THÉORÈME DE THALÈS 3AC

~5 دقائق قراءة الثالثة-إعدادي
جدول المحتويات
    مبرهنة طاليس - Théorème de Thalès 3AC
    الرياضيات — الثالثة إعدادي (3AC) | الهندسة

    مبرهنة طاليس - Théorème de Thalès 3ème Année Collège - PDF + تمارين محلولة

    تُعد مبرهنة طاليس (Théorème de Thalès) من الركائز الأساسية في هندسة المستوي للسنة الثالثة إعدادي وفق المنهاج المغربي. يهدف هذا الدرس إلى تمكين المتعلم من حساب أطوال مجهولة في مثلث أو في وضعية "الساعة الرملية" (Papillon)، وكذا البرهان على توازي مستقيمين باستخدام الخاصية العكسية. يتضمن هذا المقال شرحاً مفصلاً، منهجية صارمة للبرهان، وتمارين نموذجية محلولة خطوة بخطوة، بالإضافة إلى ملف PDF شامل للمراجعة والاستعداد للامتحان الجهوي الموحد.

    📑 فهرس المحتويات

    1. مقدمة عن مبرهنة طاليس

    تنسب هذه المبرهنة إلى الفيلسوف والعالم اليوناني طاليس الميليسي. في الرياضيات الحديثة، تربط هذه المبرهنة بين توازي مستقيمين والتناسبية بين أطوال القطع المستقيمة. تعتبر هذه الأداة هندسية قوية جداً، لا غنى عنها لحل مسائل القياس والبرهان في الامتحانات، كما أنها تمهد لدراسة التشابه (Agrandissement et Réduction) في مراحل لاحقة.

    2. وضعيات طاليس (Configurations de Thalès)

    قبل تطبيق المبرهنة، يجب التأكد من وجود إحدى الوضعيتين الهندسيتين التاليتين:

    الوضعية الأولى: وضعية المثلث (Configuration Triangle)

    نكون فيها أمام مثلث ABC، ونقطة M تنتمي إلى المستقيم (AB)، ونقطة N تنتمي إلى المستقيم (AC)، بحيث يكون المستقيم (MN) يوازي المستقيم (BC). النقاط A, M, B مرتبة بنفس ترتيب A, N, C.

    الوضعية الثانية: وضعية الساعة الرملية أو الفراشة (Configuration Papillon)

    نكون فيها أمام مستقيمين متقاطعين في نقطة A. النقطة M تنتمي إلى الأول، و N تنتمي إلى الثاني. إذا كان (MN) // (BC)، وكانت النقطة A تقع بين M و B، وبين N و C، فإننا نكون في وضعية طاليس (Papillon).

    3. نص مبرهنة طاليس (حساب الأطوال)

    📐 Théorème de Thalès

    إذا كانت النقاط A, M, B مرتبة على استقامة واحدة، والنقاط A, N, C مرتبة على استقامة واحدة بنفس الترتيب، وكان المستقيم (MN) يوازي المستقيم (BC)، فإن الأطوال تتناسب، ويتحقق ما يلي:

    AM / AB = AN / AC = MN / BC

    ملاحظة هامة: يجب دائماً كتابة الكسور بحيث يكون الرأس المشترك (نقطة التقاطع) في البسط أو المقام بشكل موحد لضمان صحة التناسب.

    💡 مثال تطبيقي

    في مثلث ABC، حيث AB = 6 cm و AC = 8 cm و BC = 10 cm. نقطة M تنتمي لـ [AB] بحيث AM = 3 cm. المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع [AC] في N.

    الحل: حسب طاليس: AM/AB = AN/AC = MN/BC ← 3/6 = AN/8 = MN/10

    إذن: AN = (3 × 8) / 6 = 4 cm و MN = (3 × 10) / 6 = 5 cm.

    4. الخاصية العكسية لمبرهنة طاليس (Réciproque)

    📐 إثبات توازي مستقيمين

    تُستخدم الخاصية العكسية لإثبات أن مستقيمين متوازيان. إذا كانت النقاط A, M, B و A, N, C مرتبة بنفس الترتيب، وتحققت المساواة بين النسبتين:

    AM / AB = AN / AC

    فإن المستقيم (MN) يوازي المستقيم (BC).

    تنبيه: إذا كانت النسبتان غير متساويتين، فإننا نستنتج أن المستقيمين غير متوازيين (خاصية العكس للنهاية).

    5. منهجية تحرير البرهان الهندسي (إطار الامتحان الجهوي)

    لضمان الحصول على النقطة الكاملة، يجب صياغة الحل الهندسي بصرامة وفق التسلسل التالي:

    1. المعاينة (Constat): "بما أن النقاط A, M, B مرتبة على استقامة واحدة بنفس ترتيب A, N, C، وأن (MN) يوازي (BC)..."
    2. الخاصية (Propriété): "حسب مبرهنة طاليس، فإن: AM/AB = AN/AC = MN/BC"
    3. التعويض (Substitution): نعوض بالأرقام المعطاة في السؤال.
    4. الاستنتاج والحساب (Conclusion): "إذن: ... = ... / ...، ومنه نجد أن الطول المطلوب يساوي ... سم".

