DROITES-REMARQUABLES-DANS-UN-TRIANGLE

~5 دقائق قراءة الأولى-إعدادي
جدول المحتويات
    درس المستقيمات المميزة في المثلث للأولى إعدادي

    الرياضيات — الأولى إعدادي 1AC

    المستقيمات المميزة في المثلث Droites Remarquables dans un Triangle

    يقدم هذا الدرس أهم المستقيمات المميزة في المثلث: المتوسطات، المنصفات، الارتفاعات، والمحاور. ستتعلم تعريف كل نوع، طريقة رسمه، خصائصه، ونقاط التقاطع الخاصة به، مع أمثلة محلولة وتمارين تطبيقية شاملة.

    1. مقدمة: المستقيمات المميزة

    في أي مثلث ABC، يمكن رسم عدة أنواع من المستقيمات الخاصة التي لها خصائص مميزة. هذه المستقيمات هي:

    • المتوسطات (Médianes): مستقيمات تربط كل رأس بمنتصف الضلع المقابل
    • المنصفات (Bissectrices): مستقيمات تنصف زوايا المثلث
    • الارتفاعات (Hauteurs): مستقيمات عمودية من كل رأس على الضلع المقابل
    • المحاور (Médiatrices): مستقيمات عمودية على كل ضلع وتمر بمنتصفه

    📌 خاصية مشتركة: في أي مثلث، كل نوع من هذه المستقيمات الثلاثة يتقاطع في نقطة واحدة مميزة.

    2. المتوسطات (Les Médianes)

    تعريف المتوسط

    متوسط المثلث هو مستقيم يمر برأس من رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس.

    في المثلث ABC:

    • إذا كانت M منتصف [BC]، فإن المستقيم (AM) هو متوسط المثلث من الرأس A
    • إذا كانت N منتصف [AC]، فإن المستقيم (BN) هو متوسط المثلث من الرأس B
    • إذا كانت P منتصف [AB]، فإن المستقيم (CP) هو متوسط المثلث من الرأس C

    نقطة التقاطع: مركز الثقل (Centre de Gravité - G)

    المتوسطات الثلاثة في أي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الثقل ويرمز لها بالحرف G.

    خاصية مهمة:

    مركز الثقل G يقسم كل متوسط بنسبة 2:1

    AG = (2/3) × طول المتوسط من A

    مثال محلول

    في مثلث ABC، النقطة M منتصف [BC]. إذا كان طول المتوسط AM يساوي 9 سم، وG مركز ثقل المثلث، احسب AG وGM.

    الحل:

    • AG = (2/3) × 9 = 6 سم
    • GM = (1/3) × 9 = 3 سم

    3. المنصفات (Les Bissectrices)

    تعريف المنصف

    منصف زاوية هو نصف مستقيم ينطلق من رأس الزاوية ويقسمها إلى زاويتين متقايستين.

    في المثلث ABC، منصف الزاوية يقسم الزاوية BÂC إلى زاويتين متساويتين.

    نقطة التقاطع: مركز الدائرة المحاطة (Centre du Cercle Inscrit - I)

    المنصفات الثلاثة لزوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحاطة (الدائرة الداخلية) ويرمز لها بالحرف I.

    خاصية: النقطة I تبعد بنفس المسافة عن أضلاع المثلث الثلاثة. هذه المسافة هي نصف قطر الدائرة المحاطة.

    مثال

    في مثلث ABC، إذا كانت الزاوية BÂC تساوي 60°، فما قياس كل من الزاويتين الناتجتين عن المنصف؟

    الحل:

    كل زاوية = 60° ÷ 2 = 30°

    4. الارتفاعات (Les Hauteurs)

    تعريف الارتفاع

    ارتفاع المثلث هو مستقيم يمر برأس من رؤوس المثلث ويكون عموديًا على الضلع المقابل (أو امتداده).

    في المثلث ABC:

    • الارتفاع من الرأس A عمودي على الضلع [BC] أو امتداده
    • الارتفاع من الرأس B عمودي على الضلع [AC] أو امتداده
    • الارتفاع من الرأس C عمودي على الضلع [AB] أو امتداده

    نقطة التقاطع: نقطة تقاطع الارتفاعات (Orthocentre - H)

    الارتفاعات الثلاثة في أي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة تقاطع الارتفاعات ويرمز لها بالحرف H.

    ملاحظة:

    • في المثلث القائم الزاوية، نقطة H تكون عند الرأس القائم
    • في المثلث حاد الزوايا، النقطة H داخل المثلث
    • في المثلث منفرج الزاوية، النقطة H خارج المثلث

    5. المحاور (Les Médiatrices)

    تعريف المحور

    محور قطعة مستقيمة هو مستقيم عمودي على هذه القطعة ويمر بمنتصفها.

    في المثلث ABC، محور الضلع [AB] هو مستقيم عمودي على [AB] ويمر بمنتصف [AB].

    نقطة التقاطع: مركز الدائرة المحيطة (Centre du Cercle Circonscrit - O)

    المحاور الثلاثة لأضلاع المثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحيطة ويرمز لها بالحرف O.

