Le calcul vectoriel dans le plan : fondements, configurations et méthodes
Une approche didactique unifiant l'intuition géométrique du collège et l'outil vectoriel du lycée : de la relation de Chasles à la colinéarité, aux caractérisations du milieu et au centre de gravité.
Au collège, l'étude géométrique repose essentiellement sur des grandeurs scalaires (longueurs, angles, aires) et sur les transformations isométriques du plan (symétries, translations). En entrant au Tronc Commun Scientifique, l'élève franchit un cap conceptuel majeur avec l'introduction du calcul vectoriel.
Le vecteur n'est pas seulement un « segment fléché » ; c'est un opérateur de translation doté d'une structure algébrique propre. Il permet de transformer des problèmes de parallélisme, d'alignement ou d'intersection en équations algébriques simplifiées, reliant directement la géométrie pure à la physique mécanique (forces, vitesses).
I Notions fondamentales : qu'est-ce qu'un vecteur ?
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Le vecteur $\vec{AB}$ est l'objet géométrique défini par le triplet :
- Sa direction : la droite $(AB)$, c'est-à-dire l'inclinaison de la ligne de soutien ;
- Son sens : l'orientation du parcours, de l'origine $A$ vers l'extrémité $B$ ;
- Sa norme (longueur) : la distance réelle positive séparant $A$ et $B$, notée $\lVert \vec{AB} \rVert = AB$.
Cas singuliers et égalité vectorielle
- Le vecteur nul : Si les points $A$ et $B$ sont confondus ($A=B$), le vecteur $\vec{AA}$ est appelé vecteur nul, noté $\vec{0}$. Sa norme est nulle ($\lVert\vec{0}\rVert = 0$), et il ne possède ni direction ni sens privilégié.
- Vecteurs opposés : Pour tous points $A$ et $B$, on a $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Ils possèdent même direction et même norme, mais des sens opposés.
Soient quatre points $A, B, C, D$ du plan :
\[ \vec{AB} = \vec{CD} \iff \text{le quadrilatère } ABDC \text{ (attention à l'ordre des sommets) est un parallélogramme}. \]Cette condition reste valide sous forme aplatie lorsque les quatre points appartiennent à une même droite.
II Algèbre des vecteurs : somme et produit externe
1. L'addition vectorielle et la relation de Chasles
L'addition des vecteurs traduit la composition des translations dans le plan : translater d'abord de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, équivaut globalement à translater directement de $A$ à $C$.
Pour tous points $A, B$ et $C$ du plan :
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]Pour démontrer une relation vectorielle faisant intervenir un point $O$ quelconque, on décompose systématiquement les vecteurs :
\[ \vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA} \]Cette technique est le pivot de presque toutes les démonstrations du programme de Tronc Commun.
2. Multiplication d'un vecteur par un réel (loi externe)
Soient $\vec{u}$ un vecteur et $k \in \mathbb{R}$ un scalaire :
- Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, alors $k\vec{u} = \vec{0}$ ;
- Si $k \neq 0$ et $\vec{u} \neq \vec{0}$, le vecteur $k\vec{u}$ est caractérisé par :
- La même direction que $\vec{u}$ ;
- Le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$, ou le sens opposé si $k < 0$ ;
- Une norme dilatée : $\lVert k\vec{u} \rVert = |k| \times \lVert \vec{u} \rVert$.
L'ensemble des vecteurs du plan vérifie les règles de calcul associatives et distributives analogues aux réels :
\[ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} \qquad (k + \ell)\vec{u} = k\vec{u} + \ell\vec{u} \qquad k(\ell\vec{u}) = (k\ell)\vec{u} \qquad 1\cdot\vec{u} = \vec{u} \]III La colinéarité : clé de l'alignement et du parallélisme
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que :
\[ \vec{u} = k\,\vec{v} \quad \text{ou} \quad \vec{v} = k\,\vec{u}. \]Le vecteur nul $\vec{0}$ est, par convention, colinéaire à tout vecteur du plan.
La colinéarité est l'outil central pour traiter les deux grandes configurations de la géométrie affine :
| Problème géométrique | Traduction vectorielle équivalente | Mise en œuvre |
|---|---|---|
| Parallélisme : $(AB) \parallel (CD)$ | $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires | Établir l'existence de $k \in \mathbb{R}^*$ tel que $\vec{CD} = k\vec{AB}$. |
| Alignement : $A, B, C$ sont alignés | $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires | Trouver un réel $k$ vérifiant $\vec{AC} = k\vec{AB}$ (point commun $A$). |
Approche analytique : le déterminant de deux vecteurs
Dans un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, soient $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$. Le déterminant de ces deux vecteurs est le scalaire :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - y x' \]IV Milieu d'un segment et centre de gravité d'un triangle
1. Caractérisation vectorielle du milieu
Soit $[AB]$ un segment et $I$ un point du plan. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $I$ est le milieu du segment $[AB]$ ;
- $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ ;
- $\vec{AB} = 2\vec{AI}$ (ou $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}$) ;
- Pour tout point $M$ du plan : $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.