    6. تمارين تطبيقية نموذجية مع الحلول

    🎯 التمرين 1: حساب طول مجهول (وضعية المثلث)

    ليكن ABC مثلثاً حيث AB = 9 cm، AC = 12 cm، و BC = 15 cm. لتكن M نقطة من [AB] حيث AM = 3 cm. المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع [AC] في النقطة N.

    المطلوب: احسب طولي AN و MN.

    عرض الحل المفصل
    • المعاينة: بما أن M ∈ [AB] و N ∈ [AC]، فإن النقاط مرتبة بنفس الترتيب. وبما أن (MN) // (BC).
    • الخاصية: حسب مبرهنة طاليس، فإن: AM/AB = AN/AC = MN/BC
    • التعويض: 3/9 = AN/12 = MN/15
    • حساب AN: AN = (3 × 12) / 9 = 36 / 9 = 4 cm
    • حساب MN: MN = (3 × 15) / 9 = 45 / 9 = 5 cm

    🎯 التمرين 2: البرهان على التوازي (مستوى الامتحان الجهوي)

    في الشكل المقابل، المستقيمان (AB) و (CD) متقاطعان في النقطة O. نعلم أن: OA = 4 cm، OB = 6 cm، OC = 5 cm، و OD = 7.5 cm. النقاط O, A, B مرتبة بنفس ترتيب O, C, D.

    المطلوب: برهن أن المستقيم (AC) يوازي المستقيم (BD).

    عرض الحل المفصل
    • المعاينة: النقاط O, A, B و O, C, D مرتبة على استقامة واحدة بنفس الترتيب.
    • حساب النسب:
    OA/OB = 4/6 = 2/3
    OC/OD = 5/7.5 = 50/75 = 2/3
    • المقارنة: نلاحظ أن OA/OB = OC/OD.
    • الخاصية: حسب الخاصية العكسية لمبرهنة طاليس (Réciproque du théorème de Thalès).
    • الاستنتاج: إذن المستقيم (AC) يوازي المستقيم (BD).

    7. ملخص الدرس للحفظ (Résumé)

    • شروط التطبيق: مستقيمان متوازيان + نقاط مرتبة على استقامة واحدة بنفس الترتيب.
    • المبرهنة المباشرة: تُستخدم لحساب طول مجهول. الصيغة: AM/AB = AN/AC = MN/BC
    • الخاصية العكسية: تُستخدم لإثبات أن مستقيمين متوازيان. نثبت أن AM/AB = AN/AC.
    • خاصية النهاية (Non-réciproque): إذا كانت AM/AB ≠ AN/AC، فإن المستقيمين غير متوازيين.
    • منهجية الحل: ابدأ دائماً بذكر ترتيب النقاط وشرط التوازي قبل كتابة الكسور.

    8. ملف الدرس والشرح المرئي

    لتعزيز فهمك وتثبيت المكتسبات، يمكنك تحميل ملخص الدرس بصيغة PDF للطباعة والمراجعة، أو مشاهدة الشرح التفصيلي بالفيديو على قناتنا التعليمية.

    📥 تحميل ملف الدرس (PDF) ▶ مشاهدة سلسلة الشرح على YouTube

    9. أسئلة شائعة (FAQ)

    هل الدرس مجاني ومتاح للجميع؟
    نعم، يمكنك مشاهدة وتحميل ملف Théorème de Thalès 3AC مجاناً تماماً. جميع الموارد التعليمية على منصتنا متاحة لجميع تلاميذ السنة الثالثة إعدادي بالمغرب.
    كيف أعرف أي كسر أكتب أولاً في مبرهنة طاليس؟
    ابدأ دائماً بالنقطة المشتركة (رأس الزاوية أو نقطة التقاطع). إذا كانت الوضعية مثلثاً ورأسها A، ابدأ بـ AM/AB أو AN/AC. الأهم هو الحفاظ على تناسق البسط والمقام (الصغير على الكبير أو العكس) في جميع الكسور.
    هل يتوافق المحتوى مع المنهاج المغربي الرسمي؟
    نعم، جميع الدروس والتمارين الموجودة مطابقة تماماً للمقرر الرسمي الخاص بالسنة الثالثة إعدادي بالمغرب، وتم إعدادها من طرف أساتذة متخصصين في الرياضيات.
    ما هو الخطأ الأكثر شيوعاً في امتحان طاليس؟
    نسيان ذكر شرط "ترتيب النقاط على استقامة واحدة بنفس الترتيب" قبل تطبيق المبرهنة. هذا الشرط إلزامي للحصول على النقطة الكاملة في الامتحان الجهوي.