Notions de logiques 1BAC

~5 دقائق قراءة الأولى-باك
جدول المحتويات
    🧠⚖️

    مفاهيم المنطق — Notions de logique

    المستوى الدراسي: الأولى باكالوريا علوم (1BAC)  |  المادة: الرياضيات

    المنطق الرياضي هو أساس كل البراهين والاستدلالات في الرياضيات. في هذا الدرس، سنتعلم كيف نبني العبارات المنطقية، نستخدم الروابط والكموميات، ونتقن طرق البرهان المختلفة التي ستُرافقك في كل دروس السنة الأولى باكالوريا وما بعدها.

    1. العبارات والقيم المنطقية (Propositions et valeurs logiques)

    🔹 تعريف العبارة (Proposition)

    العبارة هي كل خبر (جملة خبرية) يمكن أن نُسند إليه قيمة حقيقة واحدة: إما صحيح (Vrai - V) أو خاطئ (Faux - F).

    🔹 أمثلة توضيحية

    ✅ عبارات (Propositions)

    • "2 + 3 = 5" ← صحيح (V)
    • "العدد 7 زوجي" ← خاطئ (F)
    • "π عدد نسبي" ← خاطئ (F)
    • "المغرب بلد إفريقي" ← صحيح (V)

    ❌ ليست عبارات

    • "x + 3 = 7" ← مفتوحة (تعتمد على x)
    • "ما اسمك؟" ← سؤال (ليس خبراً)
    • "أغلق الباب!" ← أمر (ليس خبراً)
    • "الطقس جميل" ← ذاتي (لا قيمة حقيقة مطلقة)
    💡 ملاحظة مهمة: العبارة التي تحتوي على متغير (مثل x + 3 = 7) تُسمى عبارة مفتوحة (Proposition ouverte) أو دالة propositional. لا يمكن تحديد قيمتها المنطقية إلا بعد تعويض المتغير.

    2. الروابط المنطقية (Connecteurs logiques)

    الروابط المنطقية تسمح لنا ببناء عبارات مركبة من عبارات بسيطة. لكل رابط جدول حقيقة يحدد القيمة المنطقية للعبارة المركبة.

    🔹 النفي (Négation) — ¬P أو non P

    نفي العبارة P هو عبارة تكون صحيحة إذا كانت P خاطئة، وخاطئة إذا كانت P صحيحة.

    P ¬P
    V F
    F V

    🔹 العطف (Conjonction) — P ∧ Q أو P et Q

    العطف P ∧ Q يكون صحيحاً إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين صحيحتين.

    P Q P ∧ Q
    V V V
    V F F
    F V F
    F F F

    🔹 الفصل (Disjonction) — P ∨ Q أو P ou Q

    الفصل P ∨ Q يكون صحيحاً إذا كانت على الأقل إحدى العبارتين صحيحة.

    P Q P ∨ Q
    V V V
    V F V
    F V V
    F F F

    🔹 الاستلزام (Implication) — P ⇒ Q

    الاستلزام P ⇒ Q يكون خاطئاً فقط إذا كانت P صحيحة وQ خاطئة. في جميع الحالات الأخرى يكون صحيحاً.

    P Q P ⇒ Q
    V V V
    V F F
    F V V
    F F V
    ⚠️ فخ شائع: إذا كانت الفرضية P خاطئة، فإن الاستلزام P ⇒ Q يكون صحيحاً دائماً بغض النظر عن قيمة Q! هذا يسمى "الاستلزام الفارغ".

    🔹 التكافؤ (Équivalence) — P ⇔ Q

    التكافؤ P ⇔ Q يكون صحيحاً إذا كانت P وQ لهما نفس القيمة المنطقية.

    P Q P ⇔ Q
    V V V
    V F F
    F V F
    F F V

    💡 التكافؤ = استلزامان: (P ⇔ Q) = (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

    3. القوانين المنطقية المهمة (Lois logiques importantes)

    🔹 العكس بالضد (Contraposée)

    الاستلزام P ⇒ Q يكافئ منطقياً عكسه بالضد:

    (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)

    💡 هذه القاعدة أساسية في البراهين! أحياناً يكون إثبات ¬Q ⇒ ¬P أسهل من إثبات P ⇒ Q.

    🔹 قوانين دي مورغان (Lois de De Morgan)

    نفي العطف

    ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P) ∨ (¬Q)

    "ليس (P و Q)" = "ليس P أو ليس Q"

    نفي الفصل

    ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P) ∧ (¬Q)

    "ليس (P أو Q)" = "ليس P وليس Q"

    🔹 نفي الاستلزام

    ¬(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ (¬Q)

    نفي الاستلزام = الفرضية صحيحة و النتيجة خاطئة

    4. الكموميات (Quantificateurs)

    الكموميات تسمح لنا بالتعبير عن خصائص مجموعة من العناصر دفعة واحدة بدلاً من ذكر كل عنصر.

