La géométrie dans l'espace

~5 دقائق قراءة الجذع-المشترك
جدول المحتويات
    🧊

    الهندسة في الفضاء — La géométrie dans l'espace

    المستوى الدراسي: الجذع المشترك العلمي (TC Sciences)  |  المادة: الرياضيات

    ننتقل في هذا الدرس من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. ستتعلم كيف تُحدد النقاط والمستقيمات والمستويات، وكيف تدرس الأوضاع النسبية والتوازي والتعامد في الفضاء، مع تمارين تطبيقية محلولة خطوة بخطوة.

    1. المفاهيم الأساسية والبديهيات (Notions de base et axiomes)

    الفضاء (L'espace) هو مجموعة غير فارغة من العناصر تُسمى النقاط، وتتحقق فيها مجموعة من البديهيات الأساسية التي تسمح لنا بدراسة الأوضاع النسبية.

    🔹 الكائنات الأساسية في الفضاء

    📍

    النقطة (Point)

    عنصر لا أبعاد له. يُرمز لها بحروف كبيرة: A, B, C...

    📏

    المستقيم (Droite)

    يمتد بلا حدود في اتجاهين. يُحدد بنقطتين مختلفتين. يُرمز له بـ (D), (AB)...

    📐

    المستوى (Plan)

    سطح يمتد بلا حدود. يُحدد بثلاث نقاط غير مستقيمية. يُرمز له بـ (P), (ABC)...

    🔹 بديهيات الفضاء (Axiomes de l'espace)

    1. بديهية 1: من أي نقطتين مختلفتين A و B يمر مستقيم وحيد (AB).
    2. بديهية 2: من أي ثلاث نقاط غير مستقيمية يمر مستوى وحيد.
    3. بديهية 3: إذا كانت نقطتان مختلفتان من مستقيم تنتميان إلى مستوى، فإن المستقيم كله مُتضمن في ذلك المستوى.
    4. بديهية 4: تقاطع مستويين مختلفين هو مستقيم (أو لا شيء إذا كانا متوازيين).
    💡 ملاحظة مهمة: النقاط A, B, C تكون غير مستقيمية (non alignées) إذا لم تكن على استقامة واحدة، أي لا ينتمي أحدها إلى المستقيم المار من الآخرين.

    2. الأوضاع النسبية في الفضاء (Positions relatives)

    في الفضاء، العلاقات بين العناصر الهندسية أكثر تنوعاً مما هي عليه في المستوى. لنستعرض الحالات الممكنة:

    🔹 مستقيم ومستقيم (Droite et droite)

    ✓ متوازيان

    (D₁) // (D₂)
    متضمنان في نفس المستوى ولا يتقاطعان

    ✓ متقاطعان

    (D₁) ∩ (D₂) = {A}
    لهما نقطة مشتركة وحيدة

    ⚠ متخالفان

    (D₁) et (D₂) gauches
    غير متوازيين ولا متقاطعين (غير مُتضمنين في نفس المستوى)

    ⚠️ مفهوم جديد — المستقيمان المتخالفان (Droites gauches): في الفضاء، يمكن لمستقيمين أن يكونا غير متوازيين ولا متقاطعين في نفس الوقت! هذا مستحيل في المستوى. مثلاً: ضلعان متقابلان في مكعب (مثل [AB] و [CD] في متوازي المستطيلات).

    🔹 مستقيم ومستوى (Droite et plan)

    ✓ مُتضمن

    (D) ⊂ (P)
    كل نقاط المستقيم في المستوى

    ✓ موازٍ

    (D) // (P)
    لا توجد أي نقطة مشتركة

    ✓ قاطع

    (D) ∩ (P) = {A}
    نقطة مشتركة وحيدة

    🔹 مستوي ومستوى (Plan et plan)

    ✓ منطبقان

    (P) = (Q)
    نفس المستوى

    ✓ متوازيان

    (P) // (Q)
    لا نقطة مشتركة

    ✓ متقاطعان

    (P) ∩ (Q) = (D)
    التقاطع = مستقيم

    3. التوازي في الفضاء (Le parallélisme dans l'espace)

