الرياضيات — الأولى إعدادي 1AC
العمليات على الأعداد العشرية النسبية Opérations sur les Nombres Décimaux Relatifs
يقدم هذا الدرس مفهوم الأعداد العشرية النسبية والعمليات الأربع عليها: الجمع والطرح والضرب والقسمة. ستتعلم قواعد الإشارات، ترتيب العمليات، وكيفية حل المسائل التطبيقية باستخدام هذه الأعداد مع أمثلة محلولة وتمارين شاملة.
1. تعريف الأعداد العشرية النسبية
ما هي الأعداد العشرية النسبية؟
الأعداد العشرية النسبية هي مجموعة الأعداد التي تشمل:
- الأعداد الطبيعية: 0، 1، 2، 3، 4...
- الأعداد الصحيحة السالبة: -1، -2، -3، -4...
- الأعداد العشرية الموجبة: 1.5، 2.3، 0.7...
- الأعداد العشرية السالبة: -1.5، -2.3، -0.7...
📌 ملاحظة: نرمز لمجموعة الأعداد العشرية النسبية بالرمز 𝔻.
كتابة الأعداد العشرية النسبية
يمكن كتابة العدد العشري النسبي بعدة طرق:
أمثلة
- +3.7 أو 3.7 (العدد موجب)
- -2.5 (العدد سالب)
- 0 (العدد صفر)
- -0.25 (عدد عشري سالب)
قاعدة الإشارة:
- إذا لم تُكتب الإشارة، فالعدد موجب
- العدد صفر ليس له إشارة (ليس موجباً ولا سالباً)
2. الجمع والطرح
جمع عددين لهما نفس الإشارة
نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة المشتركة
أمثلة
- (+3.2) + (+1.5) = +4.7
- (-2.3) + (-1.4) = -3.7
- (+5) + (+2.6) = +7.6
- (-1.2) + (-0.8) = -2
جمع عددين لهما إشارتان مختلفتان
نطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر ونأخذ إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر
أمثلة
- (+5.3) + (-2.1) = +3.2
- (-4.5) + (+1.7) = -2.8
- (+3) + (-3) = 0
- (-6.2) + (+6.2) = 0
طرح الأعداد العشرية النسبية
طرح عدد = جمع معكوسه (نقيضه)
a - b = a + (-b)
أمثلة
- (+7.5) - (+3.2) = (+7.5) + (-3.2) = +4.3
- (+4.1) - (-2.3) = (+4.1) + (+2.3) = +6.4
- (-5.7) - (+1.4) = (-5.7) + (-1.4) = -7.1
- (-3.2) - (-5.8) = (-3.2) + (+5.8) = +2.6
3. الضرب والقسمة
ضرب الأعداد العشرية النسبية
قواعد الإشارات في الضرب
| إشارة العدد الأول | إشارة العدد الثاني | إشارة النتيجة |
|---|---|---|
| + | + | + |
| - | - | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
قاعدة سهلة للحفظ:
إشارتان متشابهتان ← نتيجة موجبة (+)
إشارتان مختلفتان ← نتيجة سالبة (-)
أمثلة على الضرب
- (+2.5) × (+3.2) = +8
- (-1.5) × (-4) = +6
- (+3.6) × (-2.5) = -9
- (-2.4) × (+1.25) = -3
قسمة الأعداد العشرية النسبية
قواعد الإشارات في القسمة هي نفسها في الضرب.
أمثلة على القسمة
- (+8.4) ÷ (+2.1) = +4
- (-9.6) ÷ (-3.2) = +3
- (+7.5) ÷ (-2.5) = -3
- (-12.8) ÷ (+3.2) = -4
⚠️ تحذير: لا يمكن القسمة على الصفر. القسمة على صفر غير معرفة رياضياً.
4. ترتيب العمليات الحسابية
أولويات العمليات
عند وجود عدة عمليات في نفس العبارة، نتبع الترتيب التالي:
- الأقواس ( ) أولاً
- الضرب × والقسمة ÷ ثانياً
- الجمع + والطرح - أخيراً
ملاحظة: إذا كانت العمليات لها نفس الأولوية (مثل + و-، أو × و÷)، نحسبها من اليسار إلى اليمين.
مثال محلول
احسب: 15 - 3 × 2 + 8 ÷ 4
الحل:
- أولاً نحسب الضرب والقسمة: 3 × 2 = 6 و 8 ÷ 4 = 2
- تصبح العبارة: 15 - 6 + 2
- نحسب من اليسار إلى اليمين: 15 - 6 = 9
- ثم: 9 + 2 = 11
مثال بأقواس
احسب: (5 + 3) × (-2) - 4
الحل:
- أولاً نحسب ما في الأقواس: (5 + 3) = 8
- تصبح العبارة: 8 × (-2) - 4
- نحسب الضرب: 8 × (-2) = -16
- تصبح العبارة: -16 - 4
- النتيجة: -16 - 4 = -20
5. القيمة المطلقة
تعريف القيمة المطلقة
القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بين هذا العدد والصفر على مستقيم الأعداد. نرمز لها بـ |a|.
