Continuité d'une fonction numérique 2BAC

~5 دقائق قراءة الثانية-باك
جدول المحتويات
    درس استمرارية دالة عددية Continuité d'une fonction numérique للسنة الثانية بكالوريا

    الرياضيات — السنة الثانية بكالوريا 2BAC

    استمرارية دالة عددية Continuité d'une fonction numérique

    يقدم هذا الدرس مفهوم استمرارية دالة عددية عند نقطة وعلى مجال، والعمليات التي تحافظ على الاستمرارية، إضافة إلى مبرهنة القيم المتوسطة وتطبيقها في إثبات وجود حلول للمعادلات. ستجد أيضًا أمثلة محلولة وتمارين قصيرة، ثم ملف PDF وفيديوهات للمراجعة.

    أهداف درس الاستمرارية

    بعد دراسة هذا المحور، ينبغي أن يتمكن التلميذ من التحقق من استمرارية دالة عند عدد حقيقي، ودراسة استمراريتها على مجال، واستعمال خواص المجموع والجداء والخارج والتركيب. كما ينبغي أن يعرف كيف يوظف مبرهنة القيم المتوسطة لإثبات أن معادلة من الشكل f(x) = 0 تقبل حلاً داخل مجال معين.

    المعارف الضرورية: من المفيد مراجعة مجال تعريف الدالة، وحساب النهايات، وجدول التغيرات، وحل المعادلات والمتراجحات قبل البدء في هذا الدرس.

    1. استمرارية دالة عند نقطة

    لتكن f دالة عددية معرفة على مجال D، وليكن a ∈ D. نقول إن الدالة f مستمرة عند a إذا كانت نهاية الدالة عندما يقترب المتغير من a تساوي قيمة الدالة عند النقطة نفسها:

    limx→a f(x) = f(a)

    للتحقق من الاستمرارية عند a نتبع ثلاث خطوات:

    1. نتأكد أولًا من أن f(a) معرفة.
    2. نحسب النهاية limx→a f(x).
    3. نقارن النهاية المحسوبة بالقيمة f(a).

    مثال بسيط

    نعتبر الدالة f(x) = x² + 3x − 1. نريد التحقق من استمراريتها عند a = 2.

    f(2) = 2² + 3×2 − 1 = 9
    limx→2 (x² + 3x − 1) = 9

    بما أن النهاية تساوي f(2)، فإن الدالة f مستمرة عند العدد 2. ويمكن أيضًا استنتاج ذلك مباشرة لأن كل دالة حدودية مستمرة على ℝ.

    الاستمرارية من اليمين ومن اليسار

    إذا كانت الدالة معرفة على جانبي العدد a، فإن استمراريتها عنده تقتضي أن تكون النهايتان اليمنى واليسرى متساويتين، وأن تساويا قيمة الدالة:

    limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = f(a)

    إذا اختلفت النهايتان اليمنى واليسرى، أو كانت النهاية موجودة لكنها لا تساوي قيمة الدالة، فإن الدالة غير مستمرة عند تلك النقطة.

    2. استمرارية دالة على مجال

    نقول إن الدالة f مستمرة على مجال مفتوح I إذا كانت مستمرة عند كل عدد ينتمي إليه. أما على المجال المغلق [a,b]، فيلزم أن تكون مستمرة داخل ]a,b[، ومستمرة من اليمين عند a ومن اليسار عند b.

    نوع الدالة مجال الاستمرارية
    الدالة الثابتة والدالة التآلفية ℝ
    الدوال الحدودية ℝ
    الدالة الناطقة كل مجال لا يحتوي على أصفار المقام
    x ↦ √x [0,+∞[
    x ↦ 1/x ]−∞,0[ و]0,+∞[
    تنبيه: لا يمكن القول إن دالة ناطقة مستمرة على ℝ قبل تحديد القيم التي تجعل المقام مساويًا للصفر واستبعادها من مجال التعريف.

    3. العمليات التي تحافظ على الاستمرارية

    إذا كانت الدالتان f و g مستمرتين عند a، فإن الدوال الآتية تكون مستمرة عند a متى كانت معرفة:

    • المجموع: f + g.
    • الفرق: f − g.
    • الجداء: f × g.
    • ضرب الدالة في عدد حقيقي: λf.
    • الخارج: f/g بشرط g(a) ≠ 0.

    استمرارية دالة مركبة

    إذا كانت g مستمرة عند a، وكانت f مستمرة عند g(a)، فإن الدالة المركبة f∘g مستمرة عند a.

    تطبيق على التركيب

    الدالة h(x) = √(x² + 1) مستمرة على ℝ، لأن x² + 1 دالة حدودية مستمرة وموجبة تمامًا، ودالة الجذر التربيعي مستمرة على [0,+∞[.

    4. التمديد بالاستمرار

    قد تكون دالة غير معرفة عند عدد a، لكن نهايتها عند ذلك العدد موجودة ومنتهية. في هذه الحالة يمكن أحيانًا تعريف قيمة جديدة للدالة عند a حتى تصبح مستمرة هناك. يسمى ذلك التمديد بالاستمرار.

    مثال محلول

    نعتبر الدالة المعرفة، عندما x ≠ 1، بما يلي:

    f(x) = (x² − 1)/(x − 1)

    باستعمال المتطابقة x² − 1 = (x − 1)(x + 1) نحصل، عندما x ≠ 1، على:

    f(x) = x + 1
    limx→1 f(x) = 2

    لذلك يمكن تمديد الدالة بالاستمرار عند العدد 1 بوضع f(1) = 2.

