dans un cercle de centre $O$, un angle dont le sommet est $O$ est un angle au centre. Ses côtés portent des rayons ; par exemple $\widehat{AOB}$.🔵 Définition — Angle inscrit
Un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en deux autres points. Si $A$, $M$, $B$ sont trois points distincts du cercle, $\widehat{AMB}$ est inscrit.🔴 Règle de repérage de l'arc intercepté
Les extrémités $A$ et $B$ déterminent deux arcs. L'angle inscrit $\widehat{AMB}$ intercepte l'arc d'extrémités $A$ et $B$ qui ne contient pas $M$.Toujours préciser le bon arc !
🟣 Notation
$$\widehat{AMB}:\quad \text{sommet } M,\quad \text{côtés } [MA) \text{ et } [MB).$$ La lettre du milieu désigne le sommet. On note $m(\mathcal{A})$ la mesure en degrés de l'arc choisi $\mathcal{A}$.🟠 Attention au vocabulaire
- Un point à l'intérieur du cercle n'est pas forcément son centre !
- Un angle de sommet intérieur différent de $O$ n'est ni inscrit ni au centre.
- La mesure d'un arc (en degrés) n'est pas sa longueur (en cm).
TABLEAU 2 · Séance 2 — Le théorème fondamental
🔵 Définition — Angles associés au même arc
Un angle inscrit et un angle au centre sont associés lorsqu'ils interceptent exactement le même arc $\mathcal{A}$.⭐ Théorème à retenir
La mesure d'un angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Elle est aussi la moitié de la mesure de cet arc. $$\text{angle inscrit} = \dfrac{m(\mathcal{A})}{2}, \qquad m(\mathcal{A}) = 2 \times \text{angle inscrit}.$$ Si l'angle au centre considéré est $\widehat{AOB}$ : $$\widehat{AMB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}.$$🟢 Exemple A — Du centre vers le cercle
L'arc intercepté mesure $124^\circ$. Donc $\widehat{AMB} = \dfrac{124^\circ}{2} = 62^\circ$.🟢 Exemple B — Du cercle vers le centre
Si un angle inscrit mesure $37^\circ$, son arc intercepté et l'angle au centre associé mesurent $2 \times 37^\circ = 74^\circ$.🟠 Petit arc, grand arc : éviter le piège
Si le petit arc $AB$ mesure $100^\circ$ et si $M$ est sur ce petit arc, alors $\widehat{AMB}$ intercepte le grand arc, de mesure $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.Ainsi $\widehat{AMB} = 130^\circ$, et non $50^\circ$.
TABLEAU 3 · Séance 3 — Même arc et diamètre
🔴 Propriété 1 — Même arc, même angle
Deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure. Pour deux sommets distincts $M$ et $N$, situés sur le même arc $AB$ : $$\widehat{AMB} = \widehat{ANB} = \dfrac{m(\mathcal{A})}{2}.$$🟢 Exemple
$M$ et $N$ sont du même côté de la corde $[AB]$, sur le cercle. Si $\widehat{AMB} = 48^\circ$, alors $\widehat{ANB} = 48^\circ$.🔴 Propriété 2 — Angle inscrit dans un demi-cercle
Si $[AB]$ est un diamètre et si $M$ appartient au cercle, distinct de $A$ et $B$, alors le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. $$\widehat{AMB} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$ Réciproquement, si $AMB$ est rectangle en $M$, alors $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.🟢 Exemple — Compléter un triangle
Si $[AB]$ est un diamètre et $\widehat{MAB} = 32^\circ$, alors $\widehat{AMB} = 90^\circ$, puis $\widehat{ABM} = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$.TABLEAU 4 · Séance 4 — Rédaction et problèmes
🔵 Définition — Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut $180^\circ$.Méthode de rédaction en 4 étapes
- Repérer le sommet : centre ou cercle ?
- Nommer les extrémités et l'arc intercepté.
- Citer la propriété avec ses conditions.
- Écrire le calcul et une phrase de conclusion.
