Suites numériques 1BAC

~5 دقائق قراءة الأولى-باك
جدول المحتويات
    ∞🔢

    المتتاليات العددية — Les Suites Numériques

    المستوى الدراسي: الأولى باكالوريا علوم (1BAC)  |  المادة: الرياضيات

    المتتاليات العددية هي دوال خاصة، مجالها هو مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ. في هذا الدرس، سنتعلم كيف نُولّد المتتاليات، ندرس اتجاه تغيرها، ونتعمق في أهم نوعين: الحسابية والهندسية، وصولاً إلى البرهان بالاستدعاء بالمتتاليات (Raisonnement par récurrence).

    1. التعريف وطرق التوليد (Définition et modes de génération)

    🔹 تعريف المتتالية العددية

    المتتالية العددية (Un) هي تطبيق من ℕ (أو جزء منه) نحو ℝ.
    كل عدد حقيقي Un يُسمى حداً (terme) من حدود المتتالية، و n هو رتبته (indice).

    🔹 طرق توليد المتتاليات

    1️⃣ تعريف صريح

    Un = f(n)
    كل حد يُحسب مباشرة من رتبته.
    مثال: Un = 2n + 3

    2️⃣ تعريف تكرراري

    Un+1 = f(Un)
    كل حد يُحسب من الحد الذي يسبقه.
    مثال: Un+1 = 2Un + 1

    3️⃣ استدعاء بالمتتاليات

    نثبت وجود المتتالية بالبرهان بالاستدعاء.
    مثال: Un+1 = √(Un + 2)

    💡 ملاحظة مهمة: في التعريف التكرراري، لا يمكن حساب حد معين مباشرة دون المرور بجميع الحدود السابقة. بينما في التعريف الصريح، يمكنك حساب U100 مباشرة!

    2. اتجاه التغير (Sens de variation)

    لدراسة اتجاه تغير متتالية (Un)، ندرس إشارة الفرق Un+1 − Un:

    📈 متزايدة

    Un+1 − Un ≥ 0

    لكل n ∈ ℕ

    📉 متناقصة

    Un+1 − Un ≤ 0

    لكل n ∈ ℕ

    ➖ ثابتة

    Un+1 − Un = 0

    لكل n ∈ ℕ

    🔹 طريقة خاصة بالمتتاليات الموجبة (Rapport)

    إذا كانت المتتالية موجبة قطعاً (Un > 0)، يمكننا دراسة النسبة:

    • إذا كان Un+1 / Un ≥ 1 ⇒ المتتالية متزايدة.
    • إذا كان Un+1 / Un ≤ 1 ⇒ المتتالية متناقصة.

    🔹 خاصية مهمة للمتتاليات المعرفة بصيغة صريحة

    إذا كانت Un = f(n) حيث f دالة معرفة على [0, +∞[:

    • إذا كانت f متزايدة على [0, +∞[ ⇒ (Un) متزايدة.
    • إذا كانت f متناقصة على [0, +∞[ ⇒ (Un) متناقصة.

    3. المتتاليات الحسابية (Suites arithmétiques)

    🌟 التعريف

    المتتالية (Un) تُسمى حسابية إذا وُجد عدد حقيقي r (يُسمى الأساس raison) بحيث:

    Un+1 = Un + r

    🔹 الحد العام (Terme général)

    من الحد الأول U0

    Un = U0 + n·r

    من أي حد Up

    Un = Up + (n − p)·r

    🔹 مجموع الحدود (Somme des termes)

    مجموع أول n+1 حد (من U0 إلى Un):

    Sn = U0 + U1 + ... + Un = (n + 1) × (U0 + Un) / 2

    💡 تذكر: مجموع = (عدد الحدود) × (الأول + الأخير) / 2

    🔹 اتجاه التغير

    • إذا كان r > 0 ⇒ المتتالية متزايدة تماماً.
    • إذا كان r < 0 ⇒ المتتالية متناقصة تماماً.
    • إذا كان r = 0 ⇒ المتتالية ثابتة.

