RACINES-CARRÉES-3AC

~5 دقائق قراءة الثالثة-إعدادي
جدول المحتويات
    الجذور التربيعية - Racines Carrées 3AC
    الرياضيات — الثالثة إعدادي (3AC) | الجبر والحساب العددي

    الجذور التربيعية - Racines Carrées 3ème Année Collège - PDF + تمارين محلولة

    يُعد درس الجذور التربيعية (Racines Carrées) من الدروس الأساسية والمحورية في منهاج الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي بالمغرب. يهدف هذا الدرس إلى تمكين المتعلم من فهم مفهوم الجذر التربيعي لعدد موجب، وإتقان عمليات تبسيط الجذور، والعمليات الحسابية عليها (جمع، ضرب، قسمة)، بالإضافة إلى مهارة "إنطاق المقام" (Écrire sans radical au dénominateur). يتضمن هذا المقال شرحاً مفصلاً للنظريات، خصائص الجذور، وتمارين تطبيقية نموذجية مع الحلول المفصلة خطوة بخطوة، بالإضافة إلى ملف PDF شامل للمراجعة والاستعداد للامتحان الجهوي.

    📑 فهرس المحتويات

    1. مفهوم الجذر التربيعي (Définition)

    📐 التعريف الأساسي

    لكل عدد حقيقي موجب a، يوجد عدد حقيقي موجب وحيد، مربعه يساوي a. يُسمى هذا العدد الجذر التربيعي للعدد a، ويُرمز له بـ √a.

    (√a)² = a  و  √(a²) = a (لكل a ≥ 0)

    أمثلة: √9 = 3 لأن 3² = 9. و √0 = 0.
    تنبيه: الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية (مثلاً: √-4 غير معرف).

    2. خصائص الجذور التربيعية الهامة

    خاصية الضرب والقسمة

    لكل عددين حقيقيين موجبين a و b:

    √(a × b) = √a × √b
    √(a / b) = √a / √b   (حيث b ≠ 0)

    ⚠️ تحذير هام (خطأ شائع)

    خاصية الجمع لا تنطبق على الجذور التربيعية! أي أن:

    √(a + b) ≠ √a + √b

    مثال: √(9 + 16) = √25 = 5، بينما √9 + √16 = 3 + 4 = 7. إذن 5 ≠ 7.

    3. تبسيط الجذور التربيعية

    الهدف هو كتابة الجذر التربيعي لعدد على الشكل a√b حيث b هو أصغر عدد صحيح موجب ممكن. للقيام بذلك، نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد الموجود تحت الجذر.

    💡 مثال توضيحي

    بسط الجذر التربيعي √75.

    الحل:

    • نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 75. المربعات الكاملة هي: 1, 4, 9, 16, 25, 36...
    • نلاحظ أن 75 = 25 × 3.
    • إذن: √75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3.

    4. العمليات على الجذور التربيعية

    • الجمع والطرح: يمكن جمع أو طرح الجذور فقط إذا كانت متشابهة (نفس العدد تحت الجذر). مثال: 3√2 + 5√2 = 8√2.
    • الضرب: نضرب ما تحت الجذر مع ما تحت الجذر. مثال: √3 × √5 = √15.
    • مربع جذر: (a√b)² = a² × b. مثال: (2√3)² = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

    5. إنطاق المقام (Écrire sans radical au dénominateur)

    في الرياضيات، يُفضل عدم ترك جذر تربيعي في مقام الكسر. نقوم بضرب البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام (أو في مرافقه إذا كان المقام على شكل مجموع أو فرق).

    💡 مثال توضيحي

    اكتب العدد A = 4 / √2 بدون جذر في المقام.

    الحل:

    • نضرب البسط والمقام في √2:
    A = (4 × √2) / (√2 × √2)
    • بما أن √2 × √2 = 2، فإن: A = 4√2 / 2 = 2√2.