Soit $M$ un point quelconque. En insérant le point $I$ par Chasles :
\[ \vec{MA} + \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) + (\vec{MI} + \vec{IB}) = 2\vec{MI} + (\vec{IA} + \vec{IB}) \]Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$, d'où $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.
2. Le centre de gravité d'un triangle
Considérons un triangle non aplati $ABC$. On note $A', B', C'$ les milieux respectifs de ses côtés opposés $[BC], [AC], [AB]$.
Les trois médianes $(AA'), (BB'), (CC')$ se coupent en un point unique $G$, appelé centre de gravité du triangle $ABC$. Il est caractérisé par :
\[ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \]De plus, pour chaque médiane, $G$ est situé aux deux tiers du segment en partant du sommet :
\[ \vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AA'} \qquad \vec{BG} = \frac{2}{3}\vec{BB'} \qquad \vec{CG} = \frac{2}{3}\vec{CC'} \]Et pour tout point $M$ du plan :
\[ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG} \]3. Le théorème de la droite des milieux
Dans un triangle $ABC$, si $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$, alors :
\[ \vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{BC} \]On en déduit immédiatement la double conclusion géométrique :
- $(IJ) \parallel (BC)$ (par colinéarité des vecteurs) ;
- $IJ = \frac{1}{2} BC$ (par passage aux normes).
V Travaux pratiques dirigés : 6 exercices résolus étape par étape
Simplifier au maximum les trois expressions vectorielles suivantes :
- $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}$
- $\vec{v} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{DC} - \vec{DB}$
- $\vec{w} = 2\vec{AB} + 3\vec{BC} - \vec{AC}$
Solution détaillée pas à pas
Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$ et $C(2 ; -1)$.
- Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
- Calculer les longueurs exactes $AB$ et $AC$.
- Les points $A, B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier algébriquement.
Solution détaillée pas à pas
On donne les coordonnées suivantes dans un repère du plan : $A(1 ; 3)$, $B(5 ; 5)$, $C(7 ; 1)$ et $D(3 ; -1)$.
Montrer rigoureusement que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, puis déterminer les coordonnées de son centre de symétrie $\Omega$.
Solution détaillée pas à pas
Soit le triangle $ABC$ défini par $A(2 ; 1)$, $B(4 ; 5)$ et $C(-2 ; 3)$.
- Déterminer les coordonnées des milieux $A', B', C'$ respectifs des côtés $[BC], [AC], [AB]$.
- Calculer les coordonnées du centre de gravité $G$ de deux manières différentes.
- Vérifier la relation fondamentale $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AA'}$.
Solution détaillée pas à pas
Méthode isobarycentrique :
\[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + 4 - 2}{3} = \frac{4}{3} \] \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{1 + 5 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \implies G\left(\frac{4}{3} ; 3\right) \]Méthode de la médiane : $G$ vérifie $\vec{OG} = \vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{AA'}$. On trouve identiquement $\big(\frac{4}{3} ; 3\big)$.
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $M$ le milieu de $[AB]$ et $N$ le point défini par l'égalité vectorielle $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
Sans utiliser de repère, démontrer que la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et que $MN = \frac{1}{2}BC$.
Solution détaillée pas à pas
- Parallélisme : $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$, donc $\vec{MN}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires, ce qui prouve que $(MN) \parallel (BC)$.
- Longueur : En passant à la norme : $\lVert\vec{MN}\rVert = \left\lVert\frac{1}{2}\vec{BC}\right\rVert = \frac{1}{2}\lVert\vec{BC}\rVert$, d'où $MN = \frac{1}{2}BC$.
Dans un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $A(1 ; 1)$, $B(3 ; 4)$, $C(7 ; 10)$, $D(2 ; -2)$ et $E(5 ; 2)$.
- Les points $A, B$ et $C$ sont-ils alignés ?
- Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ou sécantes ?
Solution détaillée pas à pas
VI Synthèse — Les réflexes méthodologiques du Tronc Commun
- Confusion scalaire/vecteur : Ne jamais écrire $AB = \vec{AB}$ ni additionner un nombre et un vecteur ($2 + \vec{u}$ est dénué de sens).
- Ordre des points dans le parallélogramme : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que $AB\mathbf{DC}$ est un parallélogramme (les diagonales sont $[AD]$ et $[BC]$). Écrire que $ABCD$ est un parallélogramme correspond à $\vec{AB} = \vec{DC}$.
- Oubli de la flèche de vecteur : Tout vecteur (y compris le vecteur nul $\vec{0}$) doit obligatoirement porter une flèche. Écrire $\vec{u} + \vec{v} = 0$ au lieu de $\vec{0}$ est compté comme une faute d'écriture mathématique.