    4. المتتاليات الهندسية (Suites géométriques)

    🌟 التعريف

    المتتالية (Un) تُسمى هندسية إذا وُجد عدد حقيقي q (يُسمى الأساس raison) بحيث:

    Un+1 = q × Un

    🔹 الحد العام (Terme général)

    من الحد الأول U0

    Un = U0 × qn

    من أي حد Up

    Un = Up × qn−p

    🔹 مجموع الحدود (Somme des termes)

    مجموع أول n+1 حد (إذا كان q ≠ 1):

    Sn = U0 + U1 + ... + Un = U0 × (1 − qn+1) / (1 − q)

    💡 تذكر: مجموع = الأول × (1 − qعدد الحدود) / (1 − q)

    🔹 اتجاه التغير

    لنفرض أن U0 > 0:

    • إذا كان q > 1 ⇒ المتتالية متزايدة تماماً.
    • إذا كان 0 < q < 1 ⇒ المتتالية متناقصة تماماً.
    • إذا كان q = 1 ⇒ المتتالية ثابتة.
    • إذا كان q < 0 ⇒ المتتالية غير رتيبة (تتذبذب بين الموجب والسالب).

    5. محدودية المتتاليات (Suites bornées)

    📏 محدودة من فوق

    يوجد عدد حقيقي M بحيث:
    Un ≤ M لكل n

    📏 محدودة من تحت

    يوجد عدد حقيقي m بحيث:
    Un ≥ m لكل n

    📏 محدودة (Bornée)

    محدودة من فوق و من تحت:
    m ≤ Un ≤ M

    ⚠️ تنبيه: المتتالية Un = n² محدودة من تحت (بـ 0) لكن غير محدودة من فوق، إذن هي غير محدودة.

    6. البرهان بالاستدعاء بالمتتاليات (Raisonnement par récurrence)

    الاستدعاء بالمتتاليات هو أداة قوية لإثبات أن خاصية P(n) صحيحة لكل عدد طبيعي n ابتداءً من رتبة معينة.

    🎯 الخطوات الثلاث للاستدعاء بالمتتاليات

    1. التأسيس (Initialisation): نتحقق أن الخاصية صحيحة للرتبة الأولى n0 (غالباً n = 0 أو n = 1).
    2. فرضية الاستدعاء (Hypothèse de récurrence): نفترض أن الخاصية صحيحة لرتبة كيفما كانت n ≥ n0، أي أن P(n) صحيحة.
    3. الانتقال (Hérédité): نثبت أن P(n) صحيحة ⇒ P(n+1) صحيحة.

    ✅ الاستنتاج: الخاصية P(n) صحيحة لكل n ≥ n0.

    ⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنبها:
    • نسيان خطوة التأسيس (لا يمكن الاستغناء عنها!).
    • كتابة "نفترض أن P(n) صحيحة لكل n" ❌ (الصحيح: لرتبة n معينة ✓).
    • عدم كتابة الاستنتاج النهائي في نهاية البرهان.

    7. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: المتتاليات الحسابية

    لتكن (Un) متتالية حسابية حيث U0 = 3 و U5 = 18.
    1) احسب الأساس r.
    2) أعطِ الحد العام Un.
    3) احسب مجموع S = U0 + U1 + ... + U20.

    الحل:

    1) حساب الأساس:

    U5 = U0 + 5r
    18 = 3 + 5r
    5r = 15
    r = 3

    2) الحد العام:

    Un = U0 + n·r
    Un = 3 + 3n

    3) حساب المجموع:

    عدد الحدود = 20 − 0 + 1 = 21
    U20 = 3 + 3(20) = 63
    S = 21 × (U0 + U20) / 2
    S = 21 × (3 + 63) / 2
    S = 21 × 66 / 2
    S = 21 × 33 = 693

    📝 تمرين 2: المتتاليات الهندسية

    لتكن (Vn) متتالية هندسية حيث V0 = 2 و V3 = 54.
    1) احسب الأساس q.
    2) أعطِ الحد العام Vn.
    3) احسب مجموع S = V0 + V1 + ... + V10.

