Calcul vectoriel dans le plan TC

~5 دقائق قراءة الجذع-المشترك
جدول المحتويات
    ➡️🧭

    الحساب المتجهي في المستوى — Calcul vectoriel dans le plan

    المستوى الدراسي: الجذع المشترك العلمي (TC Sciences)  |  المادة: الرياضيات

    المتجهات هي لغة الحركة والاتجاه في الرياضيات والفيزياء. في هذا الدرس، سنتعلم كيف نجمع المتجهات، نضربها، ونستخدمها لإثبات التوازي والاستقامية، قبل أن ننتقل إلى تمثيلها الإحداثي (الهندسة التحليلية) وحساب المحددات.

    1. مفهوم المتجهة والخصائص الأساسية (Notion de vecteur)

    المتجهة AB⃗ هي كائن رياضي يربط بين نقطتين A و B، وتتميز بثلاثة عناصر أساسية:

    📏

    ال方向 (Direction)

    المستقيم (AB) (أو أي مستقيم يوازيه).

    ➡️

    المنحى (Sens)

    من النقطة A نحو النقطة B.

    📐

    الطويلة (Norme)

    المسافة بين النقطتين، ونرمز لها بـ ‖AB⃗‖ = AB.

    🔹 المتجهات الخاصة والمساواة

    • المتجهة المعدومة (Vecteur nul): AA⃗ = 0⃗ (طويلتها 0 ومنحاها غير محدد).
    • متجهات متساوية: AB⃗ = DC⃗ إذا وفقط إذا كان الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
    • المتجهة المعارضة: BA⃗ = −AB⃗.

    2. العمليات على المتجهات (Opérations sur les vecteurs)

    🔹 جمع المتجهات وعلاقة شال (Relation de Chasles)

    لجمع متجهتين، نستخدم قاعدة "نهاية الأولى هي بداية الثانية". وهذه هي علاقة شال الذهبية التي تُستخدم في كل تمرين تقريباً:

    Pour tous points A, B et C :   AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
    💡 تقنية "إدخال نقطة" (Introduire un point): إذا أردت تفكيك متجهة AB⃗ باستخدام نقطة وسيطة I، اكتب: AB⃗ = AI⃗ + IB⃗. هذه التقنية هي مفتاح تبسيط التعابير المتجهية!

    🔹 ضرب متجهة في عدد حقيقي (Multiplication par un scalaire)

    إذا كانت u⃗ متجهة و k عدداً حقيقياً، فإن المتجهة ku⃗ تتميز بـ:

    • ال方向: نفس方向 u⃗ (موازية لها).
    • المنحى: نفس المنحى إذا كان k > 0، ومنحى معاكس إذا كان k < 0.
    • الطويلة: ‖ku⃗‖ = |k| × ‖u⃗‖.

    خصائص الضرب والجمع (لأي متجهات u⃗, v⃗ وأعداد a, b):

    a(u⃗ + v⃗) = a + a
    (a + b)u⃗ = a + b
    a(b) = (ab)u⃗

    3. الاستقامية والتوازي (Colinéarité et Parallélisme)

    هذا هو التطبيق الهندسي الأهم للمتجهات. مفهوم "الاستقامية" (Colinéarité) يعني ببساطة أن المتجهتين تقعان على نفس المستقيم (أو مستقيمين متوازيين).

    🌟 تعريف المتجهتين المستقيمتين (Vecteurs colinéaires)

    المتجهتان u⃗ و v⃗ مستقيمتان إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k بحيث:

    u⃗ = kv⃗    ou    v⃗ = 0⃗

    🔹 التطبيقات الهندسية للاستقامية

    📏 استقامية ثلاث نقاط (Alignement)

    النقاط A, B, C مستقيمية (على استقامة واحدة) إذا وفقط إذا كانت المتجهتان AB⃗ و AC⃗ مستقيمتين.

    🛤️ توازي مستقيمين (Parallélisme)

    المستقيمان (AB) و (CD) متوازيان إذا وفقط إذا كانت المتجهتان AB⃗ و CD⃗ مستقيمتين.

    4. الإحداثيات في المستوى (Coordonnées dans le plan)

    ننتقل الآن من الهندسة التركيبية (بالرسم) إلى الهندسة التحليلية (بالحساب). نحتاج إلى معلم (O, i⃗, j⃗).

    🔹 إحداثيات متجة ونقطة

    • لكل متجهة u⃗، توجد أعداد حقيقية وحيدة (x, y) بحيث u⃗ = xi⃗ + yj⃗. نكتب: u⃗(x, y).
    • لكل نقطة M، إحداثياتها هي إحداثيات المتجهة OM⃗. نكتب: M(x, y).