    التوازي في الفضاء يحافظ على كثير من خصائص التوازي في المستوى، لكن مع بعض الإضافات المهمة:

    🔹 خواص توازي المستقيمات

    • خاصية 1 (التعدي): إذا كان (D₁) // (D₂) و (D₂) // (D₃) فإن (D₁) // (D₃).
    • خاصية 2: مستقيمان متوازيان يحددان مستوى وحيداً.
    • خاصية 3: إذا كان مستقيمان متوازيين وقطع أحدهما مستقيماً ثالثاً، فإن الآخر يقطعه أيضاً.
    ⚠️ تنبيه: خاصية التعدي لا تنطبق على التعامد في الفضاء! يمكن لمستقيمين أن يكونا متعامدين على نفس المستقيم دون أن يكونا متوازيين.

    🔹 خواص توازي المستويات

    • خاصية 1: مستويان متوازيان ⇒ أي مستقيم في أحدهما يوازي الآخر.
    • خاصية 2: إذا كان مستوٍ يقطع مستويين متوازيين، فإن مستقيمي التقاطع يكونان متوازيين.
    • خاصية 3 (مبرهنة الحجرة): إذا كان مستقيمان متوازيان متضمنين في مستويين متقاطعين، فإن مستقيم التقاطع يوازيهما.

    🌟 مبرهنة الحجرة (Théorème de la chambre)

    إذا كان لدينا:

    • مستويان (P) و (Q) متقاطعان في المستقيم (Δ)
    • مستقيم (D) مُتضمن في (P)
    • مستقيم (D') مُتضمن في (Q)
    • (D) // (D')

    فإن: (Δ) // (D) // (D')

    🔹 شرط موازاة مستقيم لمستوى

    مستقيم (D) يوازي مستوياً (P)
    ⟺
    يوجد مستقيم (D') مُتضمن في (P) بحيث (D) // (D')

    4. التعامد في الفضاء (L'orthogonalité dans l'espace)

    التعامد في الفضاء أعمق مما هو في المستوى. هناك نوعان: التعامد (Orthogonalité) والتقاطع العمودي (Perpendicularité).

    🔹 تعامد مستقيمين (Orthogonalité de deux droites)

    التعريف:

    يُقال إن مستقيمين (D₁) و (D₂) متعامدان إذا كان مستقيمان (Δ₁) و (Δ₂) متوازيان معهما على التوالي ومتقاطعان بشكل عمودي.

    (D₁) ⊥ (D₂) ⟺ الزاوية بين متجهيهما الموجهين = 90°

    ⚠️ الفرق المهم:
    • متعامدان (Orthogonales): متجهتاهما الموجهتان متعامدتان (قد يكونان متخالفين).
    • عموديان (Perpendiculaires): متعامدان و متقاطعان في نفس الوقت.

    🔹 تعامد مستقيم ومستوى

    التعريف: مستقيم (D) يكون عمودياً على مستوى (P) إذا كان عمودياً على جميع المستقيمات المُتضمنة في (P).

    💡 الشرط العملي: يكفي أن يكون (D) عمودياً على مستقيمين متقاطعين من (P).

    (D) ⊥ (P) ⟺ (D) ⊥ (D₁) et (D) ⊥ (D₂) avec (D₁) ∩ (D₂) ≠ ∅ dans (P)

    🔹 خواص التعامد

    • خاصية 1: مستقيمان عموديان على نفس المستوى ⇒ متوازيان.
    • خاصية 2: مستويان عموديان على نفس المستقيم ⇒ متوازيان.
    • خاصية 3: إذا كان (D) ⊥ (P) فإن أي مستوى يحوي (D) يكون عمودياً على (P).
    • خاصية 4: مستويان متعامدان ⇒ مستقيم التقاطع عمودي على المستوي العمودي الثالث.

