Dérivation 1BAC

~5 دقائق قراءة الأولى-باك
جدول المحتويات
    📈∫

    الاشتقاق — La Dérivation

    المستوى الدراسي: الأولى باكالوريا علوم (1BAC)  |  المادة: الرياضيات

    الاشتقاق هو الأداة الأقوى في التحليل الرياضي: يسمح لنا بدراسة تغير الدوال، رسم منحنياتها بدقة، وحل مسائل القيم القصوى. في هذا الدرس، سنتعلم مفهوم العدد المشتق، طرق حسابه، جدول المشتقات المرجعية، والعمليات على الدوال المشتقة.

    1. العدد المشتق والتفسير الهندسي (Nombre dérivé)

    🔹 تعريف العدد المشتق

    لتكن f دالة معرفة على مجال I، و a ∈ I. نقول إن f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

    limh→0 [ f(a + h) − f(a) ] / h = f′(a)

    هذا العدد f′(a) يُسمى العدد المشتق لـ f في a.

    🔹 الصيغ المكافئة

    f′(a) = limx→a [ f(x) − f(a) ] / (x − a)
    f′(a) = limh→0 [ f(a + h) − f(a) ] / h

    🔹 التفسير الهندسي

    إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a، فإن:

    • المنحنى (Cf) يقبل مماساً (tangente) في النقطة A(a, f(a)).
    • معامل توجيه (coefficient directeur) هذا المماس هو بالضبط f′(a).
    (Ta) : y = f′(a)(x − a) + f(a)
    ⚠️ حالات خاصة مهمة:
    • إذا كان f′(a) = 0 ⇒ المماس أفقي (موازٍ لمحور الأفاصيل).
    • إذا كانت النهاية تساوي ±∞ ⇒ المماس عمودي (عمودي على محور الأفاصيل).
    • إذا كانت النهاية غير موجودة ⇒ الدالة غير قابلة للاشتقاق في a.

    2. قابلية الاشتقاق على مجال (Dérivabilité sur un intervalle)

    نقول إن f قابلة للاشتقاق على مجال I إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من I.

    في هذه الحالة، تُعرّف الدالة المشتقة f′ بالعلاقة:

    f′ : I → ℝ ; x ↦ f′(x)

    🔹 العلاقة بين الاشتقاق والاستمرارية

    ✅ الاشتقاق يستلزم الاستمرارية

    f قابلة للاشتقاق في a
    ⇒ f مستمرة في a

    ❌ العكس غير صحيح!

    مثال: f(x) = |x|
    مستمرة في 0 لكن غير قابلة للاشتقاق فيها.

    💡 الاشتقاق على اليمين واليسار:

    عند دراسة قابلية الاشتقاق في نقطة "حرجة" (مثل الجذور التربيعية أو القيمة المطلقة)، نحسب:

    • f′+(a) = limh→0⁺ [f(a+h) − f(a)]/h (الاشتقاق على اليمين)
    • f′−(a) = limh→0⁻ [f(a+h) − f(a)]/h (الاشتقاق على اليسار)

    الدالة قابلة للاشتقاق في a ⟺ f′+(a) = f′−(a).

    3. مشتقات الدوال المرجعية (Dérivées usuelles)

    يجب حفظ هذا الجدول عن ظهر قلب، فهو أساس كل عمليات الاشتقاق:

    الدالة f(x) المشتقة f′(x) مجال الاشتقاق
    k (ثابت) 0 ℝ
    x 1 ℝ
    xn (n ∈ ℕ*) n·xn−1 ℝ
    1/xn −n/xn+1 ℝ*
    1/x −1/x² ℝ*
    √x 1/(2√x) ]0, +∞[
    sin(x) cos(x) ℝ
    cos(x) −sin(x) ℝ
    tan(x) 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) ℝ \ {π/2 + kπ}
    ⚠️ خطأ شائع جداً:

    √x غير قابلة للاشتقاق في 0 (رغم أنها مستمرة هناك)، لأن limx→0⁺ 1/(2√x) = +∞.
    لذلك مجال الاشتقاق هو ]0, +∞[ وليس [0, +∞[.