قاعدة:
|a| = a إذا كان a ≥ 0
|a| = -a إذا كان a < 0
أمثلة
- |+5.3| = 5.3
- |-7.2| = 7.2
- |0| = 0
- |+3| = 3
- |-2.5| = 2.5
6. أمثلة محلولة متنوعة
المثال الأول: جمع وطرح
احسب: A = (-3.5) + (+2.7) - (-1.8)
الحل:
- A = (-3.5) + (+2.7) + (+1.8)
- A = (-3.5) + (2.7 + 1.8)
- A = (-3.5) + (+4.5)
- A = +1
المثال الثاني: ضرب وقسمة
احسب: B = (-4.2) × (+1.5) ÷ (-0.9)
الحل:
- أولاً: (-4.2) × (+1.5) = -6.3
- ثم: (-6.3) ÷ (-0.9) = +7
- B = +7
المثال الثالث: عبارة مركبة
احسب: C = 5 × (-2) + 3 × (4 - 7)
الحل:
- أولاً نحسب ما في الأقواس: (4 - 7) = -3
- C = 5 × (-2) + 3 × (-3)
- نحسب الضرب: 5 × (-2) = -10 و 3 × (-3) = -9
- C = (-10) + (-9)
- C = -19
المثال الرابع: مع القيمة المطلقة
احسب: D = |3 - 7| + |-2.5|
الحل:
- |3 - 7| = |-4| = 4
- |-2.5| = 2.5
- D = 4 + 2.5
- D = 6.5
7. مسائل تطبيقية
مسألة الحرارة
كانت درجة الحرارة صباحاً +3.5°C، ثم انخفضت 8.2°C في المساء، وارتفعت 2.7°C في الليل. ما درجة الحرارة النهائية؟
الحل:
- درجة الحرارة النهائية = 3.5 - 8.2 + 2.7
- = 3.5 + 2.7 - 8.2
- = 6.2 - 8.2
- = -2°C
مسألة الحساب البنكي
كان لدى أحمد في حسابه البنكي +250.5 درهم. قام بعمليتي سحب: 180.3 درهم و95.7 درهم، ثم أودع 120 درهم. ما الرصيد النهائي؟
الحل:
- الرصيد النهائي = 250.5 - 180.3 - 95.7 + 120
- = 250.5 + 120 - 180.3 - 95.7
- = 370.5 - 276
- = +94.5 درهم
8. تمارين تطبيقية
التمرين الأول
احسب ما يلي:
- a) (+3.7) + (-1.2)
- b) (-5.4) + (+2.8)
- c) (-2.6) - (+1.9)
- d) (+4.1) - (-2.3)
عرض الحل
- a) (+3.7) + (-1.2) = +2.5
- b) (-5.4) + (+2.8) = -2.6
- c) (-2.6) - (+1.9) = (-2.6) + (-1.9) = -4.5
- d) (+4.1) - (-2.3) = (+4.1) + (+2.3) = +6.4
التمرين الثاني
احسب ما يلي:
- a) (-2.5) × (+3.2)
- b) (-1.8) × (-4.5)
- c) (+9.6) ÷ (-2.4)
- d) (-12.8) ÷ (-3.2)
عرض الحل
- a) (-2.5) × (+3.2) = -8
- b) (-1.8) × (-4.5) = +8.1
- c) (+9.6) ÷ (-2.4) = -4
- d) (-12.8) ÷ (-3.2) = +4
التمرين الثالث
احسب: A = 2 × (-3) + 4 × (5 - 8)
عرض الحل
- أولاً: (5 - 8) = -3
- A = 2 × (-3) + 4 × (-3)
- A = -6 + (-12)
- A = -18
التمرين الرابع
احسب: B = |(-2.5) + (+1.7)| - |-3.2|
عرض الحل
- (-2.5) + (+1.7) = -0.8
- |(-0.8)| = 0.8
- |-3.2| = 3.2
- B = 0.8 - 3.2
- B = -2.4
9. خلاصة الدرس
- الأعداد العشرية النسبية تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر
- في الجمع: نفس الإشارة ← نجمع ونحتفظ بالإشارة
- في الجمع: إشارة مختلفة ← نطرح ونأخذ إشارة الأكبر
- الطرح = جمع المعكوس (النقيض)
- في الضرب والقسمة: نفس الإشارة ← نتيجة موجبة
- في الضرب والقسمة: إشارة مختلفة ← نتيجة سالبة
- ترتيب العمليات: الأقواس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح
- القيمة المطلقة |a| هي المسافة من الصفر
10. ملف الدرس والفيديو
بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.
إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفله.
أسئلة شائعة
كيف أحفظ قواعد الإشارات بسهولة؟
قاعدة بسيطة:
- إشارة + إشارة = إشارة (نفس الإشارة)
- إشارة - إشارة = + (إشارات مختلفة)
ما الفرق بين (-5) × 3 و -5 × 3؟
لا يوجد فرق. كلاهما يساوي -15. الأقواس توضح أن الإشارة السالبة جزء من العدد.
لماذا (-3) × (-2) = +6؟
لأن ضرب إشارتين سالبتين ينتج إشارة موجبة. تذكر: "سالب × سالب = موجب".
كيف أحسب |-5| + |3|؟
|-5| = 5 و|3| = 3، إذن |-5| + |3| = 5 + 3 = 8
Commentaires
Publier un commentaire