الرياضيات — الأولى إعدادي 1AC
معادلات الدرجة الأولى بمجهول واحد Équations du Premier Degré à Une Inconnue
يقدم هذا الدرس مفهوم المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، وطريقة حلها باستخدام العمليات الأساسية، والتحقق من صحة الحل. ستتعلم كيفية تحويل المسائل اللفظية إلى معادلات، وحلها بخطوات منطقية منظمة، مع أمثلة محلولة وتمارين تطبيقية شاملة.
1. تعريف المعادلة
ما هي المعادلة؟
المعادلة هي مساواة بين عبارتين جبريتين تحتوي على مجهول واحد أو أكثر. يُرمز للمجهول عادة بحرف مثل x أو y أو a.
أمثلة على معادلات
- x + 5 = 12
- 3x − 7 = 8
- 2(x + 3) = 10
- 5x = 20
معادلة الدرجة الأولى بمجهول واحد
معادلة الدرجة الأولى بمجهول واحد هي معادلة يمكن كتابتها على الشكل:
ax + b = 0
حيث a وb عددان معلومان وa ≠ 0، وx هو المجهول
ملاحظة: نسميها "الدرجة الأولى" لأن أعلى أس للمجهول x هو 1 (أي x¹ أو ببساطة x).
2. حل المعادلة
ما معنى حل معادلة؟
حل معادلة يعني إيجاد قيمة المجهول التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.
القيمة التي نجدها تسمى حل المعادلة أو جذر المعادلة.
مثال
في المعادلة x + 3 = 7:
- إذا عوضنا x = 4، نحصل على: 4 + 3 = 7 (صحيح ✓)
- إذا عوضنا x = 5، نحصل على: 5 + 3 = 8 (خطأ ✗)
إذن x = 4 هو حل المعادلة.
3. القواعد الأساسية لحل المعادلات
القاعدة الأولى: الإضافة والطرح
إذا أضفنا أو طرحنا نفس العدد من طرفي المعادلة، تبقى المعادلة صحيحة.
مثال
x + 5 = 12
نطرح 5 من الطرفين:
x + 5 − 5 = 12 − 5
x = 7
القاعدة الثانية: الضرب والقسمة
إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المعادلة على نفس العدد (غير الصفر)، تبقى المعادلة صحيحة.
مثال
3x = 15
نقسم الطرفين على 3:
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
x = 5
القاعدة الثالثة: نقل الحدود
عند نقل حد من طرف إلى آخر، نغير إشارته:
- + يصبح −
- − يصبح +
- × يصبح ÷
- ÷ يصبح ×
مثال
x + 7 = 15
ننقل 7 إلى الطرف الثاني فتصبح −7:
x = 15 − 7
x = 8
4. طريقة منهجية لحل المعادلات
الخطوات الأساسية
- تبسيط الطرفين: إزالة الأقواس وجمع الحدود المتشابهة
- نقل الحدود التي تحتوي على x: إلى طرف واحد (عادة اليسار)
- نقل الحدود الثابتة: إلى الطرف الآخر (عادة اليمين)
- جمع الحدود المتشابهة: في كل طرف
- تبسيط: للحصول على x = قيمة
- التحقق: بتعويض الحل في المعادلة الأصلية
5. أمثلة محلولة متنوعة
المثال الأول: معادلة بسيطة
حل المعادلة: 2x + 3 = 11
الحل:
- 2x + 3 = 11
- ننقل 3 إلى الطرف الثاني: 2x = 11 − 3
- 2x = 8
- نقسم على 2: x = 8 ÷ 2
- x = 4
التحقق: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 ✓
المثال الثاني: معادلة بها x في الطرفين
حل المعادلة: 5x − 7 = 2x + 8
الحل:
- 5x − 7 = 2x + 8
- ننقل 2x إلى اليسار: 5x − 2x − 7 = 8
- ننقل −7 إلى اليمين: 5x − 2x = 8 + 7
- 3x = 15
- x = 15 ÷ 3
- x = 5
التحقق: 5(5) − 7 = 25 − 7 = 18 و 2(5) + 8 = 10 + 8 = 18 ✓
المثال الثالث: معادلة بها أقواس
حل المعادلة: 3(x + 2) = 18
الحل:
- 3(x + 2) = 18
- نزيل الأقواس بالضرب: 3x + 6 = 18
- ننقل 6 إلى اليمين: 3x = 18 − 6
- 3x = 12
