Trigonométrique II TC

~5 دقائق قراءة الجذع-المشترك
جدول المحتويات

    📐 المثلثات الثانية — Trigonométrie II

    المستوى الدراسي: الجذع المشترك العلمي (TC Sciences)  |  المادة: الرياضيات

    بعد إتقانك للدائرة المثلثية والزوايا المرتبطة في الجزء الأول، ننتقل الآن إلى "الآلات الجبرية" للمثلثات: صيغ الجمع، التضعيف، الخطنة (Linéarisation)، وحل المعادلات المتقدمة. هذه الأدوات هي المفتاح الذهبي لتبسيط التعابير المعقدة وحل مسائل الامتحانات.

    1. صيغ الجمع والطرح (Formules d'addition et de soustraction)

    تسمح لنا هذه الصيغ بتفكيك الزوايا المركبة (مثل a + b) إلى زوايا بسيطة. لأي عددين حقيقيين a و b:

    🟢 جيب التمام (Cosinus)

    cos(a + b) = cosa·cosb − sina·sinb
    cos(a − b) = cosa·cosb + sina·sinb

    💡 لاحظ عكس الإشارة في صيغة الجمع!

    🔵 الجيب (Sinus)

    sin(a + b) = sina·cosb + cosa·sinb
    sin(a − b) = sina·cosb − cosa·sinb

    💡 الإشارة هنا مطابقة لإشارة الزاوية.

    🟡 الظل (Tangente) - (حسب الحاجة)

    tan(a + b) = (tana + tanb) / (1 − tana·tanb)
    tan(a − b) = (tana − tanb) / (1 + tana·tanb)

    2. صيغ التضعيف / الزوايا المضاعفة (Formules de duplication)

    نضع b = a في صيغ الجمع لنحصل على صيغ الزوايا المضاعفة. هذه الصيغ هي الأكثر استخداماً في الامتحانات:

    🌟 الصيغ الأساسية للتضعيف
    cos(2a) = cos²a − sin²a
    = 2cos²a − 1
    = 1 − 2sin²a
    sin(2a) = 2·sina·cosa
    tan(2a) = 2tana / (1 − tan²a)
    ⚠️ فخ شائع في الامتحانات: cos(2a) لا تساوي أبداً 2cos(a). الدالة المثلثية ليست خطية!

    3. التحويل إلى تعابير خطية (Linéarisation)

    الخطنة تعني التخلص من الأسس (مثل cos²x أو sin³x) وتحويلها إلى زوايا مضاعفة (cos(2x), cos(3x)). نستخدم為此 صيغ التضعيف "بالاتجاه المعاكس":

    التخلص من المربع ²

    cos²a = (1 + cos(2a)) / 2
    sin²a = (1 − cos(2a)) / 2

    التخلص من المكعب ³

    cos³a = (cos(3a) + 3cosa) / 4
    sin³a = (3sina − sin(3a)) / 4

    4. تحويل المجاميع إلى جداءات والعكس (Transformations)

    🔹 من مجموع إلى جداء (Somme vers Produit)

    مفيدة جداً لتحليل المعادلات المثلثية وإيجاد عوامل مشتركة:

    cos p + cos q = 2·cos((p+q)/2)·cos((p−q)/2)
    cos p − cos q = −2·sin((p+q)/2)·sin((p−q)/2)
    sin p + sin q = 2·sin((p+q)/2)·cos((p−q)/2)
    sin p − sin q = 2·cos((p+q)/2)·sin((p−q)/2)

    🔹 من جداء إلى مجموع (Produit vers Somme)

    تُستخدم لتبسيط التعابير تمهيداً لحساب التكاملات (في السنة الأولى باكالوريا):

    cos a·cos b = ½ [cos(a−b) + cos(a+b)]
    sin a·sin b = ½ [cos(a−b) − cos(a+b)]
    sin a·cos b = ½ [sin(a+b) + sin(a−b)]

    5. حل المعادلات المثلثية المتقدمة (Équations avancées)

    النوع الأول: معادلات تؤول إلى درجة ثانية

    مثل: 2sin²x − sinx − 1 = 0.
    الطريقة: نضع X = sinx لتصبح معادلة حدودية من الدرجة الثانية، نحلها، ثم نرجع للمتغير الأصلي.

