الرياضيات — الأولى إعدادي 1AC
الموشور القائم والأسطوانة الدورانية Prisme Droit et Cylindre de Révolution
يقدم هذا الدرس مفهوم الموشور القائم والأسطوانة الدورانية، وطريقة حساب المساحة الجانبية والمساحة الكلية والحجم لكل منهما. ستتعلم التعرف على عناصرهما الأساسية، وتوظيف الصيغ الرياضية في حل المسائل، مع أمثلة محلولة وتمارين تطبيقية.
1. تعريف الموشور القائم
الموشور القائم هو مجسم له قاعدتان متقايستان ومتوازيتان على شكل مضلع، وأوجه جانبية على شكل مستطيلات عمودية على القاعدتين.
عناصر الموشور القائم
- القاعدتان: مضلعان متقايسان ومتوازيان (مثلث، مربع، خماسي...)
- الأوجه الجانبية: مستطيلات عددها يساوي عدد أضلاع القاعدة
- الأحرف: قطع مستقيمة تربط بين رؤوس المجسم
- الارتفاع: المسافة العمودية بين القاعدتين
📌 أمثلة:
- موشور قائم قاعدته مثلث = موشور ثلاثي
- موشور قائم قاعدته مربع أو مستطيل = متوازي مستطيلات
- موشور قائم قاعدته خماسي = موشور خماسي
أنواع الموشورات حسب القاعدة
| شكل القاعدة | اسم الموشور | عدد الأوجه الجانبية |
|---|---|---|
| مثلث | موشور ثلاثي | 3 |
| مربع أو مستطيل | متوازي مستطيلات | 4 |
| خماسي | موشور خماسي | 5 |
| سداسي | موشور سداسي | 6 |
2. صيغ الموشور القائم
المساحة الجانبية
المساحة الجانبية للموشور القائم تساوي مجموع مساحات الأوجه الجانبية (المستطيلات):
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + (2 × مساحة القاعدة)
الحجم
حجم الموشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
مثال محلول: موشور قاعدته مربع
موشور قائم قاعدته مربع طول ضلعه 4 سم وارتفاع الموشور 10 سم. احسب:
- المساحة الجانبية
- المساحة الكلية
- الحجم
الحل:
- محيط القاعدة = 4 × 4 = 16 سم
- مساحة القاعدة = 4 × 4 = 16 سم²
- المساحة الجانبية = 16 × 10 = 160 سم²
- المساحة الكلية = 160 + (2 × 16) = 160 + 32 = 192 سم²
- الحجم = 16 × 10 = 160 سم³
3. تعريف الأسطوانة الدورانية
الأسطوانة الدورانية (أو الأسطوانة القائمة) هي مجسم يتكون من قاعدتين دائريتين متقايستين ومتوازيتين، ووجه جانبي منحنٍ عمودي على القاعدتين.
عناصر الأسطوانة
- القاعدتان: دائرتان متقايستان ومتوازيتان، لهما نفس نصف القطر r
- الوجه الجانبي: سطح منحنٍ يربط بين القاعدتين
- الارتفاع (h): المسافة العمودية بين القاعدتين
- نصف القطر (r): نصف قطر القاعدة الدائرية
- القطر (d): d = 2r
📌 ملاحظة: إذا قطعنا الوجه الجانبي للأسطوانة وفتحناه، نحصل على مستطيل طوله يساوي محيط القاعدة (2πr) وعرضه يساوي ارتفاع الأسطوانة (h).
4. صيغ الأسطوانة الدورانية
المساحة الجانبية
المساحة الجانبية للأسطوانة تساوي مساحة المستطيل الناتج عن فتح الوجه الجانبي:
المساحة الجانبية = 2πr × h
أو
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + (2 × مساحة القاعدة)
= 2πrh + 2πr²
= 2πr(h + r)
الحجم
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
V = πr² × h
تذكير: π (باي) ≈ 3.14 أو 22/7
- محيط الدائرة = 2πr
- مساحة الدائرة = πr²
5. أمثلة محلولة
المثال الأول: موشور ثلاثي
موشور قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية، ضلعاه القائمان يقيسان 3 سم و4 سم، وارتفاع الموشور 8 سم. احسب حجمه.