    6. تمارين تطبيقية نموذجية مع الحلول

    🎯 التمرين 1: التبسيط والعمليات

    1) بسط الجذور التالية: A = √18 ، B = √50
    2) احسب وبسط ما يلي: C = 3√18 - 2√50 + √8

    عرض الحل المفصل
    • 1) التبسيط:
    A = √18 = √(9 × 2) = 3√2
    B = √50 = √(25 × 2) = 5√2
    • 2) حساب C:
    أولاً، نبسط √8 = √(4 × 2) = 2√2.
    نعوض في C: C = 3(3√2) - 2(5√2) + 2√2
    C = 9√2 - 10√2 + 2√2
    C = (9 - 10 + 2)√2 = 1√2 = √2

    🎯 التمرين 2: إنطاق المقام والبرهان (مستوى الامتحان الجهوي)

    ليكن العدد E = (3 + √2) / (3 - √2).

    المطلوب:
    1) انشر وبسط البسط والمقام.
    2) أثبت أن E يمكن كتابته على الشكل a + b√2 حيث a و b عددان صحيحان.

    عرض الحل المفصل
    • الخطوة 1: إنطاق المقام:
    نضرب البسط والمقام في مرافق المقام، وهو (3 + √2).
    E = [(3 + √2)(3 + √2)] / [(3 - √2)(3 + √2)]
    • الخطوة 2: نشر البسط والمقام:
    البسط: (3 + √2)² = 3² + 2(3)(√2) + (√2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2
    المقام: (3 - √2)(3 + √2) = 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7
    • الخطوة 3: الاستنتاج:
    إذن: E = (11 + 6√2) / 7 = 11/7 + (6/7)√2.
    بما أن 11/7 و 6/7 عددان نسبيان، فقد تم كتابة E على الشكل المطلوب.

    7. ملخص الدرس للحفظ (Résumé)

    • التعريف: (√a)² = a لكل a ≥ 0.
    • الضرب والقسمة: √(a×b) = √a × √b و √(a/b) = √a / √b.
    • تحذير: √(a+b) ≠ √a + √b.
    • التبسيط: أخرج أكبر مربع كامل من تحت الجذر (مثال: √12 = 2√3).
    • إنطاق المقام: اضرب البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام، أو في مرافقه إذا كان على شكل (a ± √b).
    • مربع جذر: (a√b)² = a² × b.

    8. ملف الدرس والشرح المرئي

    لتعزيز فهمك وتثبيت المكتسبات، يمكنك تحميل ملخص الدرس بصيغة PDF للطباعة والمراجعة، أو مشاهدة الشرح التفصيلي بالفيديو على قناتنا التعليمية.

    📥 تحميل ملف الدرس (PDF) ▶ مشاهدة سلسلة الشرح على YouTube

    9. أسئلة شائعة (FAQ)

    هل الدرس مجاني ومتاح للجميع؟
    نعم، يمكنك مشاهدة وتحميل ملف Racines Carrées 3AC مجاناً تماماً. جميع الموارد التعليمية على منصتنا متاحة لجميع تلاميذ السنة الثالثة إعدادي بالمغرب.
    ما هو "مرافق" عدد وكيف نستخدمه؟
    مرافق المقدار (a + √b) هو (a - √b)، والعكس صحيح. نستخدمه في "إنطاق المقام" للتخلص من الجذر في المقام باستعمال المتطابقة الثالثة: (a-b)(a+b) = a² - b².
    هل يتوافق المحتوى مع المنهاج المغربي الرسمي؟
    نعم، جميع الدروس والتمارين الموجودة مطابقة تماماً للمقرر الرسمي الخاص بالسنة الثالثة إعدادي بالمغرب، وتم إعدادها من طرف أساتذة متخصصين في الرياضيات.
    ما هو الخطأ الأكثر شيوعاً في امتحان الجذور التربيعية؟
    الاعتقاد بأن √(a² + b²) = a + b، وهذا خطأ فادح. الصحيح هو تركها كما هي أو حساب القيمة داخل الجذر أولاً. أيضاً، نسيان تبسيط الجذر إلى أبسط صورة (مثال: كتابة √12 بدلاً من 2√3) يؤدي إلى ضياع النقاط.