    النوع الثاني: المعادلة الخطية (Méthode de l'angle auxiliaire)

    لحل معادلة على شكل a·cosx + b·sinx = c:

    1. نقسم الطرفين على √(a² + b²).
    2. نبحث عن زاوية مساعدة α حيث cosα = a/√(a²+b²) و sinα = b/√(a²+b²).
    3. تصبح المعادلة: cos(x − α) = c/√(a²+b²) ونحلها بطريقة عادية.

    6. تمارين تطبيقية محلولة (Exercices Corrigés)

    📝 تمرين 1: حساب قيمة دقيقة باستخدام صيغ الجمع

    احسب القيمة الدقيقة لـ cos(π/12) و sin(π/12).

    💡 الفكرة: نلاحظ أن π/12 = π/3 − π/4 (أو π/4 − π/6). سنستخدم π/4 − π/6.

    cos(π/12) = cos(π/4 − π/6)
    = cos(π/4)cos(π/6) + sin(π/4)sin(π/6)
    = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
    = (√6 + √2) / 4
    sin(π/12) = sin(π/4 − π/6)
    = sin(π/4)cos(π/6) − cos(π/4)sin(π/6)
    = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2)
    = (√6 − √2) / 4

    📝 تمرين 2: الخطنة (Linéarisation)

    حوّل العبارة التالية إلى تعبير خطي (بدون أسس): A = sin²x · cos²x

    الحل:

    A = (sinx · cosx)²
    نعلم أن sin(2x) = 2sinxcosx ⟹ sinxcosx = ½sin(2x)
    A = (½sin(2x))² = ¼ sin²(2x)
    نطبق صيغة الخطنة للمربع: sin²a = (1 − cos(2a)) / 2
    A = ¼ · [ (1 − cos(4x)) / 2 ]
    A = 1/8 − (1/8)cos(4x)

    📝 تمرين 3: حل معادلة مثلثية (الزاوية المساعدة)

    حل في ℝ المعادلة: cosx + sinx = 1

    الحل:

    نقسم على √(1² + 1²) = √2
    (1/√2)cosx + (1/√2)sinx = 1/√2
    نعلم أن cos(π/4) = 1/√2 و sin(π/4) = 1/√2
    cos(π/4)cosx + sin(π/4)sinx = 1/√2
    بتطبيق صيغة الجمع: cos(x − π/4) = 1/√2
    cos(x − π/4) = cos(π/4)

    إذن الحلول هي:

    1) x − π/4 = π/4 + 2kπ ⟹ x = π/2 + 2kπ
    2) x − π/4 = −π/4 + 2kπ ⟹ x = 2kπ

    📝 تمرين 4: معادلة تؤول إلى درجة ثانية

    حل في [0, 2π] المعادلة: 2cos²x − 3cosx + 1 = 0

    الحل:

    نضع X = cosx لتصبح المعادلة: 2X² − 3X + 1 = 0

    المميز Δ = (−3)² − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
    X₁ = (3 − 1)/4 = 1/2
    X₂ = (3 + 1)/4 = 1

    نرجع للمتغير الأصلي:

    الحالة 1: cosx = 1/2 ⟹ x = π/3 أو x = 5π/3
    الحالة 2: cosx = 1 ⟹ x = 0

    S = { 0 , π/3 , 5π/3 }

    7. مصادر إضافية للتدريب (Ressources)

    لإتقان Trigonométrie II، الحل الوحيد هو التدريب على التبسيط وحل المعادلات. حمل الملخص وسلسلة التمارين من هنا:

    📥 ملخص الدرس وسلسلة تمارين الامتحانات (PDF)

    ✨ الخلاصة الذهبية (Ce qu'il faut retenir)

    • صيغ الجمع هي الأساس الذي تُبنى عليه كل الصيغ الأخرى (التضعيف والخطنة).
    • الخطنة (Linéarisation) لا غنى عنها في حساب التكاملات لاحقاً (1ère Bac)؛ تدرب على تحويل cos²x و sin²x بسرعة.
    • في المعادلات المتقدمة، إذا رأيت cos²x و cosx معاً، فكر فوراً في التغيير المتغيري (Changement de variable).
    • معادلة acosx + bsinx = c تُحل دائماً باستخراج العامل المشترك √(a²+b²) واستخدام الزاوية المساعدة.

    "التبسيط في الرياضيات هو قمة التطور. بالتوفيق في فروضك المحروسة!" 🚀