الحل:
- مساحة القاعدة (مثلث قائم) = (3 × 4) ÷ 2 = 6 سم²
- حجم الموشور = 6 × 8 = 48 سم³
المثال الثاني: أسطوانة
أسطوانة نصف قطر قاعدتها 5 سم وارتفاعها 12 سم. احسب (π ≈ 3.14):
- المساحة الجانبية
- المساحة الكلية
- الحجم
الحل:
- المساحة الجانبية = 2 × 3.14 × 5 × 12 = 376.8 سم²
- مساحة القاعدة = 3.14 × 5² = 78.5 سم²
- المساحة الكلية = 376.8 + (2 × 78.5) = 376.8 + 157 = 533.8 سم²
- الحجم = 3.14 × 5² × 12 = 3.14 × 25 × 12 = 942 سم³
المثال الثالث: حساب عكسي
أسطوانة حجمها 314 سم³ وارتفاعها 4 سم. أوجد نصف قطر قاعدتها (π ≈ 3.14).
الحل:
نعلم أن: V = πr²h
- 314 = 3.14 × r² × 4
- 314 = 12.56 × r²
- r² = 314 ÷ 12.56 = 25
- r = √25 = 5 سم
6. مقارنة بين الموشور والأسطوانة
| الخاصية | الموشور القائم | الأسطوانة الدورانية |
|---|---|---|
| شكل القاعدة | مضلع (مثلث، مربع...) | دائرة |
| الأوجه الجانبية | مستطيلات مستوية | سطح منحنٍ واحد |
| المساحة الجانبية | محيط القاعدة × الارتفاع | 2πr × h |
| الحجم | مساحة القاعدة × الارتفاع | πr² × h |
نقطة مشتركة: كل من الموشور القائم والأسطوانة الدورانية يحسب حجمهما بنفس الطريقة: مساحة القاعدة × الارتفاع.
7. تمارين تطبيقية
التمرين الأول
موشور قائم قاعدته مستطيل أبعاده 6 سم و8 سم، وارتفاعه 10 سم. احسب حجمه.
عرض الحل
- مساحة القاعدة = 6 × 8 = 48 سم²
- الحجم = 48 × 10 = 480 سم³
التمرين الثاني
أسطوانة قطر قاعدتها 10 سم وارتفاعها 7 سم. احسب مساحتها الجانبية (π = 3.14).
عرض الحل
- نصف القطر r = 10 ÷ 2 = 5 سم
- المساحة الجانبية = 2 × 3.14 × 5 × 7
- = 219.8 سم²
التمرين الثالث
موشور قائم قاعدته مثلث متساوي الساقين، قاعدته 6 سم وارتفاعه 4 سم، وارتفاع الموشور 9 سم. احسب حجمه.
عرض الحل
- مساحة القاعدة (المثلث) = (6 × 4) ÷ 2 = 12 سم²
- حجم الموشور = 12 × 9 = 108 سم³
التمرين الرابع
أسطوانة مساحتها الكلية 942 سم² ونصف قطرها 5 سم. أوجد ارتفاعها (π = 3.14).
عرض الحل
المساحة الكلية = 2πr(h + r)
- 942 = 2 × 3.14 × 5 × (h + 5)
- 942 = 31.4 × (h + 5)
- h + 5 = 942 ÷ 31.4 = 30
- h = 30 − 5 = 25 سم
8. خلاصة الدرس
- الموشور القائم له قاعدتان مضلعتان متقايستان ومتوازيتان
- الأسطوانة الدورانية لها قاعدتان دائريتان متقايستان ومتوازيتان
- المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع (للموشور والأسطوانة)
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + (2 × مساحة القاعدة)
- الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع (للموشور والأسطوانة)
- للأسطوانة: V = πr²h والمساحة الجانبية = 2πrh
9. ملف الدرس والفيديو
بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.
إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفله.
Commentaires
Publier un commentaire