Conséquence — Deux sommets sur des arcs opposés
Si $M$ et $N$ sont sur les deux arcs opposés d'extrémités $A$ et $B$, alors : $$\widehat{AMB} + \widehat{ANB} = \dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ.$$Exemple — Un jardin circulaire à Rabat
Deux entrées $A$ et $B$ délimitent un petit arc de $110^\circ$. Le visiteur $M$, sur le grand arc, voit les entrées sous un angle de $55^\circ$. Le visiteur $N$, sur le petit arc, les voit sous un angle de $\dfrac{360^\circ - 110^\circ}{2} = 125^\circ$.Vérification : $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$. ✓
✏️ 12 exercices progressifs
Dans tous les exercices, les points nommés sur un cercle sont distincts. Fais un schéma codé puis cherche sans ouvrir le corrigé.
Exercice 1 — Reconnaître le sommet Facile
Dans un cercle de centre $O$, les points $A$, $B$, $M$ sont sur le cercle. Le point $P$, intérieur au cercle, est différent de $O$. Classer $\widehat{AOB}$, $\widehat{AMB}$ et $\widehat{APB}$ : au centre, inscrit, ou ni l'un ni l'autre.
Dans un cercle de centre $O$, les points $A$, $B$, $M$ sont sur le cercle. Le point $P$, intérieur au cercle, est différent de $O$. Classer $\widehat{AOB}$, $\widehat{AMB}$ et $\widehat{APB}$ : au centre, inscrit, ou ni l'un ni l'autre.
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Le sommet de $\widehat{AOB}$ est le centre $O$ : angle au centre.
Le sommet $M$ est sur le cercle et les côtés passent par $A$, $B$ : angle inscrit.
$P$ n'est ni le centre ni sur le cercle : $\widehat{APB}$ n'est aucun des deux.
Le sommet $M$ est sur le cercle et les côtés passent par $A$, $B$ : angle inscrit.
$P$ n'est ni le centre ni sur le cercle : $\widehat{APB}$ n'est aucun des deux.
Exercice 2 — Du centre vers le cercle Facile
Le petit arc $AB$ mesure $96^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc $AB$. Calculer $\widehat{AMB}$.
Le petit arc $AB$ mesure $96^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc $AB$. Calculer $\widehat{AMB}$.
✅ Voir le corrigé
Le sommet $M$ n'appartient pas au petit arc : c'est donc ce petit arc qui est intercepté.
L'angle inscrit vaut la moitié de sa mesure : $$\boxed{\widehat{AMB} = \dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ}.$$
L'angle inscrit vaut la moitié de sa mesure : $$\boxed{\widehat{AMB} = \dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ}.$$
Exercice 3 — Du cercle vers l'arc Facile
$\widehat{AMB} = 34^\circ$ est inscrit. Calculer la mesure de l'arc intercepté, puis celle de l'angle au centre associé.
$\widehat{AMB} = 34^\circ$ est inscrit. Calculer la mesure de l'arc intercepté, puis celle de l'angle au centre associé.
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La mesure de l'arc est le double de celle de l'angle inscrit : $m(\mathcal{A}) = 2 \times 34^\circ = 68^\circ$.
L'angle au centre associé a cette même mesure : $\boxed{68^\circ}$.
L'angle au centre associé a cette même mesure : $\boxed{68^\circ}$.
Exercice 4 — Deux angles sur le même arc Facile
$M$ et $N$ sont sur le grand arc d'extrémités $A$, $B$. On donne $\widehat{AMB} = 57^\circ$. Calculer $\widehat{ANB}$ et la mesure du petit arc $AB$.
$M$ et $N$ sont sur le grand arc d'extrémités $A$, $B$. On donne $\widehat{AMB} = 57^\circ$. Calculer $\widehat{ANB}$ et la mesure du petit arc $AB$.
✅ Voir le corrigé
Les deux angles inscrits interceptent le même petit arc $AB$. Donc $\widehat{ANB} = 57^\circ$.
L'arc mesure le double : $2 \times 57^\circ = 114^\circ$.
L'arc mesure le double : $2 \times 57^\circ = 114^\circ$.
