PUISSANCES

~5 دقائق قراءة الأولى-إعدادي
جدول المحتويات
    درس القوى للأولى إعدادي
    درس القوى للأولى إعدادي

    الرياضيات — الأولى إعدادي 1AC

    القوى Les Puissances

    يقدم هذا الدرس مفهوم القوى وكيفية كتابة الأعداد الكبيرة والصغيرة باستعمالها. ستتعلم خصائص القوى، العمليات عليها (الضرب، القسمة، قوة القوة)، والكتابة العلمية للأعداد. يتضمن الدرس أمثلة محلولة وتمارين تطبيقية لإتقان جميع المفاهيم.

    1. تعريف القوى

    ما هي القوة؟

    القوة هي طريقة مختصرة لكتابة ضرب عدد في نفسه عدة مرات.

    an = a × a × a × ... × a

    (n مرة)

    حيث:

    • a يسمى الأساس أو القاعدة
    • n يسمى الأس أو المؤشر
    • an يقرأ: "a قوة n" أو "a أس n"

    أمثلة

    • 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
    • 5² = 5 × 5 = 25
    • 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
    • 10² = 10 × 10 = 100

    حالات خاصة

    قواعد مهمة:

    • a¹ = a (أي عدد أس 1 يساوي العدد نفسه)
    • a⁰ = 1 (أي عدد غير صفر أس 0 يساوي 1)
    • 1ⁿ = 1 (العدد 1 أس أي عدد يساوي 1)

    تطبيق القواعد

    • 7¹ = 7
    • 5⁰ = 1
    • 1¹⁰ = 1
    • (-3)⁰ = 1

    2. قوى العدد 10

    قوى العدد 10 مهمة جداً لأنها تساعد في كتابة الأعداد الكبيرة والصغيرة بطريقة مبسطة.

    قوى 10 الموجبة

    القوة الكتابة المفصلة القيمة
    10¹ 10 10
    10² 10 × 10 100
    10³ 10 × 10 × 10 1 000
    10⁴ 10 × 10 × 10 × 10 10 000
    10⁶ - 1 000 000

    📌 قاعدة سريعة: 10ⁿ = 1 متبوعة بـ n من الأصفار

    قوى 10 السالبة

    قوى 10 السالبة تمثل الكسور العشرية:

    القوة الكتابة ككسر الكتابة العشرية
    10⁻¹ 1/10 0.1
    10⁻² 1/100 0.01
    10⁻³ 1/1000 0.001
    10⁻⁴ 1/10000 0.0001

    10⁻ⁿ = 1/10ⁿ

    3. خصائص القوى

    ضرب القوى ذات نفس الأساس

    am × an = am+n

    أمثلة

    • 2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸
    • 5² × 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶
    • 10² × 10⁻³ = 10²⁺⁽⁻³⁾ = 10⁻¹
    • 3⁴ × 3⁻¹ = 3⁴⁺⁽⁻¹⁾ = 3³

    قسمة القوى ذات نفس الأساس

    am ÷ an = am-n

    أمثلة

    • 7⁶ ÷ 7² = 7⁶⁻² = 7⁴
    • 3⁵ ÷ 3³ = 3⁵⁻³ = 3²
    • 10³ ÷ 10⁵ = 10³⁻⁵ = 10⁻²
    • 2⁴ ÷ 2⁶ = 2⁴⁻⁶ = 2⁻²

    قوة القوة

    (am)n = am×n

    أمثلة

    • (2³)² = 2³×² = 2⁶
    • (5²)⁴ = 5²×⁴ = 5⁸
    • (10⁻²)³ = 10⁻²×³ = 10⁻⁶
    • (3⁴)⁻¹ = 3⁴×⁽⁻¹⁾ = 3⁻⁴

    قوة الجداء

    (a × b)n = an × bn

    أمثلة

    • (2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
    • (5 × 4)³ = 5³ × 4³ = 125 × 64 = 8000
    • (2 × 10)⁴ = 2⁴ × 10⁴ = 16 × 10000 = 160000

    قوة الخارج

    (a/b)n = an/bn (b ≠ 0)

    أمثلة

    • (3/2)² = 3²/2² = 9/4
    • (5/10)³ = 5³/10³ = 125/1000 = 0.125

    4. الكتابة العلمية

    تعريف الكتابة العلمية

    الكتابة العلمية لعدد هي كتابته على الشكل:

    a × 10n

    حيث 1 ≤ a < 10 و n عدد صحيح

    تحويل إلى الكتابة العلمية

    • 3500 = 3.5 × 10³
    • 45000 = 4.5 × 10⁴
    • 0.0067 = 6.7 × 10⁻³
    • 0.000023 = 2.3 × 10⁻⁵

    كيفية التحويل

    للأعداد الكبيرة (أكبر من 1):

    • نحرك الفاصلة العشرية إلى اليسار
    • عدد الخانات المحركة = الأس الموجب

    للأعداد الصغيرة (أصغر من 1):

    • نحرك الفاصلة العشرية إلى اليمين
    • عدد الخانات المحركة = الأس السالب

    مثال مفصل

    تحويل العدد 270000 إلى الكتابة العلمية:

    • نكتب: 270000 = 2.70000
    • نحرك الفاصلة 5 خانات إلى اليسار: 2.7
    • إذن: 270000 = 2.7 × 10⁵