    الحل:

    1) حساب الأساس:

    V3 = V0 × q3
    54 = 2 × q3
    q3 = 27
    q = 3

    2) الحد العام:

    Vn = V0 × qn
    Vn = 2 × 3n

    3) حساب المجموع:

    عدد الحدود = 10 − 0 + 1 = 11
    S = V0 × (1 − q11) / (1 − q)
    S = 2 × (1 − 311) / (1 − 3)
    S = 2 × (1 − 177147) / (−2)
    S = 2 × (−177146) / (−2)
    S = 177146

    📝 تمرين 3: البرهان بالاستدعاء بالمتتاليات

    لتكن (Un) المتتالية المعرفة بـ: U0 = 1 و Un+1 = 2Un + 1.
    أثبت بالاستدعاء بالمتتاليات أن: Un = 2n+1 − 1 لكل n ∈ ℕ.

    الحل:

    نثبت بالاستدعاء بالمتتاليات أن P(n) : Un = 2n+1 − 1 لكل n ∈ ℕ.

    1) التأسيس (n = 0):

    U0 = 1 (معطى)
    20+1 − 1 = 2 − 1 = 1
    إذن P(0) صحيحة ✓

    2) فرضية الاستدعاء:

    نفترض أن P(n) صحيحة لرتبة n معينة، أي: Un = 2n+1 − 1.

    3) الانتقال (إثبات P(n+1)):

    Un+1 = 2Un + 1
    = 2(2n+1 − 1) + 1    (حسب فرضية الاستدعاء)
    = 2n+2 − 2 + 1
    = 2n+2 − 1
    = 2(n+1)+1 − 1
    إذن P(n+1) صحيحة ✓
    ✅ الاستنتاج: بما أن الخاصية مؤسسة ووراثية، فإن Un = 2n+1 − 1 لكل n ∈ ℕ.

    📝 تمرين 4: اتجاه التغير والمحدودية

    لتكن (Un) المتتالية المعرفة بـ: Un = n² − 5n + 6.
    1) ادرس اتجاه تغير المتتالية.
    2) هل المتتالية محدودة؟

    الحل:

    1) اتجاه التغير:

    Un+1 − Un = [(n+1)² − 5(n+1) + 6] − [n² − 5n + 6]
    = [n² + 2n + 1 − 5n − 5 + 6] − [n² − 5n + 6]
    = n² + 2n + 1 − 5n − 5 + 6 − n² + 5n − 6
    = 2n − 4

    Un+1 − Un = 2n − 4
    • إذا كان n < 2 ⇒ الفرق سالب ⇒ المتتالية متناقصة.
    • إذا كان n ≥ 2 ⇒ الفرق موجب ⇒ المتتالية متزايدة.

    2) المحدودية:

    المتتالية محدودة من تحت لأن Un ≥ U2 = 4 − 10 + 6 = 0.
    لكنها غير محدودة من فوق لأن Un → +∞ عندما n → +∞.

    ✅ الاستنتاج: المتتالية غير محدودة.

    8. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان المتتاليات العددية، يجب التدريب على: حساب الحدود، إثبات الخصائص بالاستدعاء، ودراسة اتجاه التغير. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • المتتالية الحسابية: أساسها r، حدها العام Un = U0 + n·r، ومجموعها يعتمد على المتوسط الحسابي.
    • المتتالية الهندسية: أساسها q، حدها العام Un = U0 × qn، ومجموعها يعتمد على القوى.
    • لدراسة اتجاه التغير: احسب دائماً Un+1 − Un وادرس إشارته.
    • الاستدعاء بالمتتاليات يتكون من 3 خطوات لا يمكن الاستغناء عن أي منها: التأسيس، الفرضية، الانتقال.
    • المحدودية: المتتالية محدودة إذا كانت محدودة من فوق و من تحت في نفس الوقت.

    "المتتاليات هي لغة اللانهاية. بالتوفيق في فروضك المحروسة!" 🚀