Exercice 5 — Le diamètre, un réflexe Facile
$[AB]$ est un diamètre d'un cercle et $C$ appartient au cercle. Calculer $\widehat{ACB}$ et préciser la nature de $ABC$.
$[AB]$ est un diamètre d'un cercle et $C$ appartient au cercle. Calculer $\widehat{ACB}$ et préciser la nature de $ABC$.
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L'angle $\widehat{ACB}$ intercepte un demi-cercle de mesure $180^\circ$.
Donc $\widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Donc $\widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Exercice 6 — Un triangle isocèle au centre Moyen
Le petit angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $132^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc $AB$. Calculer $\widehat{AMB}$, $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$.
Le petit angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $132^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc $AB$. Calculer $\widehat{AMB}$, $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$.
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Angle inscrit : $\widehat{AMB} = \dfrac{132^\circ}{2} = 66^\circ$.
$OA = OB$ car ce sont deux rayons. Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
Ses angles à la base sont égaux et leur somme vaut $180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.
Ainsi $\boxed{\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 24^\circ}$.
$OA = OB$ car ce sont deux rayons. Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
Ses angles à la base sont égaux et leur somme vaut $180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.
Ainsi $\boxed{\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 24^\circ}$.
Exercice 7 — Le sommet change d'arc Moyen
Le petit arc $AB$ mesure $140^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc et $N$ sur le petit arc. Calculer $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$, puis vérifier leur somme.
Le petit arc $AB$ mesure $140^\circ$. Le point $M$ est sur le grand arc et $N$ sur le petit arc. Calculer $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$, puis vérifier leur somme.
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$M$ intercepte le petit arc : $\widehat{AMB} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.
Mais $N$ intercepte le grand arc de mesure $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$, donc $\widehat{ANB} = 110^\circ$.
Leur somme est $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Ils sont supplémentaires, pas égaux.
Mais $N$ intercepte le grand arc de mesure $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$, donc $\widehat{ANB} = 110^\circ$.
Leur somme est $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Ils sont supplémentaires, pas égaux.
Exercice 8 — Compléter le triangle Moyen
$[AB]$ est un diamètre et $C$ appartient au cercle. On donne $\widehat{CAB} = 28^\circ$. Calculer $\widehat{ACB}$, $\widehat{ABC}$, puis la mesure de l'arc $AC$ qui ne contient pas $B$.
$[AB]$ est un diamètre et $C$ appartient au cercle. On donne $\widehat{CAB} = 28^\circ$. Calculer $\widehat{ACB}$, $\widehat{ABC}$, puis la mesure de l'arc $AC$ qui ne contient pas $B$.
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L'angle qui intercepte le diamètre est droit : $\widehat{ACB} = 90^\circ$.
Somme dans le triangle : $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
L'arc $AC$ ne contenant pas $B$ est intercepté par cet angle de $62^\circ$ : sa mesure vaut $2 \times 62^\circ = 124^\circ$.
Somme dans le triangle : $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
L'arc $AC$ ne contenant pas $B$ est intercepté par cet angle de $62^\circ$ : sa mesure vaut $2 \times 62^\circ = 124^\circ$.
Exercice 9 — Une équation d'angles Moyen
$M$ est sur le grand arc $AB$. L'angle au centre associé au petit arc vaut $(3x+18)^\circ$, et $\widehat{AMB} = (2x-6)^\circ$. Déterminer $x$, puis ces deux angles.
$M$ est sur le grand arc $AB$. L'angle au centre associé au petit arc vaut $(3x+18)^\circ$, et $\widehat{AMB} = (2x-6)^\circ$. Déterminer $x$, puis ces deux angles.
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Les angles interceptent le même arc, donc l'angle au centre est le double :
$$3x + 18 = 2(2x - 6) = 4x - 12.$$
Ainsi $x = 30$. L'angle inscrit vaut $(2 \times 30 - 6)^\circ = 54^\circ$ et l'angle au centre $(3 \times 30 + 18)^\circ = 108^\circ$.
