مقدمة: ما هي الدالة العددية؟

الدالة العددية هي علاقة تربط كل عنصر من مجموعة انطلاق (المجال) بعنصر واحد فقط من مجموعة وصول (المستقر). في هذا الدرس، نركز على الدوال التي يكون مجالها ومستقرها مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ).

1. تعريف الدالة العددية وتمثيلها

تُعرّف الدالة f غالبًا بواسطة صيغة تربط المتغير x (العنصر في مجموعة الانطلاق) بالمتغير f(x) (العنصر المقابل في مجموعة الوصول).

• المجال (Ensemble de définition): هو أكبر مجموعة جزئية من ℝ يمكن للدالة f أن تأخذ قيمًا فيها. يُرمز له بـ D_f.
• التمثيل المبياني (Représentation graphique): هو مجموعة النقط (x, f(x)) في معلم متعامد ممنظم (repère).

أمثلة على مجالات الدوال:

• الدالة f(x) = 2x + 1: مجالها هو ℝ (جميع الأعداد الحقيقية).
• الدالة g(x) = 1/x: مجالها هو ℝ* (جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر).
• الدالة h(x) = √(x): مجالها هو [0, +∞[ (جميع الأعداد الحقيقية الموجبة أو الصفر).

2. تغيرات دالة (Variations d'une Fonction)

دراسة تغيرات الدالة تعني تحديد فترات تزايدها (croissance) وتناقصها (décroissance).

• دالة متزايدة (Fonction croissante): إذا كان لكل x₁ و x₂ في مجال الدالة، بحيث x₁ < x₂، فإن f(x₁) ≤ f(x₂).
• دالة متناقصة (Fonction décroissante): إذا كان لكل x₁ و x₂ في مجال الدالة، بحيث x₁ < x₂، فإن f(x₁) ≥ f(x₂).
• دالة رتيبة (Fonction monotone): تكون إما متزايدة تمامًا أو متناقصة تمامًا على مجال معين.

يمكن تحديد هذه التغيرات غالبًا من خلال دراسة إشارة المشتقة (si elle existe) أو باستخدام التعريف.

أمثلة على التغيرات:

• الدالة الخطية f(x) = 2x + 1 (معامل x موجب) متزايدة على ℝ.
• الدالة g(x) = -x + 3 (معامل x سالب) متناقصة على ℝ.
• الدالة h(x) = x²: متناقصة على ]-∞, 0] ومتزايدة على [0, +∞[.

3. الدوال المرجعية (Fonctions Usuelles)

هناك دوال أساسية تُدرس خصائصها وتُستخدم كثيرًا:

• الدالة الخطية (f(x) = ax + b): تمثيلها البياني مستقيم.
• الدالة المربع (f(x) = x²): تمثيلها البياني قطع مكافئ (parabole) رأسه في (0,0) ومفتوح للأعلى.
• الدالة المقلوب (f(x) = 1/x): تمثيلها البياني قطع زائد (hyperbole) في الربعين الأول والثالث.
• دالة الجذر التربيعي (f(x) = √x): معرفة فقط على [0, +∞[، وتمثيلها البياني هو نصف قطع مكافئ.

4. زوجية وفردية الدوال (Parité d'une Fonction)

تتعلق هذه الخاصية بتناظر التمثيل المبياني للدالة بالنسبة لمحور التراتيب أو مبدأ المعلم.

• دالة زوجية (Fonction paire): إذا كان f(-x) = f(x) لكل x في مجالها. تمثيلها البياني متناظر بالنسبة لمحور (y'y). مثال: f(x) = x².
• دالة فردية (Fonction impaire): إذا كان f(-x) = -f(x) لكل x في مجالها. تمثيلها البياني متناظر بالنسبة لمبدأ المعلم (0,0). مثال: f(x) = x³، f(x) = 1/x.

تمارين محلولة

تمرين 1: تحديد المجال ودراسة تغيرات دالة خطية

لتكن الدالة f(x) = -3x + 5.

• المجال: D_f = ℝ.
• التغيرات: بما أن معامل x سالب (-3)، فالدالة f متناقصة تمامًا على ℝ.
• التمثيل المبياني: مستقيم معادلته y = -3x + 5.

تمرين 2: دراسة دالة مربع

لتكن الدالة g(x) = x².

• المجال: D_g = ℝ.
• التغيرات: g متناقصة على ]-∞, 0] و متزايدة على [0, +∞[.
• التمثيل المبياني: قطع مكافئ رأسه (0,0).
• الزوجية/الفردية: g(-x) = (-x)² = x² = g(x). إذن، g دالة زوجية.

تمرين 3: إيجاد مجال دالة جذر تربيعي

لتكن الدالة h(x) = √(x - 2).

• لكي تكون الدالة معرفة، يجب أن يكون ما تحت الجذر موجبًا أو صفرًا: x - 2 ≥ 0.
• هذا يعني x ≥ 2.
• المجال: D_h = [2, +∞[.

مصادر إضافية للمعرفة والتعلم

لتعميق فهمك للدوال العددية، يمكنك الرجوع إلى:

إذا تعذر ظهور المعاينة، يمكنك تحميل ملف PDF مباشرة باستخدام الزر أسفل الإطار.

خاتمة: فهم أساسيات التحليل

• الدوال العددية هي لبنة أساسية في دراسة التحليل الرياضي.
• فهم المجال، التغيرات، والتمثيل البياني يساعد في تحليل سلوك الدوال.
• الدوال المرجعية والخصائص مثل الزوجية والفردية تُسهل دراسة الدوال المعقدة.