Trigonométrique I TC

~5 دقائق قراءة الجذع-المشترك
جدول المحتويات

    📐 المثلثات الأولى — Trigonométrie I

    المستوى الدراسي: الجذع المشترك العلمي (TC Sciences)  |  المادة: الرياضيات

    هذا الدرس يقدّم أساسيات الحساب المثلثي بلغة عربية واضحة مع إرفاق المصطلحات الفرنسية المعتمدة في الامتحانات. ستجد فيه التعريفات، المتطابقات، الزوايا المُرتبطة، وحل المعادلات المثلثية، مدعومةً بتمارين تطبيقية محلولة خطوة بخطوة.

    1. الدائرة المثلثية والتعريفات الأساسية

    الدائرة المثلثية (Cercle trigonométrique) هي دائرة مركزها المبدأ O وشعاعها 1، يُختار عليها اتجاه موجب هو عكس عقارب الساعة.

    🔹 قياس الزوايا — Measure des angles

    يُقاس قوس زاوية بوحدتين:

    • الدرجة (Degré °): الدورة الكاملة = 360°
    • الراديان (Radian rad): الدورة الكاملة = 2π rad
    180° = π rad   ⟹   1 rad = 180°/π ≈ 57.3°

    🔹 تعريف الدوال المثلثية

    لتكن M نقطة على الدائرة المثلثية مرتبطة بالزاوية θ. إحداثياتها هي:

    M(cos θ , sin θ)

    ✓ الخاصيات الأساسية

    −1 ≤ cos(θ) ≤ 1
    −1 ≤ sin(θ) ≤ 1
    cos²(θ) + sin²(θ) = 1

    ✓ دالة الظل — Tangente

    tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
    (شرط: cos(θ) ≠ 0)
    1 + tan²(θ) = 1 / cos²(θ)
    💡 المتطابقة الأساسية (Relation fondamentale):

    مهما كانت الزاوية θ، لدينا دائماً: cos²(θ) + sin²(θ) = 1

    2. قيم الزوايا الشهيرة — Valeurs remarquables

    يجب حفظ هذه القيم عن ظهر قلب، فهي تُستخدم في كل تمرين تقريباً:

    θ (degrés) θ (radians) cos(θ) sin(θ) tan(θ)
    0° 0 1 0 0
    30° π/6 √3 / 2 1 / 2 √3 / 3
    45° π/4 √2 / 2 √2 / 2 1
    60° π/3 1 / 2 √3 / 2 √3
    90° π/2 0 1 ∄
    ⚠️ خطأ شائع: tan(π/2) غير معرفة (وليست صفراً أو ما لا نهاية). في الامتحان اكتب "غير معرفة" أو استخدم الرمز ∄.

    3. الزوايا المرتبطة — Angles associés

    تسمح لنا هذه العلاقات بتحويل أي زاوية إلى زاوية حادة في الرباع الأول، مما يُسهّل الحساب enormously. لنعتبر x زاوية حادة:

    الزاوية السالبة (−x)

    cos(−x) = cos(x)
    sin(−x) = −sin(x)

    cos زوجية، sin فردية

    المكملة (π − x)

    cos(π − x) = −cos(x)
    sin(π − x) = sin(x)

    supplementary

    الزاوية (π + x)

    cos(π + x) = −cos(x)
    sin(π + x) = −sin(x)

    opposition

    المتممة (π/2 − x)

    cos(π/2 − x) = sin(x)
    sin(π/2 − x) = cos(x)

    complémentaire

    الزاوية (π/2 + x)

    cos(π/2 + x) = −sin(x)     |     sin(π/2 + x) = cos(x)
    💡 حيلة للحفظ: عند إضافة أو طرح π/2، تتبدل الدوال: cos ↔ sin. أما عند π فتبقى الدوال كما هي مع تغيير الإشارة حسب الرباع.

    4. متطابقات الجمع والتضعيف — Formules d'addition et de duplication

    🔹 متطابقات الجمع (Formules d'addition)

    cos(a + b) = cos(a)·cos(b) − sin(a)·sin(b)
    cos(a − b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)
    sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b)
    sin(a − b) = sin(a)·cos(b) − cos(a)·sin(b)

    🔹 متطابقات التضعيف (Formules de duplication)

    نحصل عليها بوضع a = b في متطابقات الجمع:

    cos(2a) = cos²(a) − sin²(a)
    = 2cos²(a) − 1
    = 1 − 2sin²(a)
    sin(2a) = 2·sin(a)·cos(a)

    🔹 صيغ التحويل إلى جداء (Transformations en produit)

    cos(a) + cos(b) = 2·cos((a+b)/2)·cos((a−b)/2)
    cos(a) − cos(b) = −2·sin((a+b)/2)·sin((a−b)/2)
    sin(a) + sin(b) = 2·sin((a+b)/2)·cos((a−b)/2)
    sin(a) − sin(b) = 2·cos((a+b)/2)·sin((a−b)/2)

    5. حل المعادلات المثلثية — Équations trigonométriques

    عند حل معادلة مثلثية، يجب دائماً إضافة الدور 2kπ (حيث k ∈ ℤ) للحصول على جميع الحلول.