Vérification : $108 = 2 \times 54$. ✓
Vérification : $108 = 2 \times 54$. ✓
Exercice 10 — Retrouver le cercle Moyen
Un triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et $\widehat{CAB} = 35^\circ$. On note $O$ le milieu de $[AB]$. Justifier que $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, puis calculer $\widehat{ABC}$ et le petit angle au centre $\widehat{BOC}$.
Un triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et $\widehat{CAB} = 35^\circ$. On note $O$ le milieu de $[AB]$. Justifier que $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, puis calculer $\widehat{ABC}$ et le petit angle au centre $\widehat{BOC}$.
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Par la réciproque de la propriété du diamètre, $ABC$ rectangle en $C$ implique que $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, de centre $O$.
$\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
L'angle $\widehat{BAC} = 35^\circ$ intercepte l'arc $BC$ ne contenant pas $A$, de mesure $70^\circ$. Ainsi $\widehat{BOC} = 70^\circ$.
$\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
L'angle $\widehat{BAC} = 35^\circ$ intercepte l'arc $BC$ ne contenant pas $A$, de mesure $70^\circ$. Ainsi $\widehat{BOC} = 70^\circ$.
Exercice 11 — Deux points de vue à Casablanca 🌴 Difficile
Une place est modélisée par un cercle. Les entrées $A$, $B$ et les points d'observation $M$, $N$ sont sur son bord. $M$ est sur le grand arc $AB$, $N$ sur le petit arc. L'angle $\widehat{ANB}$ est trois fois l'angle $\widehat{AMB}$.
a) Déterminer ces deux angles. b) Déterminer les mesures du petit et du grand arc. c) Un troisième visiteur $P$ est sur le grand arc : déterminer $\widehat{APB}$.
Une place est modélisée par un cercle. Les entrées $A$, $B$ et les points d'observation $M$, $N$ sont sur son bord. $M$ est sur le grand arc $AB$, $N$ sur le petit arc. L'angle $\widehat{ANB}$ est trois fois l'angle $\widehat{AMB}$.
a) Déterminer ces deux angles. b) Déterminer les mesures du petit et du grand arc. c) Un troisième visiteur $P$ est sur le grand arc : déterminer $\widehat{APB}$.
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a) Les sommets sont sur des arcs opposés : les angles sont supplémentaires. Posons $\alpha = \widehat{AMB}$. Alors $\alpha + 3\alpha = 180^\circ$, soit $\alpha = 45^\circ$. Ainsi $\widehat{ANB} = 135^\circ$.
b) Le petit arc, intercepté par $M$, mesure $2 \times 45^\circ = 90^\circ$. Le grand arc mesure $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.
c) $P$ et $M$ interceptent le même petit arc : $\widehat{APB} = 45^\circ$.
b) Le petit arc, intercepté par $M$, mesure $2 \times 45^\circ = 90^\circ$. Le grand arc mesure $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.
c) $P$ et $M$ interceptent le même petit arc : $\widehat{APB} = 45^\circ$.
Exercice 12 — Un motif de zellige à Fès 🎨 Difficile
Un artisan inscrit un motif triangulaire $ABC$ dans un cercle de centre $O$. $[AB]$ est un diamètre de longueur $20\,\mathrm{cm}$, et le petit angle $\widehat{BOC}$ mesure $120^\circ$.
a) Calculer les trois angles du triangle $ABC$. b) En déduire la nature du triangle $AOC$. c) Déterminer $AC$, puis $BC$ (valeur exacte et au dixième).
Un artisan inscrit un motif triangulaire $ABC$ dans un cercle de centre $O$. $[AB]$ est un diamètre de longueur $20\,\mathrm{cm}$, et le petit angle $\widehat{BOC}$ mesure $120^\circ$.
a) Calculer les trois angles du triangle $ABC$. b) En déduire la nature du triangle $AOC$. c) Déterminer $AC$, puis $BC$ (valeur exacte et au dixième).