- x = 12 ÷ 3
- x = 4
المثال الرابع: معادلة بها كسور
حل المعادلة: x/2 + 3 = 7
الحل:
- x/2 + 3 = 7
- ننقل 3: x/2 = 7 − 3
- x/2 = 4
- نضرب الطرفين في 2: x = 4 × 2
- x = 8
المثال الخامس: معادلة مع توزيع
حل المعادلة: 2(x − 3) + 5 = 4x − 1
الحل:
- 2(x − 3) + 5 = 4x − 1
- نوزع: 2x − 6 + 5 = 4x − 1
- نبسط: 2x − 1 = 4x − 1
- ننقل 4x و−1: 2x − 4x = −1 + 1
- −2x = 0
- x = 0
6. مسائل تطبيقية
مسألة 1: مسألة الأعمار
عمر أحمد الآن هو x سنة. بعد 5 سنوات سيصبح عمره 18 سنة. ما عمر أحمد الآن؟
الحل:
- المعادلة: x + 5 = 18
- x = 18 − 5
- x = 13 سنة
مسألة 2: مسألة الأعداد
إذا أضفنا 7 إلى ضعف عدد ما، حصلنا على 23. ما هو هذا العدد؟
الحل:
- المعادلة: 2x + 7 = 23
- 2x = 23 − 7
- 2x = 16
- x = 8
- العدد هو 8
مسألة 3: مسألة هندسية
مستطيل طوله ضعف عرضه. إذا كان محيطه 36 سم، احسب طوله وعرضه.
الحل:
- نضع العرض = x
- إذن الطول = 2x
- المحيط = 2(الطول + العرض)
- 36 = 2(2x + x)
- 36 = 2(3x)
- 36 = 6x
- x = 6 سم (العرض)
- الطول = 2 × 6 = 12 سم
7. تمارين تطبيقية
التمرين الأول
حل المعادلات التالية:
- a) x + 8 = 15
- b) 4x = 28
- c) x − 5 = 12
عرض الحل
- a) x = 15 − 8 = 7
- b) x = 28 ÷ 4 = 7
- c) x = 12 + 5 = 17
التمرين الثاني
حل المعادلات التالية:
- a) 3x + 5 = 20
- b) 7x − 4 = 24
- c) 5x + 3 = 2x + 15
عرض الحل
- a) 3x = 20 − 5 → 3x = 15 → x = 5
- b) 7x = 24 + 4 → 7x = 28 → x = 4
- c) 5x − 2x = 15 − 3 → 3x = 12 → x = 4
التمرين الثالث
حل المعادلة: 2(x + 4) − 3 = 11
عرض الحل
- 2(x + 4) − 3 = 11
- 2x + 8 − 3 = 11
- 2x + 5 = 11
- 2x = 11 − 5
- 2x = 6
- x = 3
التمرين الرابع
مسألة: الفرق بين عدد و12 يساوي 5. ما هو هذا العدد؟
عرض الحل
- المعادلة: x − 12 = 5
- x = 5 + 12
- x = 17
8. خلاصة الدرس
- المعادلة هي مساواة تحتوي على مجهول نريد إيجاد قيمته
- معادلة الدرجة الأولى بمجهول واحد على الشكل: ax + b = 0
- يمكن إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المعادلة دون تغيير الحل
- يمكن ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد (غير الصفر)
- عند نقل حد من طرف إلى آخر، نغير إشارته
- نحل المعادلة خطوة خطوة حتى نعزل المجهول
- يجب التحقق من الحل بتعويضه في المعادلة الأصلية
- يمكن استعمال المعادلات لحل المسائل الواقعية
9. ملف الدرس والفيديو
بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.
إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفله.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين المعادلة والمتراجحة؟
المعادلة تستخدم علامة المساواة (=)، مثل: 2x + 3 = 7
المتراجحة تستخدم علامات عدم المساواة (<، >، ≤، ≥)، مثل: 2x + 3 > 7
كيف أتحقق من صحة الحل؟
نعوض قيمة x التي وجدناها في المعادلة الأصلية. إذا تساوى الطرفان، فالحل صحيح.
ماذا أفعل عند وجود أقواس في المعادلة؟
نستخدم خاصية التوزيع لإزالة الأقواس أولاً، مثل: 3(x + 2) = 3x + 6
هل يمكن أن يكون حل المعادلة صفراً؟
نعم، يمكن أن يكون الحل x = 0. مثلاً في المعادلة 2x + 5 = 5، الحل هو x = 0.
Commentaires
Publier un commentaire