    4. العمليات على الدوال المشتقة (Opérations sur les dérivées)

    لتكن u و v دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I، و λ ∈ ℝ:

    🔹 العمليات الجبرية الأساسية

    الدالة المشتقة
    λ·u λ·u′
    u + v u′ + v′
    u · v u′·v + u·v′
    u² 2·u·u′
    un (n ∈ ℕ*) n·un−1·u′
    1/u (u ≠ 0) −u′/u²
    u/v (v ≠ 0) (u′·v − u·v′) / v²
    √u (u > 0) u′ / (2√u)

    🔹 مشتقة دالة مركبة (Dérivée d'une composée)

    إذا كانت u قابلة للاشتقاق على I، و g قابلة للاشتقاق على u(I):

    (g ∘ u)′(x) = g′(u(x)) · u′(x)

    💡 أو بصيغة أخرى: إذا كانت h(x) = g(u(x)) فإن h′(x) = u′(x) × g′(u(x))

    🔹 أمثلة تطبيقية للتركيب

    sin(ax + b)

    a · cos(ax + b)

    cos(ax + b)

    −a · sin(ax + b)

    (ax + b)n

    n·a·(ax + b)n−1

    √(ax + b)

    a / (2√(ax + b))

    5. إشارة المشتقة واتجاه تغير الدالة (Signe de f′ et variations)

    هذه هي القوة الحقيقية للاشتقاق: من خلال دراسة إشارة المشتقة، يمكننا تحديد اتجاه تغير الدالة الأصلية.

    🎯 المبرهنة الأساسية

    📈 f′(x) > 0

    f متزايدة تماماً

    📉 f′(x) < 0

    f متناقصة تماماً

    ➖ f′(x) = 0

    f ثابتة

    🔹 القيم القصوى المحلية (Extremums locaux)

    إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a:

    • إذا كانت f′ تتغير إشارتها في a (من السالب إلى الموجب) ⇒ f(a) قيمة صغرى محلية.
    • إذا كانت f′ تتغير إشارتها في a (من الموجب إلى السالب) ⇒ f(a) قيمة كبرى محلية.
    • إذا لم تتغير إشارة f′ في a ⇒ f(a) ليست قيمة قصوى (نقطة انعطاف أفقية).

    6. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: حساب العدد المشتق بالتعريف

    لتكن f(x) = x² + 3x − 1. احسب f′(2) باستخدام التعريف.

    الحل:

    f′(2) = limh→0 [f(2 + h) − f(2)] / h
    f(2) = 2² + 3(2) − 1 = 4 + 6 − 1 = 9
    f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) − 1
              = 4 + 4h + h² + 6 + 3h − 1
              = h² + 7h + 9
    f′(2) = limh→0 [(h² + 7h + 9) − 9] / h
           = limh→0 (h² + 7h) / h
           = limh→0 (h + 7)
           = 7
    ✅ التحقق: f′(x) = 2x + 3 ⟹ f′(2) = 2(2) + 3 = 7 ✓

    📝 تمرين 2: معادلة المماس

    لتكن f(x) = x³ − 3x + 1. أوجد معادلة المماس للمنحنى في النقطة ذات الأفصول a = 1.

    الحل:

    f′(x) = 3x² − 3
    f(1) = 1³ − 3(1) + 1 = −1
    f′(1) = 3(1)² − 3 = 0

    معادلة المماس:

    y = f′(1)(x − 1) + f(1)
    y = 0·(x − 1) + (−1)
    y = −1
    ✅ الاستنتاج: المماس أفقي (موازٍ لمحور الأفاصيل) عند ordinate −1.

    📝 تمرين 3: دراسة اتجاه التغير لدالة كسرية

    لتكن f(x) = (2x − 1) / (x + 2) معرفة على ℝ \ {−2}.
    1) احسب f′(x).
    2) ادرس إشارة f′(x) واستنتج جدول تغيرات الدالة.