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a) Le diamètre donne $\widehat{ACB} = 90^\circ$. Le point $A$, opposé à $B$, se trouve sur le grand arc $BC$. Ainsi $\widehat{BAC} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. Puis $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
b) $\widehat{AOC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Comme $OA = OC$, les deux autres angles de $AOC$ valent aussi $60^\circ$ : il est équilatéral.
c) Le rayon vaut $AB/2 = 10\,\mathrm{cm}$, donc $AC = 10\,\mathrm{cm}$. Dans $ABC$, rectangle en $C$, Pythagore donne $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 10^2 = 300$. Donc $\boxed{BC = 10\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \approx 17{,}3\,\mathrm{cm}}$.
b) $\widehat{AOC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Comme $OA = OC$, les deux autres angles de $AOC$ valent aussi $60^\circ$ : il est équilatéral.
c) Le rayon vaut $AB/2 = 10\,\mathrm{cm}$, donc $AC = 10\,\mathrm{cm}$. Dans $ABC$, rectangle en $C$, Pythagore donne $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 10^2 = 300$. Donc $\boxed{BC = 10\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \approx 17{,}3\,\mathrm{cm}}$.
🎯 Auto-évaluation · 10 QCM
Une seule réponse par question. Note ton premier score, puis reprends les questions difficiles.
1. Le sommet d'un angle au centre est…
2. L'arc intercepté par $\widehat{AMB}$ est l'arc $AB$…
3. Un angle au centre de $86^\circ$ est associé à un angle inscrit de…
4. Un angle inscrit de $41^\circ$ intercepte un arc de mesure…
5. Deux angles inscrits interceptant le même arc sont…
6. Si $[AB]$ est un diamètre et $M$ est sur le cercle, $\widehat{AMB}$ vaut…
7. Le petit arc $AB$ mesure $80^\circ$ et $M$ appartient à ce petit arc. Alors $\widehat{AMB}$ vaut…
8. $M$, $N$ sont sur les deux arcs opposés de la corde $[AB]$. Si $\widehat{AMB} = 65^\circ$, alors $\widehat{ANB}$ vaut…
9. $[AB]$ est un diamètre et $\widehat{CAB} = 36^\circ$. Alors $\widehat{ABC}$ vaut…
10. Pour justifier que deux angles inscrits sont égaux, il suffit ici de montrer qu'ils…
Grille d'évaluation
| Bonnes réponses | Bilan | Étape suivante |
|---|---|---|
| 9 – 10 | Très bonne maîtrise 🌟 | Faire le devoir en temps limité. |
| 7 – 8 | Acquis solides 👍 | Justifier oralement les erreurs corrigées. |
| 5 – 6 | En cours d'acquisition | Revoir les tableaux 2 et 3, exercices 6 à 8. |
| 0 – 4 | À consolider 💪 | Revoir le tableau 1 et reprendre les exercices 1 à 5. |
🏠 Devoir maison · Ma semaine
Prévoir environ 25 à 35 min par jour. Travaille d'abord sans corrigé puis annote les erreurs dans une autre couleur.
| Jour | Mission | Trace à conserver |
|---|---|---|
| Lundi | Tableau 1 + exercices 1, 2, 3 | Schéma avec sommet et arc coloriés. |
| Mardi | Tableau 2 + exercices 4, 5, 6 | Propriété citée avant chaque calcul. |
| Mercredi | Tableau 3 + exercices 7, 8, 9 | Deux arcs et vérification des résultats. |
| Jeudi | Tableau 4 + exercices 10, 11, 12 | Recherche complète ; noter où tu bloques. |
| Vendredi | QCM + reprise de deux erreurs | Premier score et nouvelles explications. |
📝 Contrôle continu blanc · 60 min · /20
Sujet d'entraînement original · Mathématiques · 3AC BIOF · Année scolaire 2026–2027
Consignes : figures soignées, propriétés citées et résultats justifiés. Matériel de géométrie autorisé ; calculatrice non nécessaire. Les dessins ne constituent pas des preuves.
Exercice 1 — Même cercle, deux arcs (6 points)
Dans un cercle de centre $O$, le petit angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $116^\circ$. $M$ et $N$ appartiennent au grand arc $AB$, et $P$ au petit arc $AB$.