    🔹 الكمومي الشامل (Quantificateur universel) — ∀

    الرمز ∀ يعني "لكل" أو "مهما كان" (pour tout / quel que soit).

    ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

    "لكل عدد حقيقي x، مربع x أكبر من أو يساوي 0" ← عبارة صحيحة ✓

    🔹 الكمومي الوجودي (Quantificateur existentiel) — ∃

    الرمز ∃ يعني "يوجد" أو "هناك" (il existe).

    ∃x ∈ ℝ, x² = 4

    "يوجد عدد حقيقي x حيث مربع x يساوي 4" ← عبارة صحيحة ✓ (مثلاً x = 2)

    🔹 الكمومي الوجودي الوحيد — ∃!

    الرمز ∃! يعني "يوجد وحيد" (il existe un unique).

    ∃!x ∈ ℝ, 2x + 3 = 7

    "يوجد عدد حقيقي وحيد x حيث 2x + 3 = 7" ← عبارة صحيحة ✓ (x = 2 هو الحل الوحيد)

    🔹 نفي العبارات المكممة

    عند نفي عبارة مكممة، نعكس الكمومي:

    نفي ∀ يصبح ∃

    ¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x)

    "ليس صحيحاً أن كل x تحقق P" = "يوجد x لا تحقق P"

    نفي ∃ يصبح ∀

    ¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x)

    "لا يوجد x تحقق P" = "كل x لا تحقق P"

    ⚠️ تنبيه مهم — ترتيب الكموميات:

    ∀x ∃y لا تكافئ ∃y ∀x!
    مثال: "لكل شخص، يوجد كتاب يحبه" ≠ "يوجد كتاب يحبه كل الناس".

    5. طرق البرهان (Méthodes de démonstration)

    🔹 البرهان المباشر (Démonstration directe)

    المبدأ: نبدأ من الفرضيات ونستخدم القواعد والتعريفات للوصول إلى النتيجة مباشرة.

    مثال: أثبت أن مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي.

    البرهان:

    • ليكن a وb عددين زوجيين.
    • إذن a = 2k وb = 2m حيث k, m ∈ ℤ.
    • a + b = 2k + 2m = 2(k + m)
    • بما أن k + m ∈ ℤ، فإن a + b مضاعف لـ 2، أي أنه زوجي. ✓

    🔹 البرهان بالعكس بالضد (Contraposée)

    المبدأ: لإثبات P ⇒ Q، نثبت بدلاً من ذلك ¬Q ⇒ ¬P.

    مثال: أثبت أنه إذا كان n² زوجياً، فإن n زوجي.

    البرهان (بالعكس بالضد):

    • نفترض أن n غير زوجي (أي فردي).
    • إذن n = 2k + 1 حيث k ∈ ℤ.
    • n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
    • إذن n² فردي (غير زوجي).
    • أثبتنا: n فردي ⇒ n² فردي ✓
    • وهذا يكافئ: n² زوجي ⇒ n زوجي ✓

    🔹 البرهان بالخلف / بالتناقض (Raisonnement par l'absurde)

    المبدأ: لإثبات أن عبارة P صحيحة، نفترض أنها خاطئة (¬P)، ثم نصل إلى تناقض، فنستنتج أن P صحيحة.

    مثال: أثبت أن √2 عدد غير نسبي.

    البرهان (بالخلف):

    • نفترض أن √2 نسبي.
    • إذن √2 = a/b حيث a, b ∈ ℤ وb ≠ 0 والكسر غير قابل للاختزال.
    • 2 = a²/b² ⇒ a² = 2b²
    • إذن a² زوجي ⇒ a زوجي ⇒ a = 2k.
    • (2k)² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ b² = 2k²
    • إذن b² زوجي ⇒ b زوجي.
    • تناقض! قلنا أن a/b غير قابل للاختزال، لكن a وb كلاهما زوجيان.
    • إذن فرضيتنا خاطئة، و√2 غير نسبي. ✓

    🔹 البرهان بمثال أو بمثال مضاد

    ✅ البرهان بمثال

    لإثبات ∃x, P(x)، يكفي إعطاء مثال واحد يحقق P.

    مثال: "يوجد عدد أولي زوجي" ← نثبت ذلك بمثال: 2.

    ❌ المثال المضاد

    لدحض ∀x, P(x)، يكفي إعطاء مثال مضاد واحد لا يحقق P.

    مثال: لدحض "كل الأعداد الأولية فردية" ← مثال مضاد: 2.