    خاصية أساسية:

    النقطة O تبعد بنفس المسافة عن رؤوس المثلث الثلاثة:

    OA = OB = OC = نصف قطر الدائرة المحيطة

    مثال محلول

    في مثلث ABC، O مركز الدائرة المحيطة. إذا كان OA = 5 سم، فما طول OB وOC؟

    الحل:

    بما أن O مركز الدائرة المحيطة:

    • OB = OA = 5 سم
    • OC = OA = 5 سم

    6. جدول مقارن للمستقيمات المميزة

    المستقيم التعريف نقطة التقاطع الرمز
    المتوسط يربط رأسًا بمنتصف الضلع المقابل مركز الثقل G
    المنصف ينصف زاوية المثلث مركز الدائرة المحاطة I
    الارتفاع عمودي على ضلع من رأس مقابل نقطة تقاطع الارتفاعات H
    المحور عمودي على ضلع ويمر بمنتصفه مركز الدائرة المحيطة O

    7. حالات خاصة

    المثلث المتساوي الأضلاع

    في المثلث المتساوي الأضلاع، جميع النقاط المميزة G وI وH وO تتطابق في نقطة واحدة تسمى المركز.

    المثلث متساوي الساقين

    في المثلث متساوي الساقين، المتوسط والمنصف والارتفاع والمحور المرسومة من الرأس الأساسي (رأس زاوية القمة) تتطابق في مستقيم واحد يسمى محور التماثل.

    مثال

    في مثلث ABC متساوي الساقين في A، إذا كانت M منتصف [BC]، فإن المستقيم (AM) هو في نفس الوقت:

    • متوسط المثلث
    • منصف الزاوية BÂC
    • ارتفاع المثلث
    • محور الضلع [BC]

    8. تمارين تطبيقية

    التمرين الأول

    في مثلث ABC، النقطة M منتصف [BC]. المستقيم (AM) هو متوسط المثلث، وطوله 12 سم. إذا كانت G مركز ثقل المثلث، احسب AG وGM.

    عرض الحل
    • AG = (2/3) × 12 = 8 سم
    • GM = (1/3) × 12 = 4 سم

    التمرين الثاني

    في مثلث ABC، الزاوية BÂC تساوي 80°. ما قياس كل من الزاويتين الناتجتين عن منصف الزاوية BÂC؟

    عرض الحل

    كل زاوية = 80° ÷ 2 = 40°

    التمرين الثالث

    في مثلث ABC، O هي مركز الدائرة المحيطة. إذا كان OA = 6 سم، فما طول نصف قطر الدائرة المحيطة؟

    عرض الحل

    نصف القطر = OA = 6 سم

    التمرين الرابع

    صحيح أم خطأ: "في أي مثلث، المتوسطات الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة".

    عرض الحل

    خطأ. المتوسطات تتقاطع في مركز الثقل G، أما مركز الدائرة المحيطة O فهو نقطة تقاطع المحاور.

    التمرين الخامس

    في مثلث ABC متساوي الساقين في A، أذكر أربع خصائص للمستقيم (AM) حيث M منتصف [BC].

    عرض الحل

    المستقيم (AM) هو في نفس الوقت:

    • متوسط المثلث
    • منصف الزاوية BÂC
    • ارتفاع المثلث (عمودي على [BC])
    • محور الضلع [BC]

    9. خلاصة الدرس

    • في أي مثلث، هناك أربعة أنواع من المستقيمات المميزة: المتوسطات، المنصفات، الارتفاعات، المحاور
    • المتوسطات الثلاثة تتقاطع في مركز الثقل G
    • المنصفات الثلاثة تتقاطع في مركز الدائرة المحاطة I
    • الارتفاعات الثلاثة تتقاطع في نقطة H
    • المحاور الثلاثة تتقاطع في مركز الدائرة المحيطة O
    • في المثلث المتساوي الأضلاع، جميع هذه النقاط تتطابق في نقطة واحدة
    • في المثلث متساوي الساقين، محور التماثل يجمع المتوسط والمنصف والارتفاع والمحور من الرأس الأساسي

    10. ملف الدرس والفيديو

    بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.

    إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفله.

    تحميل ملف PDF مشاهدة شرح الفيديو

    أسئلة شائعة

    ما الفرق بين المتوسط والمحور؟

    المتوسط يربط رأسًا من رؤوس المثلث بمنتصف الضلع المقابل، بينما المحور عمودي على الضلع ويمر بمنتصفه (لا يمر بالضرورة برأس المثلث).

    هل المنصف دائمًا داخل المثلث؟

    نعم، منصفات زوايا المثلث دائمًا داخل المثلث، ونقطة تقاطعها (مركز الدائرة المحاطة I) تكون دائمًا داخل المثلث.

    ما هي أهمية مركز الثقل G؟

    مركز الثقل G هو نقطة توازن المثلث. إذا قطعت المثلث من مادة متجانسة ووضعته على نقطة واحدة هي G، فسيبقى متوازنًا.