1. Calculer $\widehat{AMB}$. (2 pts)
2. Calculer $\widehat{ANB}$ en citant une propriété. (2 pts)
3. Calculer $\widehat{APB}$. (2 pts)
Dans un cercle de centre $O$, le petit angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $116^\circ$. $M$ et $N$ appartiennent au grand arc $AB$, et $P$ au petit arc $AB$.
1. Calculer $\widehat{AMB}$. (2 pts)
2. Calculer $\widehat{ANB}$ en citant une propriété. (2 pts)
3. Calculer $\widehat{APB}$. (2 pts)
Exercice 2 — Diamètre et angles (7 points)
$[AB]$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$. Le point $C$ est sur le cercle et $\widehat{CAB} = 37^\circ$.
1. Justifier que $ABC$ est rectangle et préciser en quel sommet. (2 pts)
2. Calculer $\widehat{ABC}$. (2 pts)
3. Calculer le petit angle $\widehat{BOC}$. (2 pts)
4. Calculer le petit angle $\widehat{AOC}$. (1 pt)
$[AB]$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$. Le point $C$ est sur le cercle et $\widehat{CAB} = 37^\circ$.
1. Justifier que $ABC$ est rectangle et préciser en quel sommet. (2 pts)
2. Calculer $\widehat{ABC}$. (2 pts)
3. Calculer le petit angle $\widehat{BOC}$. (2 pts)
4. Calculer le petit angle $\widehat{AOC}$. (1 pt)
Exercice 3 — Une place circulaire à Rabat (7 points)
Deux entrées $A$, $B$ et deux visiteurs $M$, $N$ sont sur le bord d'une place circulaire de centre $O$. $M$ est sur le grand arc $AB$, et $N$ sur le petit arc. L'angle de vue $\widehat{ANB}$ dépasse $\widehat{AMB}$ de $40^\circ$.
1. Faire un schéma avec le centre, les quatre points et les deux angles. (1 pt)
2. Expliquer pourquoi les deux angles sont supplémentaires. (2 pts)
3. Calculer les deux angles de vue. (3 pts)
4. Calculer la mesure du petit arc $AB$. (1 pt)
Deux entrées $A$, $B$ et deux visiteurs $M$, $N$ sont sur le bord d'une place circulaire de centre $O$. $M$ est sur le grand arc $AB$, et $N$ sur le petit arc. L'angle de vue $\widehat{ANB}$ dépasse $\widehat{AMB}$ de $40^\circ$.
1. Faire un schéma avec le centre, les quatre points et les deux angles. (1 pt)
2. Expliquer pourquoi les deux angles sont supplémentaires. (2 pts)
3. Calculer les deux angles de vue. (3 pts)
4. Calculer la mesure du petit arc $AB$. (1 pt)
🟠 Gestion du temps
Exercice 1 : 15 min · Exercice 2 : 20 min · Exercice 3 : 20 min · Relecture : 5 min.Un calcul correct ne remplace pas une justification ; le barème récompense les étapes.