    5. أمثلة محلولة متنوعة

    المثال الأول: تبسيط التعابير

    بسط التعبير: A = 3⁵ × 3² ÷ 3⁴

    الحل:

    • A = 3⁵ × 3² ÷ 3⁴
    • A = 3⁵⁺² ÷ 3⁴
    • A = 3⁷ ÷ 3⁴
    • A = 3⁷⁻⁴
    • A = 3³ = 27

    المثال الثاني: قوة القوة

    احسب: B = (2³)² × (2²)³

    الحل:

    • B = (2³)² × (2²)³
    • B = 2³×² × 2²×³
    • B = 2⁶ × 2⁶
    • B = 2⁶⁺⁶
    • B = 2¹² = 4096

    المثال الثالث: الكتابة العلمية

    اكتب بالشكل العلمي: 0.000456

    الحل:

    • نحرك الفاصلة 4 خانات إلى اليمين
    • 0.000456 = 4.56 × 10⁻⁴

    المثال الرابع: عملية مركبة

    احسب: C = (10³)² ÷ 10⁴ × 10⁻¹

    الحل:

    • C = (10³)² ÷ 10⁴ × 10⁻¹
    • C = 10³×² ÷ 10⁴ × 10⁻¹
    • C = 10⁶ ÷ 10⁴ × 10⁻¹
    • C = 10⁶⁻⁴ × 10⁻¹
    • C = 10² × 10⁻¹
    • C = 10²⁺⁽⁻¹⁾ = 10¹ = 10

    6. تمارين تطبيقية

    التمرين الأول

    احسب القوى التالية:

    • a) 2⁴
    • b) 5³
    • c) 10⁵
    • d) 3⁰
    عرض الحل
    • a) 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
    • b) 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
    • c) 10⁵ = 100000
    • d) 3⁰ = 1

    التمرين الثاني

    بسط التعابير التالية:

    • a) 2⁵ × 2³
    • b) 7⁶ ÷ 7²
    • c) (3²)⁴
    • d) 5⁴ × 5⁻² × 5¹
    عرض الحل
    • a) 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
    • b) 7⁶ ÷ 7² = 7⁶⁻² = 7⁴
    • c) (3²)⁴ = 3²×⁴ = 3⁸
    • d) 5⁴ × 5⁻² × 5¹ = 5⁴⁺⁽⁻²⁾⁺¹ = 5³

    التمرين الثالث

    اكتب بالشكل العلمي:

    • a) 3400
    • b) 0.0067
    • c) 25000000
    • d) 0.000008
    عرض الحل
    • a) 3400 = 3.4 × 10³
    • b) 0.0067 = 6.7 × 10⁻³
    • c) 25000000 = 2.5 × 10⁷
    • d) 0.000008 = 8 × 10⁻⁶

    التمرين الرابع

    احسب: D = (2 × 3)³ ÷ 6²

    عرض الحل
    • D = (2 × 3)³ ÷ 6²
    • D = 6³ ÷ 6²
    • D = 6³⁻²
    • D = 6¹ = 6

    7. خلاصة الدرس

    • القوة aⁿ تعني ضرب العدد a في نفسه n مرة
    • a¹ = a وa⁰ = 1 (a ≠ 0)
    • في ضرب القوى ذات نفس الأساس: نجمع الأسس
    • في قسمة القوى ذات نفس الأساس: نطرح الأسس
    • قوة القوة: نضرب الأسس
    • قوة الجداء: نوزع الأس على كل عامل
    • الكتابة العلمية: a × 10ⁿ حيث 1 ≤ a < 10
    • قوى 10 مهمة للأعداد الكبيرة والصغيرة

    8. ملف الدرس والفيديو

    بعد مراجعة الشرح والأمثلة السابقة، يمكنك استعمال ملف PDF التالي للمذاكرة أو الطباعة، ثم مشاهدة قائمة الفيديوهات لتثبيت المفاهيم.

    إذا تعذر ظهور المعاينة، استخدم زر تحميل ملف PDF المباشر أسفله.

    تحميل ملف PDF مشاهدة شرح الفيديو

    أسئلة شائعة

    لماذا أي عدد أس صفر يساوي 1؟

    هذا تعريف رياضي يجعل قوانين القوى متسقة. مثلاً: 5³ ÷ 5³ = 5³⁻³ = 5⁰، وبما أن 5³ ÷ 5³ = 1، إذن 5⁰ = 1.

    ما الفرق بين 2³ × 2² و(2 × 2)³؟

    2³ × 2² = 2⁵ = 32، بينما (2 × 2)³ = 4³ = 64. في الأولى نجمع الأسس، وفي الثانية نحسب القوس أولاً.

    كيف أحول من الكتابة العلمية إلى الكتابة العادية؟

    إذا كان الأس موجباً، نحرك الفاصلة إلى اليمين. إذا كان سالباً، نحرك الفاصلة إلى اليسار. مثال: 3.7 × 10² = 370.

    هل يمكن أن يكون الأساس سالباً؟

    نعم، مثل (-2)³ = -8 و(-2)² = +4. لكن احذر من وضع الأقواس لتحديد ما إذا كانت الإشارة السالبة جزء من الأساس أم لا.