    5. مبرهنة القيم المتوسطة

    إذا كانت الدالة f مستمرة على المجال المغلق [a,b]، فإنها تأخذ كل قيمة محصورة بين f(a) و f(b). أي إن كل عدد k بين القيمتين يقابله عدد c ∈ [a,b] يحقق:

    f(c) = k

    من أهم نتائج هذه المبرهنة: إذا كانت f(a) و f(b) مختلفتين في الإشارة، أي:

    f(a) × f(b) < 0

    فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل على الأقل حلاً واحدًا داخل المجال المفتوح ]a,b[.

    مهم: تغير الإشارة مع الاستمرارية يثبت وجود حل واحد على الأقل، لكنه لا يثبت وحده أن الحل وحيد. لإثبات الوحدانية يمكن إضافة شرط مثل كون الدالة متزايدة تمامًا أو متناقصة تمامًا على المجال.

    6. أمثلة محلولة

    المثال الأول: مجال استمرارية دالة ناطقة

    نعتبر الدالة:

    f(x) = (2x + 1)/(x − 3)

    ينعدم المقام عند x = 3، ولذلك يكون مجال تعريف الدالة:

    Df = ℝ \ {3}

    بما أن الدالة ناطقة، فهي مستمرة على كل مجال لا يحتوي على صفر المقام؛ أي إنها مستمرة على ]−∞,3[ وعلى ]3,+∞[.

    المثال الثاني: إثبات وجود حل

    نعتبر الدالة:

    f(x) = x³ + x − 1

    الدالة حدودية، وبالتالي فهي مستمرة على ℝ، وبصفة خاصة على [0,1]. نحسب:

    f(0) = −1
    f(1) = 1
    f(0) × f(1) = −1 < 0

    وفق مبرهنة القيم المتوسطة، توجد قيمة α ∈ ]0,1[ تحقق f(α) = 0.

    ولإثبات أن الحل وحيد، نلاحظ أن الدالة متزايدة تمامًا؛ فمثلًا إذا كان x < y فإن:

    f(y) − f(x) = (y − x)(y² + xy + x² + 1) > 0

    لأن العاملين موجبان. إذن المعادلة x³ + x − 1 = 0 تقبل حلاً وحيدًا داخل ]0,1[.

    المثال الثالث: صورة مجال بدالة مستمرة

    إذا كانت الدالة f(x) = x² معرفة على المجال [−2,3]، فإنها مستمرة عليه. أصغر قيمة هي 0 وتتحقق عند x = 0، وأكبر قيمة هي 9 وتتحقق عند x = 3. لذلك:

    f([−2,3]) = [0,9]

    7. تمارين تطبيقية

    التمرين الأول

    حدد مجال تعريف واستمرارية الدالة:

    g(x) = (x + 2)/(x² − 4)
    عرض عناصر الحل

    نكتب x² − 4 = (x − 2)(x + 2). ينعدم المقام عند x = −2 وعند x = 2، لذلك:

    Dg = ℝ \ {−2,2}

    الدالة مستمرة على كل مجال جزئي من مجال تعريفها، خصوصًا على ]−∞,−2[، ]−2,2[ و ]2,+∞[.

    التمرين الثاني

    بيّن أن المعادلة x³ − 2 = 0 تقبل حلاً داخل المجال ]1,2[.

    عرض عناصر الحل

    نضع f(x) = x³ − 2. الدالة حدودية ومستمرة على [1,2]. كما أن:

    f(1) = −1
    f(2) = 6
    f(1) × f(2) < 0

    إذن، وفق مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد α ∈ ]1,2[ يحقق f(α) = 0.

    التمرين الثالث

    لتكن الدالة المعرفة عندما x ≠ 2 بالعلاقة:

    h(x) = (x² − 4)/(x − 2)

    حدد القيمة التي يجب إسنادها إلى h(2) لتمديد الدالة بالاستمرار.

    عرض عناصر الحل

    عندما x ≠ 2 لدينا h(x) = x + 2، وبالتالي:

    limx→2 h(x) = 4

    لذلك نضع h(2) = 4.

    8. خلاصة الدرس

    • تكون الدالة مستمرة عند a إذا كان limx→a f(x) = f(a).
    • الدوال الحدودية مستمرة على ℝ، والدوال الناطقة مستمرة حيث يكون مقامها غير منعدم.
    • المجموع والجداء والخارج والتركيب تحافظ على الاستمرارية عند تحقق شروط التعريف.
    • يمكن إزالة بعض حالات عدم التعريف بواسطة التمديد بالاستمرار إذا كانت النهاية موجودة ومنتهية.
    • تساعد مبرهنة القيم المتوسطة على إثبات وجود حل لمعادلة داخل مجال.
    • يحتاج إثبات وحدانية الحل إلى معلومة إضافية، مثل التزايد التام أو التناقص التام.

    9. ملف الدرس والفيديو

    بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.

    إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفل الإطار.

    تحميل ملف PDF مشاهدة شرح الفيديو

    أسئلة شائعة

    هل كل دالة معرفة عند عدد تكون مستمرة عنده؟

    لا. يجب أن تكون نهاية الدالة عند ذلك العدد موجودة ومساوية لقيمة الدالة نفسها.

    هل تغير الإشارة يثبت دائمًا وجود حل؟

    نحتاج أيضًا إلى استمرارية الدالة على المجال المغلق المدروس. عند تحقق الاستمرارية واختلاف إشارتي قيمتي الطرفين، تضمن مبرهنة القيم المتوسطة وجود حل واحد على الأقل بينهما.

    ما الفرق بين وجود الحل ووحدانيته؟

    الوجود يعني أن المعادلة تقبل حلاً واحدًا على الأقل، أما الوحدانية فتعني أنها لا تقبل داخل المجال أكثر من حل واحد.