مقدمة: وصف المستقيمات جبريًا

الدراسة التحليلية للمستقيم تتيح لنا تمثيل المستقيمات باستخدام المعادلات واستخدام أدوات الجبر لحل المسائل الهندسية. هذا النهج يربط بين الهندسة والجبر، مما يوفر طرقًا قوية للتحليل.

1. تمثيل المستقيم

أ. المتجه الموجه (Vecteur Directeur)

المتجه v⃗ = (a, b) يكون متجهًا موجهًا لمستقيم (d) إذا كان موازيًا للمستقيم (d).

ب. معادلة متجهة (Équation Vectorielle)

إذا كان المستقيم (d) يمر بالنقطة A(x₀, y₀) ويتجه بالمتجه v⃗ = (a, b)، فإن أي نقطة M(x, y) على المستقيم (d) تحقق: AM⃗ = k * v⃗ ، حيث k عدد حقيقي. (x - x₀, y - y₀) = k * (a, b)

ج. المعادلات البارامترية (Équations Paramétriques)

من المعادلة المتجهة، نحصل على: { x - x₀ = k * a { y - y₀ = k * b وهي المعادلات البارامترية للمستقيم، حيث k هو البارامتر.

د. المعادلة الديكارتية (Équation Cartésienne)

هي معادلة من الشكل Ax + By + C = 0، حيث A و B ليسا كلاهما صفرًا.

• المتجه n⃗ = (A, B) هو متجه عمودي (normal) على المستقيم (d).
• لإيجاد المعادلة الديكارتية من المعادلات البارامترية: نعبّر عن k من المعادلتين ونساويهما.

مثال: مستقيم يمر بـ A(1, 2) ومتجه موجه v⃗ = (3, -1).

• المعادلات البارامترية: { x = 1 + 3k ، { y = 2 - k
• من المعادلة الثانية: k = 2 - y.
• نعوض في الأولى: x = 1 + 3(2 - y) = 1 + 6 - 3y = 7 - 3y.
• المعادلة الديكارتية: x + 3y - 7 = 0. (هنا A=1, B=3، والمتجه العمودي n⃗ = (1, 3)).

2. الميل (Coefficient Directeur)

الميل (m) للمستقيم (غير العمودي) هو نسبة التغير في y إلى التغير في x.

• إذا كان v⃗ = (a, b) متجهًا موجهًا، والمستقيم غير عمودي (b ≠ 0)، فإن الميل m = b / a.
• إذا كانت المعادلة الديكارتية Ax + By + C = 0 (مع B ≠ 0)، فإن الميل m = -A / B.
• المستقيم أفقي (parallele à l'axe des x) إذا كان ميله 0.
• المستقيم عمودي (parallele à l'axe des y) إذا كان غير معرف الميل (لأن a = 0).

3. التوازي والتعامد (Parallélisme et Orthogonalité)

لتكن (d) معرف بموجه u⃗ ومعادلة ديكارتية Ax + By + C = 0 (متجه عمودي n⃗ = (A, B)).

• التوازي:
  • مستقيمان (d) و (d') متوازيان إذا كان لهما نفس الميل (إذا كانا غير عموديين).
  • أو إذا كانت متجهاتهم الموجهة مرتبطة خطيًا (u⃗ = k * u'⃗).
  • أو إذا كانت متجهاتهم العمودية مرتبطة خطيًا (n⃗ = k * n'⃗).
  • المعادلة الديكارتية لمستقيم يوازي Ax + By + C = 0 هي Ax + By + C' = 0.
• التعامد:
  • مستقيمان (d) و (d') متعامدان إذا كان ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر (m * m' = -1).
  • أو إذا كان حاصل ضرب متجهيهما الموجهين يساوي صفرًا (u⃗ ⋅ u'⃗ = 0).
  • أو إذا كان حاصل ضرب متجهيهما العموديين يساوي صفرًا (n⃗ ⋅ n'⃗ = 0).
  • (A, B) ⋅ (A', B') = A*A' + B*B' = 0.

4. تقاطع مستقيمين (Intersection de Deux Droites)

لإيجاد نقطة تقاطع المستقيمين (d) و (d')، نحل نظام المعادلات الديكارتية المكون منهما.

• إذا كان للنظام حل وحيد، فالمستقيمان يتقاطعان في نقطة.
• إذا لم يكن للنظام حل، فالمستقيمان متوازيان (وغير منطبقين).
• إذا كان للنظام عدد لا نهائي من الحلول، فالمستقيمان منطبقان.

تمارين محلولة

تمرين 1: معادلة مستقيم

أوجد المعادلة الديكارتية للمستقيم (d) المار بالنقطة A(2, -1) والمتجه الموجه v⃗ = (1, 3).

• x₀=2, y₀=-1 ، a=1, b=3.
• المعادلات البارامترية: { x = 2 + k ، { y = -1 + 3k.
• k = x - 2.
• نعوض في الثانية: y = -1 + 3(x - 2) = -1 + 3x - 6 = 3x - 7.
• المعادلة الديكارتية: 3x - y - 7 = 0.

تمرين 2: التوازي والتعامد

لتكن المستقيمات: (d₁) : 2x + y - 3 = 0 (d₂) : x - 2y + 1 = 0 (d₃) : 4x + 2y + 5 = 0

• (d₁) و (d₂): المتجهات العمودية n₁⃗ = (2, 1) و n₂⃗ = (1, -2). n₁⃗ ⋅ n₂⃗ = 2*1 + 1*(-2) = 2 - 2 = 0. إذن، (d₁) ⊥ (d₂).
• (d₁) و (d₃): المتجهات العمودية n₁⃗ = (2, 1) و n₃⃗ = (4, 2). نلاحظ أن n₃⃗ = 2 * n₁⃗. المتجهات العمودية مرتبطة خطيًا، إذن (d₁) || (d₃).

تمرين 3: تقاطع مستقيمين

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين: (d₁) : x + 3y - 7 = 0 (d₂) : 2x - y + 1 = 0

• من (d₁): x = 7 - 3y.
• نعوض في (d₂): 2(7 - 3y) - y + 1 = 0
  1. 14 - 6y - y + 1 = 0
  2. 15 - 7y = 0 => y = 15/7
• x = 7 - 3(15/7) = 7 - 45/7 = 49/7 - 45/7 = 4/7.
• نقطة التقاطع هي (4/7, 15/7).

مصادر إضافية للمعرفة والتعلم

لتعميق فهمك للدراسة التحليلية للمستقيم، يمكنك الرجوع إلى:

إذا تعذر ظهور المعاينة، يمكنك تحميل ملف PDF مباشرة باستخدام الزر أسفل الإطار.

خاتمة: ربط الجبر والهندسة

• الدراسة التحليلية للمستقيم توفر أدوات قوية لوصف وتحليل الأشكال الهندسية جبريًا.
• فهم المعادلات البارامترية والديكارتية، وعلاقات التوازي والتعامد، ضروري لحل المسائل.
• التمارين المتنوعة تساعد على إتقان هذه المفاهيم وتطبيقها بفعالية.