CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE 3AC

~5 دقائق قراءة الثالثة-إعدادي
جدول المحتويات
    الحساب المثلثي - Calcul Trigonométrique 3AC
    الرياضيات — الثالثة إعدادي (3AC) | الهندسة والحساب المثلثي

    الحساب المثلثي - Calcul Trigonométrique 3ème Année Collège - PDF + تمارين محلولة

    يُعتبر درس الحساب المثلثي من الدروس الأساسية والمحورية في منهاج الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي بالمغرب. يهدف هذا الدرس إلى تمكين المتعلم من حساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلث القائم باستعمال النسب المثلثية الأساسية: الجيب (Sinus)، جيب التمام (Cosinus)، والظل (Tangente). يتضمن هذا المقال شرحاً مفصلاً للنظريات، خصائص النسب المثلثية، علاقات أساسية، وتمارين تطبيقية نموذجية مع الحلول المفصلة خطوة بخطوة، بالإضافة إلى ملف PDF شامل للمراجعة والاستعداد للامتحان الجهوي.

    📑 فهرس المحتويات

    1. مقدمة عن الحساب المثلثي

    يُعد الحساب المثلثي (Calcul Trigonométrique) فرعاً من فروع الرياضيات يدرس العلاقات بين الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات، وخاصة المثلث القائم الزاوية. اكتسب هذا العلم أهمية كبيرة عبر التاريخ نظراً لتطبيقاته الواسعة في الهندسة، الفيزياء، الفلك، والملاحة.

    في السنة الثالثة إعدادي، نركز على المثلث القائم الزاوية، حيث ندرس ثلاث نسب مثلثية أساسية تربط بين الزوايا الحادة وأطوال الأضلاع. هذه النسب تسمح لنا بحساب أطوال مجهولة أو قياسات زوايا غير معروفة باستعمال آلة حاسبة علمية.

    2. التعاريف والنسب المثلثية الأساسية

    لتكن ABC مثلثاً قائم الزاوية في A (أي أن ∠A = 90°). نرمز للأضلاع كالتالي:

    • الوتر (Hypoténuse): هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث القائم. في حالتنا: [BC]
    • الضلع المقابل (Côté opposé): للزاوية B هو الضلع [AC]
    • الضلع المجاور (Côté adjacent): للزاوية B̂ هو الضلع [AB]

    📐 التعاريف الأساسية للنسب المثلثية

    في المثلث القائم ABC القائم في A، لكل زاوية حادة x:

    cos(x) = الضلع المجاور / الوتر = Adjacent / Hypoténuse
    sin(x) = الضلع المقابل / الوتر = Opposé / Hypoténuse
    tan(x) = الضلع المقابل / الضلع المجاور = Opposé / Adjacent

    💡 مثال توضيحي

    في المثلث ABC القائم في A، حيث AB = 3 cm، AC = 4 cm، و BC = 5 cm:

    لحساب النسب المثلثية للزاوية B̂:

    • cos(B̂) = AB/BC = 3/5 = 0.6
    • sin(B̂) = AC/BC = 4/5 = 0.8
    • tan(B̂) = AC/AB = 4/3 ≈ 1.33

    3. خصائص النسب المثلثية الهامة

    خاصية 1: مجال القيم

    لأي زاوية حادة x (حيث 0° < x < 90°):

    • 0 < cos(x) < 1
    • 0 < sin(x) < 1
    • tan(x) > 0 (يمكن أن يكون أكبر من 1)

    خاصية 2: الزوايا المتتامة

    في المثلث القائم، الزاويتان الحادتان متتامتان (مجموعهما 90°). لذلك:

    sin(x) = cos(90° - x)  و  cos(x) = sin(90° - x)

    مثال: sin(30°) = cos(60°) و cos(40°) = sin(50°)

    خاصية 3: العلاقة بين الظل والجيب وجيب التمام

    tan(x) = sin(x) / cos(x)

    هذه العلاقة تسمح بحساب الظل إذا عرفنا الجيب وجيب التمام.

    4. العلاقة الأساسية في الحساب المثلثي

    📐 نظرية فيثاغورس المثلثية

    لأي زاوية حادة x، تتحقق العلاقة الأساسية التالية:

    cos²(x) + sin²(x) = 1

    برهان: في المثلث القائم ABC القائم في A:

    • cos(B̂) = AB/BC و sin(B) = AC/BC
    • إذن: cos²(B̂) + sin²(B) = (AB/BC)² + (AC/BC)² = (AB² + AC²)/BC²
    • حسب مبرهنة فيثاغورس: AB² + AC² = BC²
    • إذن: cos²(B̂) + sin²(B̂) = BC²/BC² = 1

    💡 تطبيق العلاقة الأساسية

    إذا كان cos(x) = 0.6، احسب sin(x) علماً أن x زاوية حادة.