    الحل:

    1) حساب المشتقة: نطبق قاعدة (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²

    u(x) = 2x − 1   ⟹   u′(x) = 2
    v(x) = x + 2   ⟹   v′(x) = 1
    f′(x) = [2(x + 2) − (2x − 1)·1] / (x + 2)²
           = [2x + 4 − 2x + 1] / (x + 2)²
           = 5 / (x + 2)²

    2) دراسة الإشارة:

    5 > 0 و (x + 2)² > 0 لكل x ≠ −2
    إذن f′(x) > 0 لكل x ∈ ℝ \ {−2}
    ✅ جدول التغيرات:
    • f متزايدة تماماً على ]−∞, −2[
    • f متزايدة تماماً على ]−2, +∞[

    📝 تمرين 4: اشتقاق دالة مركبة مع جذر تربيعي

    لتكن f(x) = √(x² − 4x + 5).
    1) حدد مجال تعريف الدالة ومجال اشتقاقها.
    2) احسب f′(x).
    3) ادرس اتجاه تغير f.

    الحل:

    1) المجال:

    x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1 ≥ 1 > 0 لكل x ∈ ℝ
    مجال التعريف: Df = ℝ
    مجال الاشتقاق: ℝ (لأن ما تحت الجذر موجب قطعاً)

    2) حساب المشتقة: نطبق (√u)′ = u′/(2√u)

    u(x) = x² − 4x + 5   ⟹   u′(x) = 2x − 4
    f′(x) = (2x − 4) / (2√(x² − 4x + 5))
           = (x − 2) / √(x² − 4x + 5)

    3) دراسة الإشارة:

    المقام √(...) > 0 دائماً
    إذن إشارة f′(x) = إشارة (x − 2)
    • إذا كان x < 2 ⟹ f′(x) < 0 ⟹ f متناقصة
    • إذا كان x > 2 ⟹ f′(x) > 0 ⟹ f متزايدة
    • f′(2) = 0 ⟹ قيمة صغرى محلية عند x = 2
    ✅ القيمة الصغرى: f(2) = √(4 − 8 + 5) = √1 = 1
    إذن الدالة تقبل قيمة صغرى مطلقة تساوي 1 عند x = 2.

    📝 تمرين 5: قابلية الاشتقاق على اليمين واليسار

    لتكن f(x) = x·|x|. ادرس قابلية الاشتقاق في x = 0.

    الحل:

    نكتب الدالة بشكل صريح:

    f(x) = x²    إذا كان x ≥ 0
    f(x) = −x²    إذا كان x < 0
    f(0) = 0

    الاشتقاق على اليمين:

    f′+(0) = limh→0⁺ [f(0 + h) − f(0)] / h
             = limh→0⁺ [h² − 0] / h
             = limh→0⁺ h = 0

    الاشتقاق على اليسار:

    f′−(0) = limh→0⁻ [f(0 + h) − f(0)] / h
             = limh→0⁻ [−h² − 0] / h
             = limh→0⁻ (−h) = 0
    ✅ الاستنتاج: f′+(0) = f′−(0) = 0
    إذن الدالة قابلة للاشتقاق في 0 و f′(0) = 0.
    المنحنى يقبل مماساً أفقياً في النقطة (0, 0).

    7. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان الاشتقاق، يجب التدريب المكثف على: حساب المشتقات، دراسة الإشارات، وإيجاد معادلات المماس. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • العدد المشتق f′(a) هو معامل توجيه المماس للمنحنى في النقطة A(a, f(a)).
    • الاشتقاق يستلزم الاستمرارية، لكن العكس غير صحيح (مثال: |x| في 0).
    • جدول المشتقات المرجعية يجب حفظه كاملاً، فهو أساس كل العمليات.
    • مشتقة دالة مركبة: (g ∘ u)′ = u′ × g′(u) — القاعدة الأهم في الاشتقاق!
    • إشارة المشتقة تحدد اتجاه التغير: موجبة = تصاعدي، سالبة = تنازلي، صفر = قيمة قصوى محتملة.
    • عند الاشتقاق في نقطة حرجة (جذر، قيمة مطلقة)، استخدم الاشتقاق على اليمين واليسار.
    • القيمة الصغوى/الكبرى المحلية تحدث عندما تتغير إشارة f′ (وليس فقط عندما تكون صفراً).

    "الاشتقاق هو بوصلة الرياضيات: يرشدك إلى مسار الدالة. بالتوفيق في فروضك المحروسة!" 🚀