    القواعد الثلاث الأساسية:

    1) cos(x) = cos(a)  ⟺  x = a + 2kπ   أو   x = −a + 2kπ

    2) sin(x) = sin(a)  ⟺  x = a + 2kπ   أو   x = π − a + 2kπ

    3) tan(x) = tan(a)  ⟺  x = a + kπ

    ⚠️ تنبيه: عند حل معادلة مثل cos(x) = 2، الجواب هو "لا يوجد حل" لأن −1 ≤ cos(x) ≤ 1. تحقق دائماً أن القيمة تنتمي للمجال [−1, 1] قبل البدء بالحل!

    6. تمارين تطبيقية محلولة — Exercices corrigés

    📝 تمرين 1: استخدام المتطابقة الأساسية

    إذا كان sin(x) = 3/5 و x ∈ [π/2, π]، أحسب cos(x) و tan(x).

    الحل:

    نطبق المتطابقة الأساسية: cos²(x) + sin²(x) = 1

    cos²(x) + (3/5)² = 1
    cos²(x) + 9/25 = 1
    cos²(x) = 1 − 9/25 = 16/25
    cos(x) = ±4/5

    بما أن x ∈ [π/2, π] (الرباع الثاني)، فإن cos(x) < 0.

    cos(x) = −4/5   ⟹   tan(x) = sin(x)/cos(x) = (3/5)/(−4/5) = −3/4

    📝 تمرين 2: الزوايا المرتبطة

    بسّط العبارة: A = cos(π + x) + sin(π/2 − x) − sin(−x)

    الحل:

    نطبق قواعد الزوايا المرتبطة واحدة تلو الأخرى:

    cos(π + x) = −cos(x)
    sin(π/2 − x) = cos(x)
    sin(−x) = −sin(x)

    بالتعويض:

    A = −cos(x) + cos(x) − (−sin(x))
    A = −cos(x) + cos(x) + sin(x)
    A = sin(x)

    📝 تمرين 3: متطابقات التضعيف

    إذا كان cos(x) = 4/5 و sin(x) = 3/5، أحسب cos(2x) و sin(2x).

    الحل:

    cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)
                = (4/5)² − (3/5)²
                = 16/25 − 9/25
                = 7/25
    sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)
               = 2 × (3/5) × (4/5)
               = 24/25

    📝 تمرين 4: حل معادلة مثلثية

    حل في ℝ المعادلة: 2·cos(x) − √3 = 0

    الحل:

    2·cos(x) = √3
    cos(x) = √3 / 2

    نبحث عن الزاوية التي جيب تمامها يساوي √3/2: إنها π/6.

    cos(x) = cos(π/6)
    x = π/6 + 2kπ    ou    x = −π/6 + 2kπ

    حيث k ∈ ℤ (أي عدد صحيح نسبي).

    📌 للتحقق: cos(π/6) = √3/2 ✓

    📝 تمرين 5: حل معادلة بصيغة sin(x) = sin(a)

    حل في [0, 2π] المعادلة: sin(x) = −1/2

    الحل:

    نعلم أن sin(π/6) = 1/2، إذن: sin(x) = −1/2 = sin(−π/6)

    x = −π/6 + 2kπ    أو    x = π − (−π/6) + 2kπ
    x = −π/6 + 2kπ    أو    x = 7π/6 + 2kπ

    نبحث عن الحلول في [0, 2π]:

    لـ k = 1:   x = −π/6 + 2π = 11π/6
    لـ k = 0:   x = 7π/6

    S = { 7π/6 , 11π/6 }

    7. مصادر إضافية للمعرفة والتعلم — Ressources

    لتعميق فهمك وحل المزيد من التمارين، ندعوك لتصفح الملخص الشامل وسلسلة التمارين المحلولة:

    📄 ملخص الدرس وسلسلة تمارين محلولة (PDF)

    ✨ خلاصة — Ce qu'il faut retenir

    • المتطابقة الأساسية cos²(x) + sin²(x) = 1 هي مفتاح حل 80% من المسائل.
    • الزوايا المرتبطة تسمح بتحويل أي زاوية إلى الرباع الأول — احفظها كجدول واحد.
    • متطابقات التضعيف ضرورية لتبسيط التعابير وحساب القيم الدقيقة.
    • حل المعادلات يتطلب دائماً إضافة 2kπ (أو kπ للظل) وعدم نسيان الحلول السالبة.
    • التدريب اليومي على 3-5 تمارين هو الطريق الوحيد لإتقان المثلثات!

    "الرياضيات لا تُحفظ، بل تُفهم وتُمارس. بالتوفيق في مسيرتك الدراسية!" 🚀