🔑 Corrigé détaillé et barème du devoir /20
Exercice 1 — 6 points
a) $M$ est sur le grand arc : $\widehat{AMB}$ intercepte le petit arc de $116^\circ$. Donc $\widehat{AMB} = \dfrac{116^\circ}{2} = 58^\circ$. (Propriété + arc : 1 pt ; calcul : 1 pt)
b) Les angles inscrits $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ interceptent le même petit arc. Ainsi $\widehat{ANB} = 58^\circ$. (Propriété : 1 pt ; réponse : 1 pt)
c) $P$ intercepte le grand arc de mesure $360^\circ - 116^\circ = 244^\circ$. Donc $\widehat{APB} = \dfrac{244^\circ}{2} = 122^\circ$. (Arc : 1 pt ; angle : 1 pt)
a) $M$ est sur le grand arc : $\widehat{AMB}$ intercepte le petit arc de $116^\circ$. Donc $\widehat{AMB} = \dfrac{116^\circ}{2} = 58^\circ$. (Propriété + arc : 1 pt ; calcul : 1 pt)
b) Les angles inscrits $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ interceptent le même petit arc. Ainsi $\widehat{ANB} = 58^\circ$. (Propriété : 1 pt ; réponse : 1 pt)
c) $P$ intercepte le grand arc de mesure $360^\circ - 116^\circ = 244^\circ$. Donc $\widehat{APB} = \dfrac{244^\circ}{2} = 122^\circ$. (Arc : 1 pt ; angle : 1 pt)
Exercice 2 — 7 points
a) $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, donc $\widehat{ACB} = 90^\circ$. Le triangle est rectangle en $C$. (Propriété : 1 pt ; conclusion : 1 pt)
b) $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$. (Somme des angles : 1 pt ; calcul : 1 pt)
c) $\widehat{BAC}$ intercepte le petit arc $BC$. L'angle au centre associé vaut $\widehat{BOC} = 2 \times 37^\circ = 74^\circ$. (Relation du double : 1 pt ; calcul : 1 pt)
d) $\widehat{AOC} = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$, car $[OA)$ et $[OB)$ sont opposées. (1 pt)
a) $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, donc $\widehat{ACB} = 90^\circ$. Le triangle est rectangle en $C$. (Propriété : 1 pt ; conclusion : 1 pt)
b) $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$. (Somme des angles : 1 pt ; calcul : 1 pt)
c) $\widehat{BAC}$ intercepte le petit arc $BC$. L'angle au centre associé vaut $\widehat{BOC} = 2 \times 37^\circ = 74^\circ$. (Relation du double : 1 pt ; calcul : 1 pt)
d) $\widehat{AOC} = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$, car $[OA)$ et $[OB)$ sont opposées. (1 pt)
Exercice 3 — 7 points
a) Schéma : placer $M$ sur le grand arc et $N$ sur le petit arc, puis relier chaque visiteur aux deux entrées. (Placement : 0,5 pt ; segments et centre : 0,5 pt)
b) Les angles interceptent les deux arcs complémentaires du cercle. Leur somme vaut la moitié d'un tour complet : $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$. (Arcs opposés : 1 pt ; somme justifiée : 1 pt)
c) Posons $\alpha = \widehat{AMB}$. Alors $\widehat{ANB} = \alpha + 40^\circ$ et $\alpha + (\alpha + 40^\circ) = 180^\circ$. Donc $2\alpha = 140^\circ$, d'où $\widehat{AMB} = 70^\circ$ et $\widehat{ANB} = 110^\circ$. (Équation : 1 pt ; résolution : 1 pt ; deux réponses : 1 pt)
d) Le petit arc est intercepté par $M$ : sa mesure vaut $2 \times 70^\circ = 140^\circ$. (1 pt)
a) Schéma : placer $M$ sur le grand arc et $N$ sur le petit arc, puis relier chaque visiteur aux deux entrées. (Placement : 0,5 pt ; segments et centre : 0,5 pt)
b) Les angles interceptent les deux arcs complémentaires du cercle. Leur somme vaut la moitié d'un tour complet : $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$. (Arcs opposés : 1 pt ; somme justifiée : 1 pt)
c) Posons $\alpha = \widehat{AMB}$. Alors $\widehat{ANB} = \alpha + 40^\circ$ et $\alpha + (\alpha + 40^\circ) = 180^\circ$. Donc $2\alpha = 140^\circ$, d'où $\widehat{AMB} = 70^\circ$ et $\widehat{ANB} = 110^\circ$. (Équation : 1 pt ; résolution : 1 pt ; deux réponses : 1 pt)
d) Le petit arc est intercepté par $M$ : sa mesure vaut $2 \times 70^\circ = 140^\circ$. (1 pt)
🌟 À retenir en une minute
Mon aide-mémoire
$$\text{inscrit} = \dfrac{\text{arc intercepté}}{2}, \quad \text{centre associé} = 2 \times \text{inscrit}.$$- Même arc $\rightarrow$ mêmes angles inscrits.
- Diamètre $\rightarrow$ angle inscrit droit ($90^\circ$).
- Avant tout calcul : localiser le sommet et choisir le bon arc.