    6. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: جداول الحقيقة

    أنشئ جدول الحقيقة للعبارة: (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q)

    الحل:

    P Q ¬P P ⇒ Q ¬P ∨ Q (P⇒Q) ⇔ (¬P∨Q)
    V V F V V V
    V F F F F V
    F V V V V V
    F F V V V V
    ✅ الاستنتاج: العبارة (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) صحيحة دائماً (لجميع القيم الممكنة)، إذن هي قانون منطقي (Tautologie).

    📝 تمرين 2: نفي العبارات المكممة

    اكتب نفي العبارات التالية:
    1) ∀x ∈ ℝ, x² > 0
    2) ∃x ∈ ℕ, x² = x + 1
    3) ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y = 0

    الحل:

    1) نفي ∀x ∈ ℝ, x² > 0:

    ∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0

    "يوجد عدد حقيقى x حيث x² أصغر من أو يساوي 0" ← صحيح (مثلاً x = 0)

    2) نفي ∃x ∈ ℕ, x² = x + 1:

    ∀x ∈ ℕ, x² ≠ x + 1

    "لكل عدد طبيعي x، x² لا يساوي x + 1"

    3) نفي ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y = 0:

    ∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y ≠ 0

    "يوجد عدد حقيقي x بحيث لكل y، x + y لا يساوي 0"

    📝 تمرين 3: البرهان المباشر

    أثبت أنه لكل n ∈ ℕ، إذا كان n فردياً، فإن n² فردي.

    الحل (برهان مباشر):

    ليكن n ∈ ℕ عدداً فردياً.
    إذن ∃k ∈ ℕ حيث n = 2k + 1
    n² = (2k + 1)²
        = 4k² + 4k + 1
        = 2(2k² + 2k) + 1
    نضع m = 2k² + 2k ∈ ℕ
    n² = 2m + 1
    ✅ الاستنتاج: n² على شكل 2m + 1 حيث m ∈ ℕ، إذن n² فردي.

    📝 تمرين 4: البرهان بالخلف (بالناقض)

    أثبت أنه لا يوجد عددان صحيحان a وb بحيث a² - b² = 2023.

    الحل (بالخلف):

    نفترض بالعكس أنه يوجد a, b ∈ ℤ بحيث a² - b² = 2023.

    a² - b² = (a - b)(a + b) = 2023
    لاحظ أن (a - b) و (a + b) لهما نفس الزوجية:
    (a + b) + (a - b) = 2a (زوجي دائماً)
    إذن إما كلاهما زوجي أو كلاهما فردي.

    الحالة 1: كلاهما زوجي

    (a - b)(a + b) = (2p)(2q) = 4pq
    إذن a² - b² يقبل القسمة على 4
    لكن 2023 = 4 × 505 + 3 (لا يقبل القسمة على 4) ❌

    الحالة 2: كلاهما فردي

    (a - b)(a + b) = (2p+1)(2q+1) = فردي
    2023 فردي ✓ (هذه الحالة ممكنة)
    لكن: (a+b) - (a-b) = 2b (زوجي)
    فردي - فردي = زوجي ✓

    لندرس القواسم: 2023 = 7 × 17²

    القواسم الموجبة: 1, 7, 17, 119, 289, 2023
    نحتاج (a-b)(a+b) = 2023 مع a-b و a+b لهما نفس الزوجية
    الأزواج الممكنة: (1, 2023), (7, 289)
    لكل زوج: a = ((a+b)+(a-b))/2 و b = ((a+b)-(a-b))/2
    الزوج (1, 2023): a = 1012, b = 1011 ← a²-b² = 2023 ✓
    ⚠️ تصحيح: في الواقع يوجد حل! a = 1012, b = 1011 يحققان المعادلة. العبارة الأصلية خاطئة، وهذا مثال مضاد يثبت ذلك.

    7. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان المنطق الرياضي، يجب التدريب على: بناء جداول الحقيقة، نفي العبارات المكممة، وتطبيق طرق البرهان المختلفة. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • العبارة يجب أن تكون خبراً قابلاً للتقييم (صحيح أو خاطئ) — الأسئلة والأوامر ليست عبارات.
    • الاستلزام P ⇒ Q يكون خاطئاً فقط عندما P صحيحة وQ خاطئة.
    • العكس بالضد: (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) — أداة قوية جداً في البراهين.
    • نفي الكموميات: ∀ تصبح ∃ والعكس صحيح.
    • طرق البرهان: المباشر (من الفرض إلى النتيجة)، بالعكس بالضد، بالخلف (بالتناقض)، وبالمثال المضاد (لدحض عبارة شاملة).
    • المثال المضاد يكفي لدحض عبارة من نوع ∀x, P(x) — مثال واحد يكفي!

    "المنطق هو فن التفكير بوضوح. بالتوفيق في فروضك المحروسة!" 🚀