    5. الإحداثيات والتمثيل البارامتري (Coordonnées et représentation paramétrique)

    🔹 المعلم في الفضاء (Repère de l'espace)

    يُحدد الفضاء بمعلم (O, i⃗, j⃗, k⃗) حيث O نقطة الأصل و i⃗, j⃗, k⃗ ثلاث متجهات غير مستوية (خطياً).

    لكل نقطة M في الفضاء، توجد أعداد حقيقية وحيدة (x, y, z) بحيث:

    OM⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗

    ونكتب: M(x, y, z)

    🔹 التمثيل البارامتري لمستقيم

    إذا كان المستقيم (D) يمر من النقطة A(x₀, y₀, z₀) وله متجهة موجهة u⃗(a, b, c)، فإن تمثيله البارامتري هو:

    (D) : { x = x₀ + a·t
           y = y₀ + b·t
           z = z₀ + c·t
    (حيث t ∈ ℝ هو الوسيط أو Parameter)

    🔹 معادلة مستوٍ ديكارتية

    إذا كان المستوى (P) يمر من النقطة A(x₀, y₀, z₀) وله متجهتان موجهتان u⃗(a, b, c) و v⃗(a', b', c')، فإن تمثيله البارامتري:

    (P) : { x = x₀ + a·t + a'·s
           y = y₀ + b·t + b'·s
           z = z₀ + c·t + c'·s
    (حيث t, s ∈ ℝ هما الوسيطان)

    6. الإسقاط العمودي والمسافات (Projection orthogonale et distances)

    🔹 الإسقاط العمودي (Projection orthogonale)

    • مسقط نقطة على مستقيم: هو نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى المار من النقطة والعمودي على المستقيم.
    • مسقط نقطة على مستوى: هو نقطة تقاطع المستوى مع المستقيم المار من النقطة والعمودي على المستوى.

    🔹 المسافات في الفضاء

    📏 المسافة بين نقطتين:

    AB = √[(xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²]

    📏 المسافة بين نقطة ومستقيم:

    هي المسافة بين النقطة ومسقطها العمودي على المستقيم.

    📏 المسافة بين نقطة ومستوى:

    هي المسافة بين النقطة ومسقطها العمودي على المستوى.

    📏 المسافة بين مستقيمين متخالفين:

    هي طول القطعة العمودية المشتركة بينهما (أو المسافة بين مستويين متوازيين يحوي كل منهما أحد المستقيمين).

    7. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: إثبات أن ثلاث نقاط غير مستقيمية

    في معلم متعامد ممنظم، لدينا النقاط: A(1, 0, 2)، B(3, 1, 1)، C(−1, 2, 0).
    أثبت أن النقاط A, B, C غير مستقيمية.

    الحل:

    النقاط مستقيمية ⟺ المتجهتان AB⃗ و AC⃗ مرتبطتان خطياً (متوازيتان).

    AB⃗ = (xB − xA, yB − yA, zB − zA) = (3−1, 1−0, 1−2) = (2, 1, −1)
    AC⃗ = (xC − xA, yC − yA, zC − zA) = (−1−1, 2−0, 0−2) = (−2, 2, −2)

    لنتحقق من التناسب (هل AB⃗ = k·AC⃗؟):

    إذا كان 2 = k(−2) ⟹ k = −1
    إذا كان 1 = k(2) ⟹ k = 1/2
    −1 ≠ 1/2 ⟹ المتجهتان غير متناسبتين
    ✅ الاستنتاج: المتجهتان AB⃗ و AC⃗ غير مرتبطتين خطياً، إذن النقاط A, B, C غير مستقيمية.

    📝 تمرين 2: التمثيل البارامتري لمستقيم

    أعطِ التمثيل البارامتري للمستقيم (D) المار من النقطتين A(1, 2, 3) و B(4, 0, 1).

    الحل:

    المتجهة الموجهة: AB⃗ = (4−1, 0−2, 1−3) = (3, −2, −2)
    النقطة المارة منها: A(1, 2, 3)

    التمثيل البارامتري:

    (D) : { x = 1 + 3t
           y = 2 − 2t
           z = 3 − 2t
    (حيث t ∈ ℝ)

    📝 تمرين 3: حساب المسافة بين نقطتين

    احسب المسافة بين النقطتين A(1, −1, 2) و B(4, 3, −1).