    🔹 الصيغ التحليلية الأساسية

    إحداثيات متجهة AB⃗

    AB⃗ ( xB − xA , yB − yA )

    إحداثيات منتصف قطعة [AB]

    M ( (xA+xB)/2 , (yA+yB)/2 )

    المسافة بين نقطتين A و B

    AB = √[ (xB−xA)² + (yB−yA)² ]

    عمليات على الإحداثيات

    u⃗+v⃗ ( x+x' , y+y' )
    ku⃗ ( kx , ky )

    🔹 المحدد وشرط الاستقامية (Déterminant)

    إذا كانت u⃗(x, y) و v⃗(x', y')، فإن محددهما هو:

    det(u⃗, v⃗) = x·y' − x'·y
    ✅ القاعدة الذهبية: المتجهتان u⃗ و v⃗ مستقيمتان إذا وفقط إذا كان محددهما معدوماً: det(u⃗, v⃗) = 0

    5. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: تبسيط تعبير متجهي (علاقة شال)

    بسط التعبير التالي: AB⃗ + BC⃗ − DC⃗ + DE⃗

    الحل:

    نستخدم علاقة شال وتحويل المتجهات المعارضة:

    AB⃗ + BC⃗ − DC⃗ + DE⃗
    = AC⃗ + CD⃗ + DE⃗    (لأن AB⃗+BC⃗=AC⃗ و −DC⃗=CD⃗)
    = AD⃗ + DE⃗    (لأن AC⃗+CD⃗=AD⃗)
    = AE⃗

    📝 تمرين 2: إثبات استقامية ثلاث نقاط (طريقة هندسية)

    في مثلث ABC، لتكن M منتصف [AB] و N نقطة حيث AN⃗ = 2AC⃗. أثبت أن M, C, N مستقيمية.

    الحل:

    لإثبات أن M, C, N مستقيمية، يجب إثبات أن CM⃗ و CN⃗ مستقيمتان. نعبر عنهما بدلالة CA⃗ و CB⃗:

    CM⃗ = CA⃗ + AM⃗ = CA⃗ + ½AB⃗ = CA⃗ + ½(CB⃗ − CA⃗) = ½CA⃗ + ½CB⃗
    CN⃗ = CA⃗ + AN⃗ = CA⃗ + 2AC⃗ = CA⃗ − 2CA⃗ = −CA⃗

    نلاحظ أن التعبيرين ليسا متناسبين مباشرة. لنحسب بشكل أصح:

    المطلوب هو إيجاد k بحيث MC⃗ = kMN⃗ (أو استخدام CM⃗ و CN⃗). لنستخدم MC⃗ و MN⃗:

    MC⃗ = −CM⃗ = −½CA⃗ − ½CB⃗
    MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ = ½BA⃗ + 2AC⃗ = −½AB⃗ − 2CA⃗ = −½(CB⃗−CA⃗) − 2CA⃗ = −½CB⃗ − 3/2 CA⃗

    نلاحظ أن MN⃗ = 3MC⃗.

    ✅ الاستنتاج: المتجهتان MC⃗ و MN⃗ مستقيمتان، إذن النقاط M, C, N مستقيمية.

    📝 تمرين 3: الإحداثيات والمحدد (طريقة تحليلية)

    في معلم متعامد ممنظم، لدينا: A(1, 2)، B(4, 6)، C(−2, −2).
    1) أحسب إحداثيات AB⃗ و AC⃗.
    2) استنتج هل النقاط A, B, C مستقيمية أم لا.

    الحل:

    1) حساب الإحداثيات:

    AB⃗ ( xB − xA , yB − yA ) = (4−1, 6−2) = (3, 4)
    AC⃗ ( xC − xA , yC − yA ) = (−2−1, −2−2) = (−3, −4)

    2) التحقق من الاستقامية باستخدام المحدد:

    det(AB⃗, AC⃗) = x·y' − x'·y
    = (3)(−4) − (−3)(4)
    = −12 − (−12)
    = −12 + 12 = 0
    ✅ الاستنتاج: بما أن المحدد معدوم (det = 0)، فإن المتجهتين مستقيمتان، والنقاط A, B, C مستقيمية.
    (ملاحظة: يمكننا أيضاً ملاحظة أن AC⃗ = −AB⃗ مباشرة).

    6. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان الحساب المتجهي، يجب التدريب على "إدخال النقاط" (Relation de Chasles) وحساب المحددات. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • علاقة شال (Chasles) هي أداتك السحرية: AB⃗ = AI⃗ + IB⃗. استخدمها لتفكيك أو تجميع المتجهات.
    • الاستقامية (Colinéarité) تعني التوازي أو الوقوع على نفس المستقيم. هندسياً: u⃗ = kv⃗.
    • المحدد (Déterminant) هو الأسرع في الهندسة التحليلية: xy' − x'y = 0 يعني استقامية.
    • لا تنسَ قانون المنتصف وقانون المسافة، فهما مطلوبان بكثرة في تمارين الهندسة التحليلية.

    "المتجهات لا تعرف المستحيل، هي فقط تغير اتجاهها. بالتوفيق في فروضك!" 🚀