    الحل:

    • نعلم أن: cos²(x) + sin²(x) = 1
    • إذن: sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - (0.6)² = 1 - 0.36 = 0.64
    • بما أن x زاوية حادة، فإن sin(x) > 0، إذن: sin(x) = √0.64 = 0.8

    5. كيفية حساب الأطوال والزوايا

    5.1 حساب طول ضلع

    لحساب طول ضلع مجهول في مثلث قائم، نتبع الخطوات التالية:

    1. نحدد الزاوية المعطاة أو المحسوبة
    2. نختار النسبة المثلثية المناسبة (جيب، جيب تمام، أو ظل) بناءً على المعطيات
    3. نعوض بالقيم المعروفة في العلاقة
    4. نحل المعادلة لإيجاد المجهول

    5.2 حساب قياس زاوية

    لحساب قياس زاوية مجهولة:

    1. نحسب النسبة المثلثية للزاوية باستعمال الأطوال المعروفة
    2. نستعمل الآلة الحاسبة العلمية لإيجاد الزاوية باستعمال الأزرار:
      • cos⁻¹ (أو arccos) للجيب التمام
      • sin⁻¹ (أو arcsin) للجيب
      • tan⁻¹ (أو arctan) للظل

    6. تمارين تطبيقية نموذجية مع الحلول

    🎯 التمرين 1: حساب طول ضلع

    المثلث ABC قائم الزاوية في A، حيث BC = 10 cm و B̂ = 35°.

    المطلوب: احسب طولي AB و AC (قرّب النتائج إلى 0.1 cm).

    عرض الحل المفصل
    • حساب AB:
    في المثلث ABC القائم في A:
    cos(B̂) = AB/BC
    إذن: AB = BC × cos(B̂) = 10 × cos(35°)
    باستعمال الآلة الحاسبة: cos(35°) ≈ 0.8192
    إذن: AB ≈ 10 × 0.8192 ≈ 8.2 cm
    • حساب AC:
    sin(B̂) = AC/BC
    إذن: AC = BC × sin(B̂) = 10 × sin(35°)
    باستعمال الآلة الحاسبة: sin(35°) ≈ 0.5736
    إذن: AC ≈ 10 × 0.5736 ≈ 5.7 cm

    🎯 التمرين 2: حساب قياس زاوية (مستوى الامتحان الجهوي)

    المثلث RST قائم الزاوية في R، حيث RS = 6 cm و RT = 8 cm.

    المطلوب:
    1) احسب طول الوتر ST.
    2) احسب قياس الزاوية RŜT (قرّب إلى أقرب درجة).
    3) استنتج قياس الزاوية RT̂S.

    عرض الحل المفصل
    • 1) حساب ST:
    حسب مبرهنة فيثاغورس في المثلث RST القائم في R:
    ST² = RS² + RT² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
    إذن: ST = √100 = 10 cm
    • 2) حساب RŜT:
    نختار النسبة المثلثية المناسبة. لدينا:
    - الضلع المقابل للزاوية RŜT هو RT = 8
    - الضلع المجاور للزاوية RŜT هو RS = 6
    إذن نستعمل الظل: tan(RŜT) = RT/RS = 8/6 ≈ 1.3333
    باستعمال الآلة الحاسبة: RŜT = tan⁻¹(1.3333) ≈ 53°
    • 3) حساب RT̂S:
    بما أن المثلث RST قائم في R، فإن الزاويتين الحادتين متتامتان:
    RŜT + RT̂S = 90°
    إذن: RT̂S = 90° - 53° = 37°

    7. ملخص الدرس للحفظ

    • في المثلث القائم:
      • cos(x) = المجاور/الوتر
      • sin(x) = المقابل/الوتر
      • tan(x) = المقابل/المجاور
    • العلاقة الأساسية: cos²(x) + sin²(x) = 1
    • الزوايا المتتامة: sin(x) = cos(90°-x)
    • العلاقة بين النسب: tan(x) = sin(x)/cos(x)
    • لحساب زاوية: نستعمل cos⁻¹ أو sin⁻¹ أو tan⁻¹ في الآلة الحاسبة
    • لحساب طول: نختار النسبة المناسبة ونحل المعادلة

    8. ملف الدرس والشرح المرئي

    لتعزيز فهمك وتثبيت المكتسبات، يمكنك تحميل ملخص الدرس بصيغة PDF للطباعة والمراجعة، أو مشاهدة الشرح التفصيلي بالفيديو على قناتنا التعليمية.

    📥 تحميل ملف الدرس (PDF) ▶ مشاهدة سلسلة الشرح على YouTube

    9. أسئلة شائعة (FAQ)

    هل الدرس مجاني ومتاح للجميع؟
    نعم، يمكنك مشاهدة وتحميل ملف Calcul Trigonométrique 3AC مجاناً تماماً. جميع الموارد التعليمية على منصتنا مجانية ومتاحة لجميع تلاميذ السنة الثالثة إعدادي بالمغرب.
    كيف أختار النسبة المثلثية المناسبة في التمرين؟
    اختر النسبة بناءً على المعطيات والمجهول:
    • إذا كان المجهول هو الوتر أو المجاور → استعمل جيب التمام
    • إذا كان المجهول هو الوتر أو المقابل → استعمل الجيب
    • إذا كان المجهول هو المقابل أو المجاور (بدون الوتر) → استعمل الظل
    هل يتوافق المحتوى مع المنهاج المغربي الرسمي؟
    نعم، جميع الدروس والتمارين الموجودة على موقعنا مطابقة تماماً للمقرر الرسمي الخاص بالسنة الثالثة إعدادي بالمغرب، وتم إعدادها من طرف أساتذة متخصصين في الرياضيات.
    ما هي الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها؟
    • الخلط بين الضلع المقابل والمجاور للزاوية.
    • نسيان ضبط الآلة الحاسبة على الوضع Degree (درجات) وليس Radian.
    • عدم التحقق من أن الزاوية حادة (بين 0 و 90 درجة).
    • عدم تقريب النتائج كما هو مطلوب في نص السؤال.