    الحل:

    AB = √[(4−1)² + (3−(−1))² + (−1−2)²]
        = √[(3)² + (4)² + (−3)²]
        = √[9 + 16 + 9]
        = √34
    AB = √34 ≈ 5.83

    📝 تمرين 4: إثبات تعامد مستقيم ومستوى

    في مكعب ABCDEFGH (حيث ABCD القاعدة و EFGH الوجه العلوي)، أثبت أن المستقيم (AE) عمودي على المستوى (ABCD).

    الحل:

    لإثبات أن (AE) ⊥ (ABCD)، يكفي إثبات أن (AE) عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوى (ABCD).

    1) تعامد (AE) مع (AB):

    في المكعب، الأحرف الجانبية عمودية على أحرف القاعدة.
    إذن: AE ⊥ AB ✓

    2) تعامد (AE) مع (AD):

    بنفس المنطق، AE عمودي على AD.
    إذن: AE ⊥ AD ✓

    3) تقاطع المستقيمين:

    المستقيمان (AB) و (AD) متقاطعان في النقطة A ✓

    ✅ الاستنتاج: المستقيم (AE) عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوى (ABCD)، إذن:

    (AE) ⊥ (ABCD)

    📝 تمرين 5: تقاطع مستقيم ومستوى (الوضعية النسبية)

    لدينا المستقيم (D) بتمثيل بارامتري: x = 1 + 2t, y = 3 − t, z = −1 + 3t
    والمستوى (P) بتمثيل بارامتري: x = 2 + s − u, y = 1 + 2s, z = −3 + s + 2u
    حدد الوضعية النسبية لـ (D) و (P).

    الحل:

    نبحث عن تقاطع بوضع الإحداثيات متساوية ونحل نظام المعادلات:

    1 + 2t = 2 + s − u    ⟹    2t − s + u = 1    (1)
    3 − t = 1 + 2s        ⟹    t + 2s = 2         (2)
    −1 + 3t = −3 + s + 2u ⟹    3t − s − 2u = −2   (3)

    حل النظام:

    من (2): t = 2 − 2s
    نعوض في (1): 2(2 − 2s) − s + u = 1
                          4 − 4s − s + u = 1
                          u = 5s − 3
    نعوض في (3): 3(2 − 2s) − s − 2(5s − 3) = −2
                          6 − 6s − s − 10s + 6 = −2
                          12 − 17s = −2
                          s = 14/17

    بما أن النظام له حل وحيد (s, t, u)، فإن المستقيم والمستوى متقاطعان في نقطة وحيدة.

    ✅ الاستنتاج: المستقيم (D) والمستوى (P) متقاطعان في نقطة وحيدة.

    8. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان الهندسة في الفضاء، الحل الوحيد هو الرسم والتخيل والتدريب على المسائل. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • ثلاث نقاط غير مستقيمية تُحدد مستوى وحيداً — للتحقق، نتأكد أن المتجهتين غير مرتبطتين خطياً.
    • المستقيمان المتخالفان مفهوم خاص بالفضاء — هما غير متوازيين ولا متقاطعين ولا يُوجدان في نفس المستوى.
    • مبرهنة الحجرة أداة قوية لإثبات التوازي في المسائل المعقدة.
    • لإثبات تعامد مستقيم مع مستوى: يكفي إثبات تعامده مع مستقيمين متقاطعين من المستوى.
    • التمثيل البارامتري يُحول المسائل الهندسية إلى مسائل جبرية (أنظمة معادلات).
    • الرسم ثلاثي الأبعاد ضروري — تعلم رسم المكعب ومتوازي المستطيلات بمنظور صحيح.

    "الفضاء يبدأ حيث ينتهي المستوى. بالتوفيق في فروضك المحروسة!" 🚀